1、专题四 数列 走向高考二轮专题复习 数学(新课标版)专题四 数列 走向高考二轮专题复习 数学(新课标版)专题四 数列 走向高考二轮专题复习 数学(新课标版)专题四 数列 走向高考二轮专题复习 数学(新课标版)1数列的概念和简单表示法(1)了解数列的概念和几种简单的表示方法(列表、图像、通项公式)(2)了解数列是一种特殊函数2等差数列、等比数列(1)理解等差数列、等比数列的概念(2)掌握等差数列、等比数列的通项公式与前n项和公式3了解数列求和的基本方法专题四 数列 走向高考二轮专题复习 数学(新课标版)专题四 数列 走向高考二轮专题复习 数学(新课标版)本部分考查的内容主要是：(1)等差数列、等
2、比数列的基本知识(定义、通项公式、前n项和公式)(2)能转化成等差数列、等比数列的递推数列的通项公式，本部分的考题一般是一个选择，一个填空题，以中、低档题为主专题四 数列 走向高考二轮专题复习 数学(新课标版)专题四 数列 走向高考二轮专题复习 数学(新课标版)1等差数列(1)定义式：an1and(nN*，d为常数)；(2)通项公式：ana1(n1)d；(3)前n项和公式：Snna1an2na1nn1d2；(4)等差中项公式：2anan1an1(nN*，n2)；(5)性质：anam(nm)d(n，mN*)；若mnpq，则amanapaq.专题四 数列 走向高考二轮专题复习 数学(新课标版)2等
3、比数列(1)定义式：an1an q(nN*，q为非零常数)；(2)通项公式：ana1qn1；(3)前n项和公式：Snna1 q1a11qn1qq1；专题四 数列 走向高考二轮专题复习 数学(新课标版)(4)等比中项公式：a2nan1an1(nN*，n2)；(5)性质：anamqnm(n，mN*)；若mnpq，则amanapaq(p，q，m，nN*)注意：(1)a2nan1an1是an1，an，an1成等比数列的必要不充分条件(2)利用等比数列前n项和的公式求和时，不可忽视对公比q是否为1的讨论专题四 数列 走向高考二轮专题复习 数学(新课标版)专题四 数列 走向高考二轮专题复习 数学(新课标版
4、)例1(2011福建文，17)已知等差数列an中，a11，a33.(1)求数列an的通项公式；(2)若数列an的前k项和Sk35，求k的值解析(1)设等差数列an的公差为d，则a11，a312d3，d2 an32n.专题四 数列 走向高考二轮专题复习 数学(新课标版)(2)由(1)知an32n，Snn132n2n(2n)由Sk35知，k(2k)35，即k22k350.k7或k5，又kN*.k7.专题四 数列 走向高考二轮专题复习 数学(新课标版)评析(1)在等差、等比数列的通项公式和前n项公式中，有五个量“知三求二”，是基本的思想方法，解决等差、等比数列的有关问题时，先求“基本量”是常用方法(
5、2)对于数列求和应掌握经常使用的方法，如：裂项、叠加、累积本题应用了裂项求和专题四 数列 走向高考二轮专题复习 数学(新课标版)(2011大纲全国卷理，4)设Sn为等差数列an的前n项和，若a11，公差d2，Sk2Sk24，则k()A8 B7 C6 D5答案 D专题四 数列 走向高考二轮专题复习 数学(新课标版)解析 方法一：Sk2Sk(k2)1k2k122k1kk1224k424，k5.方法二：Sk2Skak2ak11(k1)21k24k424，k5.专题四 数列 走向高考二轮专题复习 数学(新课标版)例 2(2011潍坊模拟)已知数列an的首项 a1a，an12an11(nN*，n2)若
6、bnan2(nN*)(1)问数列bn是否能构成等比数列？并说明理由(2)若已知 a11，设数列anbn的前 n 项和为 Sn，求 Sn.专题四 数列 走向高考二轮专题复习 数学(新课标版)解析(1)b1a2，anbn2，bn212(bn12)1，即bn12bn1.所以，当a2时，数列bn能构成等比数列；当a2时，数列bn不能构成等比数列专题四 数列 走向高考二轮专题复习 数学(新课标版)(2)当a1，得bn(12)n1，an2(12)n1，anbn(14)n12(12)n1，所以Sn114n1142112n11243(1 14n)4(112n)8343 14n 42n.专题四 数列 走向高考二
7、轮专题复习 数学(新课标版)评析 证明数列an为等比数列的方法(1)证明an1an q(与n值无关的非零常数)(2)a2nan1an1(等比中项)(n2，nN)专题四 数列 走向高考二轮专题复习 数学(新课标版)设数列an满足：a13a232a33n1ann3，nN*.(1)求数列an的通项；(2)设bnnan，求数列bn的前n项和Sn.专题四 数列 走向高考二轮专题复习 数学(新课标版)分析 已知前n项和Sn，可用公式anS1 n1SnSn1n2求通项对anbn(其中an为等差数列，bn为等比数列)型数列求和，采取错位相减法专题四 数列 走向高考二轮专题复习 数学(新课标版)解析(1)a13
8、a232a33n1ann3a13a232a33n2an1n13(n2)得：3n1ann3n13 13(n2)an13n(n2)易验证n1时也满足上式an13n(nN*)专题四 数列 走向高考二轮专题复习 数学(新课标版)(2)bnn3nSn13232333n3n3Sn132233(n1)3nn3n1得2Sn332333nn3n12Sn313n13 n3n1Snn23n1143n1342n143n134.专题四 数列 走向高考二轮专题复习 数学(新课标版)评析 在已知前n项和Sn求数列通项an时，要注意对n1时情形的讨论当n1时的情形符合n2时的表达式时，二者可合为一个统一的表达式否则应以分段函
9、数的形式呈现在考查求和时，除了错位相减法之外，累加法、拆项转化法、裂项相消法也是考查热点.专题四 数列 走向高考二轮专题复习 数学(新课标版)例3(2011辽宁理，17)已知等差数列an满足a20，a6a810.(1)求数列an的通项公式；(2)求数列 an2n1的前n项和专题四 数列 走向高考二轮专题复习 数学(新课标版)解析(1)设等差数列an的公差为d.由已知条件可得a1d0，2a112d10，解得a11，d1.故数列an的通项公式为an2n.专题四 数列 走向高考二轮专题复习 数学(新课标版)(2)设数列an2n1 的前n项和为Sn，即Sna1a22 an2n1，故S11，Sn2 a1
10、2 a24 an2n.所以，当n1时，Sn2 a1a2a12anan12n1an2n专题四 数列 走向高考二轮专题复习 数学(新课标版)1(1214 12n1)2n2n1(1 12n1)2n2n n2n.所以Sn n2n1.综上，数列an2n1 的前n项和Sn n2n1.专题四 数列 走向高考二轮专题复习 数学(新课标版)(2011河北衡水)已知数列an是等比数列，其前n项和为Sn，a12a20，S4S218.(1)求数列an的通项公式；(2)求数列anSn的前n项和；(3)求使不等式an 116成立的n的集合专题四 数列 走向高考二轮专题复习 数学(新课标版)解析(1)设等比数列an的公比是
11、q，因为a12a20，且a10，所以qa2a112.因为S4S218，所以a11q41qa1(1q)18，将q12代入上式，解得a11，所以ana1qn1(12)n1(nN*)专题四 数列 走向高考二轮专题复习 数学(新课标版)(2)由于an(12)n1，Sn231(12)n，anSn23(12)n1(12)2n1，故a1S1a2S2anSn8949(12)n49(14)n.专题四 数列 走向高考二轮专题复习 数学(新课标版)(3)an 116(12)n1 116.显然当n是偶数时，此不等式不成立当n是奇数时，(12)n1 116(12)n1(12)4n5，但n是正整数，所以n1,3,5.综上
12、，使原不等式成立的n的集合为1,3,5.专题四 数列 走向高考二轮专题复习 数学(新课标版)例4(2011福建厦门质检)将数列an中的所有项按每一行比上行多一项的规则排成如下数表：a1a2 a3a4 a5 a6a7 a8 a9 a10专题四 数列 走向高考二轮专题复习 数学(新课标版)记表中的第一列数a1，a2，a4，a7，构成的数列为bn，b1a11，Sn为数列bn的前n项和，且满足2bnbnSnS2n1(n2)(1)证明数列 1Sn 成等差数列，并求数列bn的通项公式；(2)上表中，若从第三行起，每一行中的数按从左到右的顺序均构成等比数列，且公比为同一个正数当a81 491时，求上表中第k
13、(k3)行所有项的和专题四 数列 走向高考二轮专题复习 数学(新课标版)分析(1)巧妙地对2bnbnSnS2n1(n2)变形得到1Sn是等差数列，进而求出bn.(2)通过此表的分析得出a81在表中的位置，即确定首项和公比，求出第k行的所有项的和专题四 数列 走向高考二轮专题复习 数学(新课标版)解析(1)证明：由已知，当n2时，2bnbnSnS2n1，又Snb1b2bn，所以2SnSn1SnSn1SnS2n1，即2SnSn1Sn1Sn 1，所以 1Sn 1Sn112.又S1b1a11，所以数列1Sn是首项为1，公差为12的等差数列专题四 数列 走向高考二轮专题复习 数学(新课标版)由上可知 1
14、Sn112(n1)n12，即Sn 2n1.所以当n2时，bnSnSn1 2n12n2nn1.因此bn1 n12nn1n2.专题四 数列 走向高考二轮专题复习 数学(新课标版)(2)解：设上表中从第三行起，每行的公比都为q，且q0.因为12121213278，所以表中第1行至第12行共含有数列an的前78项，故a81在表中第13行第3列，因此a81b13q2 491.又b1321314，所以q2.记表中第k(k3)行所有项的和为S，则Sbk1qk1q2kk112k122kk1(12k)(k3)专题四 数列 走向高考二轮专题复习 数学(新课标版)评析 数列项的变化呈规律性，这是等差、等比数列的特征
15、，在高考中，这种变化的规律性经常用数表或图形给出，也可以是给出信息根据新信息解题，对考查学生的创新能力提出了较高的要求新课标教材的学习，十分重视创新、立意鲜明、背景鲜明、设问灵活解这类问题要先读懂题意，从题目中获取有用信息，然后根据相关知识作进一步的演算和推理，综合运用新的信息和数学知识分析，解决新情境问题专题四 数列 走向高考二轮专题复习 数学(新课标版)已知数集Aa1，a2，an(1a1a2an，n2)具有性质P：对任意的i，j(1ijn)，aiaj与 aiaj 两数中至少有一个属于A.(1)分别判断数集1,3,4与1,2,3,6是否具有性质P，并说明理由；(2)证明：a11,且 a1a2
16、ana11 a12 a1n an；(3)证明：当n5时，a1，a2，a3，a4，a5成等比数列专题四 数列 走向高考二轮专题复习 数学(新课标版)解析(1)由于34与43均不属于数集1,3,4，该数集不具有性质P.由于12,13,16,23，62，63，11，22，33，66都属于数集1,2,3,6，该数集具有性质P.专题四 数列 走向高考二轮专题复习 数学(新课标版)(2)Aa1，a2，an具有性质P，anan与 anan中至少有一个属于A.由于1a1a2an，故ananA.从而1ananA，a11.1a2a2an，故akanA(k2,3，n)由A具有性质P可知anakA(k2,3，n)专题
17、四 数列 走向高考二轮专题复习 数学(新课标版)又anan anan1ana2ana1，anan1，anan1a2，ana2an1，ana1an，从而anan anan1ana2ana1a1a2an1an，a1a2ana11 a12 a1n an.专题四 数列 走向高考二轮专题复习 数学(新课标版)(3)由(2)知，当n5时，有a5a4a2，a5a3a3，即a5a2a4a23.1a1a2a2a4a5，a3a4A.由于A具有性质P可知a4a3A.由a2a4a23，得a3a2a4a3A，且1a3a2a2，a4a3a3a2a2，a5a4a4a3a3a2a2a1a2.即a1，a2，a3，a4，a5是首项为1，公比为a2的等比数列专题四 数列 走向高考二轮专题复习 数学(新课标版)