1、课时2范围、最值问题题型一范围问题例1(2015天津)已知椭圆1(ab0)的左焦点为F(c,0)，离心率为，点M在椭圆上且位于第一象限，直线FM被圆x2y2截得的线段的长为c，|FM|.(1)求直线FM的斜率；(2)求椭圆的方程；(3)设动点P在椭圆上，若直线FP的斜率大于，求直线OP(O为原点)的斜率的取值范围解(1)由已知有，又由a2b2c2，可得a23c2，b22c2.设直线FM的斜率为k(k0)，F(c,0)，则直线FM的方程为yk(xc)由已知，有222，解得k.(2)由(1)得椭圆方程为1，直线FM的方程为y(xc)，两个方程联立，消去y，整理得3x22cx5c20，解得xc或xc
2、.因为点M在第一象限，可得M的坐标为.由|FM| .解得c1，所以椭圆的方程为1.(3)设点P的坐标为(x，y)，直线FP的斜率为t，得t，即直线FP的方程为yt(x1)(x1)，与椭圆方程联立消去y，整理得2x23t2(x1)26，又由已知，得t ，解得x1，或1x0.设直线OP的斜率为m，得m，即ymx(x0)，与椭圆方程联立，整理得m2.当x时，有yt(x1)0，因此m0，于是m ，得m.当x(1,0)时，有yt(x1)0.因此m0，于是m ，得m.综上，直线OP的斜率的取值范围是.思维升华解决圆锥曲线中的取值范围问题应考虑的五个方面(1)利用圆锥曲线的几何性质或判别式构造不等关系，从而
3、确定参数的取值范围；(2)利用已知参数的范围，求新参数的范围，解这类问题的核心是建立两个参数之间的等量关系；(3)利用隐含的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围；(4)利用已知的不等关系构造不等式，从而求出参数的取值范围；(5)利用求函数的值域的方法将待求量表示为其他变量的函数，求其值域，从而确定参数的取值范围已知中心在原点的双曲线C的右焦点为(2,0)，右顶点为(，0)(1)求双曲线C的方程；(2)若直线：ykxm(k0，m0)与双曲线C交于不同的两点M，N，且线段MN的垂直平分线过点A(0，1)，求实数m的取值范围解(1)设双曲线C的方程为1(a0，b0)由已知得：a，c2，又a2b
4、2c2，得b21，双曲线C的方程为y21.(2)联立整理得(13k2)x26kmx3m230.直线与双曲线有两个不同的交点，可得m23k21且k2，设M(x1，y1)，N(x2，y2)，MN的中点为B(x0，y0)，则x1x2，x0，y0kx0m.由题意，ABMN，kAB(k0，m0)整理得3k24m1，将代入，得m24m0，m4.又3k24m10(k0)，即m.m的取值范围是(4，)题型二最值问题命题点1利用三角函数有界性求最值例2过抛物线y24x的焦点F的直线交抛物线于A，B两点，点O是坐标原点，则|AF|BF|的最小值是()A2 B. C4 D2答案C解析设直线AB的倾斜角为，可得|AF
5、|，|BF|，则|AF|BF|4.命题点2数形结合利用几何性质求最值例3(2015江苏)在平面直角坐标系xOy中，P为双曲线x2y21右支上的一个动点若点P到直线xy10的距离大于c恒成立，则实数c的最大值为_答案解析双曲线x2y21的渐近线为xy0，直线xy10与渐近线xy0平行，故两平行线的距离d.由点P到直线xy10的距离大于c恒成立，得c，故c的最大值为.命题点3转化为函数利用基本不等式或二次函数求最值例4设椭圆M：1 (ab0)的离心率与双曲线x2y21的离心率互为倒数，且椭圆的长轴长为4.(1)求椭圆M的方程；(2)若直线yxm交椭圆M于A，B两点，P(1，)为椭圆M上一点，求PA
6、B面积的最大值解(1)双曲线的离心率为，则椭圆的离心率e，由故椭圆M的方程为1.(2)由得4x22mxm240，由(2m)216(m24)0，得2m2.x1x2m，x1x2，|AB|x1x2|.又P到直线AB的距离d，则SPAB|AB|d ，当且仅当m2(2，2)时取等号，(SPAB)max.思维升华处理圆锥曲线最值问题的求解方法圆锥曲线中的最值问题类型较多，解法灵活多变，但总体上主要有两种方法：一是利用几何法，即通过利用曲线的定义、几何性质以及平面几何中的定理、性质等进行求解；二是利用代数法，即把要求最值的几何量或代数表达式表示为某个(些)参数的函数(解析式)，然后利用函数方法、不等式方法等
7、进行求解(1)已知焦点为F的抛物线y24x的弦AB的中点的横坐标为2，则|AB|的最大值为_答案6解析设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1x24，那么|AF|BF|x1x22，又|AF|BF|AB|AB|6，当AB过焦点F时取得最大值6.(2)(2014北京)已知椭圆C：x22y24.求椭圆C的离心率；设O为原点，若点A在直线y2上，点B在椭圆C上，且OAOB，求线段AB长度的最小值解由题意，椭圆C的标准方程为1，所以a24，b22，从而c2a2b22.因此a2，c.故椭圆C的离心率e.设点A，B的坐标分别为(t,2)，(x0，y0)，其中x00.因为OAOB，所以0，即tx02y00
8、，解得t.又x2y4，所以|AB|2(x0t)2(y02)22(y02)2xy4x44(0x4)因为4(00，b0)的渐近线与抛物线yx22有公共点，则此双曲线的离心率的取值范围是()A3，) B(3，)C(1,3 D(1,3)答案A解析依题意可知双曲线渐近线方程为yx，与抛物线方程联立消去y得x2x20.渐近线与抛物线有交点，80，求得b28a2，c3a，e3.4若点O和点F分别为椭圆1的中点和左焦点，点P为椭圆上的任一点，则的最小值为_答案6解析点P为椭圆1上的任意一点，设P(x，y)(3x3，2y2)，依题意得左焦点F(1,0)，(x，y)，(x1，y)，x(x1)y2x2x2.3x3，
9、x，2，2，6212，即612.故最小值为6.5已知椭圆C1：1与双曲线C2：1有相同的焦点，则椭圆C1的离心率e1的取值范围为_答案(，1)解析椭圆C1：1，am2，bn，cm2n，e1.双曲线C2：1，am，bn，cmn，由条件有m2nmn，则n1，e1.由m0得m22，1，即e，而0e11，e11.6已知点A(x1，y1)，B(x2，y2)是抛物线y24x上相异两点，且满足x1x22.(1)若AB的中垂线经过点P(0,2)，求直线AB的方程；(2)若AB的中垂线交x轴于点M，求AMB的面积的最大值及此时直线AB的方程解(1)当AB垂直于x轴时，显然不符合题意，所以可设直线AB的方程为yk
10、xb，代入方程y24x，得：k2x2(2kb4)xb20，x1x22，得bk，直线AB的方程为yk(x1)， AB中点的横坐标为1，AB中点的坐标为，AB的中垂线方程为y(x1)x.AB的中垂线经过点P(0,2)，故2，得k，直线AB的方程为yx.(2)由(1)可知AB的中垂线方程为yx，点M的坐标为(3,0)，直线AB的方程为k2xky2k20，M到直线AB的距离d，由得y2ky2k20，y1y2，y1y2，|AB| |y1y2|.SMAB4 ，设 t，则0tb0)，由已知得：解得所以椭圆的标准方程为1.(2)因为直线l：ykxt与圆(x1)2y21相切，所以12k(t0)，把ykxt代入1
11、并整理得：(34k2)x28ktx(4t224)0，设M(x1，y1)，N(x2，y2)，则有x1x2，y1y2kx1tkx2tk(x1x2)2t，因为(x1x2，y1y2)，所以C，又因为点C在椭圆上，所以，12，因为t20，所以211，所以020)与W的两个交点分别是P，Q(其中P是第一象限)，求四边形MPNQ面积的最大值解(1)由已知得，A(2,0)，B(2,0)，设C(x0，y0)，D(x0，y0)，则y1，由两点式分别得直线AC，BD的方程为直线AC：，直线BD：，两式相乘，得，由，得y1，代入，得，整理，得4y2x24，点E的轨迹W的方程为y21.(2)由(1)及已知得M(2,0)
12、，N(0,1)，联立得(4k21)x24，P，Q，四边形MPNQ的面积SSQOMSOMPSNOPSNOQ2(SOMPSONP)，S22yPxP2222，k0，4k4，故当且仅当4k，即k时，四边形MPNQ的面积取得最大值为2.9.如图，椭圆的中心为原点O，长轴在x轴上，离心率e，过左焦点F1作x轴的垂线交椭圆于A、A两点，|AA|4.(1)求该椭圆的标准方程；(2)取平行于y轴的直线与椭圆相交于不同的两点P、P，过P、P作圆心为Q的圆，使椭圆上的其余点均在圆Q外求PPQ的面积S的最大值，并写出对应的圆Q的标准方程解(1)由题意知点A(c,2)在椭圆上，则1.从而e21.由e得b28，从而a216.故该椭圆的标准方程为1.(2)由题意，可设Q(x0,0)又设M(x，y)是椭圆上任意一点，则|QM|2(xx0)2y2x22x0xx8(x2x0)2x8(x4,4)设P(x1，y1)，由题意知，P点是椭圆上到点Q的距离最小的点，因此，上式当xx1时取最小值，又因为x1(4,4)，且上式当x2x0时取最小值，从而x12x0，且|QP|28x.由对称性知P(x1，y1)，故|PP|2y1|，所以S|2y1|x1x0|2|x0| .当x0时，PPQ的面积S取到最大值2.此时对应的圆Q的圆心坐标为Q(，0)，半径|QP|，因此，这样的圆有两个，其标准方程分别为(x)2y26，(x)2y26.
