1、学案2 等 差 数 列考点1考点2考点3填填知学情课内考点突破规 律 探 究考 纲 解 读考 向 预 测返回目录考 纲 解 读 等差数列 1.理解等差数列的概念.2.掌握等差数列的通项公式与前n项和公式.3.能在具体的问题情境中识别数列的等差关系,并能用有关知识解决相应的问题.4.了解等差数列与一次函数的关系.等差数列知识在高考中属必考内容,通常直接考查等差数列的通项公式、前n项和公式的题目为容易题,一般以选择题、填空题形式出现，而与其他知识（函数、不等式、解析几何等）相结合的综合题一般为解答题，难度不大为中档题.近几年主要考查等差数列通项公式、求和公式的综合题，难度较小.考 向 预 测 返回
2、目录返回目录 1.等差数列的概念 一般地，如果一个数列从，那么这个数列就叫做等差数列.它具有如下特征：an+1-an=d（常数）或者an+2-an+1=an+1-an(nN*).2.通项公式 an=，推广：an=am+,第2项起，每一项与前一项的差都等于同一个常数a1+（n-1）d （n-m）d 返回目录变式:a1=an+;d=.由此联想到点列(n,an)所在直线的.3.等差中项 若a,b,c成等差数列,则称b为,且b=,a,b,c成等差数列是2b=a+c的.4.前n项和Sn=.变式：（1-n）d 1-n a-a1ny=dx+（a1-d）a与c的等差中项2ca+充要条件2)an(an1+d21
3、)-n(nna1+.2d1)-n(anaaanS2aa1n21nn1+=+=+5.等差数列an的一些常见性质（1）若m+n=p+q（m，n，p，qN*）,则.（2）项数成等差数列，则相应的项也成等差数列，即ak，ak+m，ak+2m，（k，mN*）成等差数列.（3）设Sn是等差数列an的前n项和，则Sk，S2k-Sk，S3k-S2k，构成的数列是数列.返回目录等差am+an=ap+aq2010年高考大纲全国卷记等差数列an的前n项和为Sn,设S3=12,且2a1,a2,a3+1成等比数列,求Sn.考点1 基本量计算返回目录【分析】在等差数列中有五个重要的量a1，an，d，n，Sn，只要已知任意
4、三个，就可求出其他两个.其中a1和d是两个最重要的量，通常要先求出a1和d.【解析】设数列an的公差为d,依题设有2a1(a3+1)=a22a1+a2+a3=12,a12+2a1d-d2+2a1=0a1+d=4,a1=1 a1=8d=3 d=-4.因此Sn=n(3n-1)或Sn=2n(5-n).21即解得或返回目录方程思想是解决数列问题的基本思想，通过公差列方程（组）来求解基本量是数列中最基本的方法，同时在解题中也要注意数列性质的应用.返回目录2009年高考江苏卷设an是公差不为零的等差数列，Sn为其前n项和，满足a22+a32=a42+a52，S7=7.（1）求数列an的通项公式及前n项和S
5、n；（2）试求所有的正整数m,使得为数列Sn中的项.2m1mmaaa返回目录【解析】(1)由题意,设等差数列an的通项公式为an=a1+(n-1)d,d0.由a22+a32=a42+a52知2a1+5d=0.又因为S7=7,所以a1+3d=1.由可得a1=-5,d=2.所以数列an的通项公式an=2n-7,Sn=na1+d=n2-6n.21)-n(n返回目录(2)因为为数列Sn中的项，故为整数.又由(1)知am+2为奇数,所以am+2=2m-3=1,即m=1或2.经检验,符合题意的正整数m不存在.2m2m2m2m2m2m1mma86aa)2a)(4a(aaa2ma8返回目录(1)2010年高考
6、大纲全国卷如果等差数列an中,a3+a4+a5=12，那么a1+a2+a7=()A.14B.21C.28D.35(2)设等差数列an的前n项和为Sn,若S3=9,S6=36,则a7+a8+a9=()A.63B.45C.36D.27【分析】由等差数列性质求解，更简单.考点2 等差数列的性质及应用返回目录【解析】(1)由等差数列性质得a3+a4+a5=3a4=12,a4=4,a1+a2+a7=7=74=28.故应选C.(2)解法一：设等差数列首项为a1，公差为d.3a1+d=9,a1=16a1+d=36.d=2.a7+a8+a9=3a8=3(a1+7d)=3(1+72)=45.2232a272)a
7、a(7471则解得256返回目录解法二：由等差数列的性质知：S6-S3=36-9=27,d=27-9=18,a7+a8+a9=S3+2d=9+218=45.故应选B.返回目录等差数列的简单性质:已知数列an是等差数列,Sn是其前n项和.(1)若m+n=p+q,则am+an=ap+aq.特别:若m+n=2p,则am+an=2ap.(2)am,a m+k,a m+2k,a m+3k,仍是等差数列,公差为kd.(3)数列Sm,S2m-Sm,S3m-S2m,也是等差数列.(4)S2n-1=(2n-1)an.(5)若n为偶数,则S偶-S奇=d.若n为奇数,则S奇-S偶=a中(中间项).(6)数列can,
8、c+an,pan+qbn也是等差数列,其中c,p,q均为常数,bn是等差数列.2n返回目录（1）等差数列an中,a15=33,a45=153,则d=.（2）等差数列an中，a1+a2+a3+a4+a5=20，则a3=.（3）若一个等差数列前3项的和为34，最后三项的和为146，且所有项的和为390，则这个数列的项数为（）A.13 B.12 C.11 D.10返回目录（1）由d=，得d=4.（2）由a1+a5=a2+a4=2a3，得5a3=20，所以a3=4.（3）因为a1+a2+a3=34，an-2+an-1+an=146，a1+a2+a3+an-2+an-1+an=146+34=180，又因
9、为a1+an=a2+an-1=a3+an-2，所以3（a1+an）=180，从而a1+an=60，所以Sn=，即n=13.故应选A.n-ma-anm15-45a-a15453902n602)an(an1=+返回目录在等差数列an中,已知a1=20,前n项和为Sn,且S10=S15,求当n取何值时,Sn取得最大值,并求出它的最大值.【分析】(1)由a1=20及S10=S15可求得d,进而求得通项,由通项得到此数列前多少项为正,或利用Sn是关于n的二次函数,利用二次函数求最值的方法求解.(2)利用等差数列的性质,判断出数列从第几项开始变号.考点3 等差数列前n项和的最值返回目录【解析】解法一：a1
10、=20,S10=S15,1020+d=1520+d,d=-.an=20+(n-1)(-)=-n+.a13=0.即当a12时，an0，n14时，an0.当n=12或13时，Sn取得最大值，且最大值为S12=S13=1220+(-)=130.2910214153535353652111235返回目录解法二：同解法一求得d=-.Sn=20n+(-)=-n2+n=-(n-)2+.nN+,当n=12或13时，Sn有最大值，且最大值为S12=S13=130.3521)-n(n356561256522524125 3返回目录解法三：同解法一得d=-.又由S10=S15，得a11+a12+a13+a14+a1
11、5=0.5a13=0，即a13=0.当n=12或13时,Sn有最大值,且最大值 为S12=S13=130.35返回目录求等差数列前n项和的最值，常用的方法：（1）利用等差数列的单调性，求出其正负转折项；（2）利用性质求出其正负转折项，便可求得和的最值；（3）利用等差数列的前n项和Sn=An2+Bn（A，B为常数）为二次函数，根据二次函数的性质求最值.返回目录在等差数列an中，a10,S9=S12,求数列前多少项和最小.解法一：由S9=S12，得9a1+d=12a1+d,得3a1=-30d，d=-a1.a10,d0,Sn=na1+n（n-1）d=dn2-dn=(n-)2-d.d0,Sn有最小值.
12、又nN*,n=10或n=11时，Sn取最小值，最小值是-55d，即S10或S11最小且S10=S11=-55d.2892111210121212212d2218212返回目录解法二：由解法一知d=-a10,又a10,数列an为递增数列.a0,a1+（n-1）d0an+10,a1+nd0a1+(n-1)(-a1)01-(n-1)0a1+n(-a1)0 1-n010n11,数列的前10项均为负值，a11=0，从第12项起为正值.n=10或11时，Sn取最小值.101101101101101即令返回目录解法三：S9=S12，a10+a11+a12=0，3a11=0，a11=0.又a10,数列为递增数
13、列.因此数列的前10项均为负值，a11=0，从第12项起为正值.当n=10或11时，Sn取最小值.返回目录1.深刻理解等差数列的定义，紧扣从“第二项起”和“差是同一常数”这两点.2.由五个量a1，d，n，an，Sn中的三个量可求出其余两个量，要求选用公式要恰当，要善于减少运算量，达到快速、准确的目的.3.已知三个或四个数成等差一类问题，要善于设元，目的仍在于减少运算量，如三个数成等差数列时，除了设a，a+d，a+2d外，还可设a-d，a，a+d；四个数成等差数列时，可设为a-3d，a-d，a+d，a+3d.返回目录4.证明数列an是等差数列的两种基本方法是：（1）利用定义，证明an-an-1（n2）为常数.（2）利用等差中项，即证明2an=an-1+an+1（n2）.5.等差数列的性质在求解中有着十分重要的作用，应熟练掌握、灵活运用.6.等差数列an中，当a10,d0时，数列an为递增数列，Sn有最小值；当a10,d0时，数列an为递减数列，Sn有最大值，当d=0时，an为常数列.返回目录
