1、学案6 空间向量及其运算 考点1 考点2 考点3 考点4 填填知学情 课内考点突破 规 律 探 究 考 纲 解 读 考 向 预 测 考 纲 解 读 空 间 向量 及 其运算 1.了 解 空 间 向 量 的 概 念，了 解 空 间 向 量的 基 本 定 理 及 其 意 义，掌 握 空 间 向 量 的正 交 分 解 及 其 坐 标 表 示.2.掌 握 空 间 向 量 的 线 性 运 算 及 其 坐 标 表示.3.掌 握 空 间 向 量 的 数 量 积 及 其 坐 标 表 示，能 运 用 向 量 的 数 量 积 判 断 向 量 的 共 线 与垂直.返回目录 考 向 预 测 返回目录 1.在高考中一般
2、以选择、填空题的形式出现，属于低档题.2.空间向量是一种重要的数学工具，空间向量的运算与平面向量的运算有很多相似或相同之处.在高考中，有时会单独考查空间向量的运算及性质，建立空间直角坐标系，利用空间向量运算的坐标表示，可以解决立体几何中的位置关系的证明、判断及空间角的计算；对解决探索性问题有独到之处.返回目录 1、空间向量及其加、减法运算和数乘运算（1）在空间内，把具有 和 的量叫作向量，且用有向线段来表示.的有向线段表示 或相等的向量.同一向量 大小 方向 同向且等长 返回目录（2）空间向量求和有 法则和 法则，其中三角形法则可推广到空间中多个向量的求和,这个和向量通常称为“封口向量”.（3
3、）实数与向量a的积仍为一个向量，记为，且a 与a为共线向量，|a|=.（4）空间向量的加法与数乘运算满足:律，即a+b=;律,即(a+b)+c=;律，即(+)a=,(a+b)=.三角形 平行四边形 a|a|加法交换 b+a 加法结合 a+(b+c)加法分配 a+a a+b 返回目录 2.空间向量的基本定理(1)共线向量定理：两个空间向量a,b(),a b的充要条件是 实数x,使.(2)共面向量定理：如果两个向量a,b，则向量c与向量a,b共面的充要条件是 的一对实数x,y，使c=.(3)空间向量分解定理：如果三个向量a,b,c，那么对空间任一向量p,有序实数组x,y,z，使p=，这时a,b,c
4、叫作空间的一个，记作a,b,c，其中a,b,c都叫作.b0 存在唯一的 a=xb 不共线 存在唯一 xa+yb 不共面 存在一个唯一的 xa+yb+zc 基底 基向量 返回目录 3.两个向量的数量积(1)已知两个 向量a,b，在空间中任取一点O，作OA=a，OB=b,则 叫作向量a 与b的夹角，记作,范围是.如果=，则称a 与b，记作.(2)两个向量a,b的数量积(或内积)a b=.(3)两个向量数量积的性质 a e=|a|cos（其中e 为）;a b;|a|2=;|a b|a|b|.2非零 AOB 0,a b 互相垂直|a|b|cos 单位向量 a b=0 a a 返回目录(4)两个向量数量
5、积的运算律(a)b=;a b=;(a+b)c=.4.空间向量的直角坐标运算(1)已知a=(x1,y1,z1),b=(x2,y2,z2)，则 a+b=;a-b=;a=;(4)a b=.(ab)b a a c+b c(x1+x2,y1+y2,z1+z2)(x1-x2,y1-y2,z1-z2)(x1,y1,z1)x1x2+y1y2+z1z2 返回目录(2)若点A(x1,y1,z1),点B(x2,y2,z2)，则AB=.(3)空间向量平行和垂直的条件 x1=x2 y 1=y2;z1=z2 若x2y2z20，则a b a b x1x2+y1y2+z1z2=0.a b(b0);zz=yy=xx212121
6、(x2-x1,y2-y1,z2-z1)(4)两个向量夹角及向量长度的坐标计算公式 设a=(a1,a2,a3),b=(b1,b2,b3),A(x1,y1,z1),B(x2,y2,z2),则|a|=;cos=;|AB|=;与a同向的单位向量e=.返回目录 232221a+a+a|b|a|a b2322212322213 3 2 2 1 1b+b+b a+a+ab a+b a+b a=22 122 122 1)z-(z+)y-(y+)x-(x|a|a返回目录 如图所示，在平行六面体ABCDA1B1C1D1中，设AA1=a,AB=b,AD=c,M,N,P分别是AA1，BC，C1D1的中点，试用a，b，
7、c表示以下各向量：(1)AP;(2)A1N;(3)MP+NC1.考点1 空间向量的线性运算 返回目录【解析】（1）P 是C1D1的中点，AP=AA1+A1D1+D1P=a+AD+D1C1=a+c+AB=a+c+b.(2)N 是BC的中点,A1N=A1A+AB+BN=-a+b+BC=-a+b+AD=-a+b+c.【分析】根据空间向量加减法及数乘运算的法则和运算律即可.212121212121（3）M 是AA1的中点，MP=MA+AP=A1A+AP=-a+a+c+b=a+b+c，又NC1=NC+CC1=BC+AA1=AD+AA1=c+a，MP+NC1=a+b+c+a+c=a+b+c.返回目录 21
8、21212121212121212121212323返回目录 用已知向量来表示未知向量,一定要结合图形,以图形为指导是解题的关键.要正确理解向量加法、减法与数乘运算的几何意义.首尾相接的若干向量之和等于由起始向量的始点指向末尾向量的终点的向量，我们可把这个法则称为向量加法的多边形法则.在立体几何中要灵活应用三角形法则，向量加法的平行四边形法则在空间仍然成立.由线段中点的向量表示式，得OG=OM+MG=OM+MN=OA+（MO+OC+CN）=a+-a+c+(b-c)=a-a+c+b-c=a+b+c.已知空间四边形OABC 中，M，N分别是对边OA，BC的中点，点G 在MN 上，且MG=2GN，设
9、OA=a,OB=b,OC=c,试用基底a，b，c表示向量OG.213232213221212131323131613131返回目录 返回目录 如图,已知E,F,G,H 分别是空间四边形ABCD的边AB,BC,CD,DA的中点.（1）求证：E,F,G,H四点共面；（2）求证：BD 平面EFGH；【分析】（1）要证E,F,G,H四点共面，可寻求x，y 使EG=xEF+yEH.(2)由向量共线得到线线平行，进而得到线面平行.考点2 用空间向量证平行问题 返回目录【证明】（1）如图,连接BG，则EG=EB+BG=EB+(BC+BD)=EB+BF+EH=EF+EH,由共面向量定理的推论知：E,F,G,H
10、四点共面.（2）因为EH=AH-AE=AD-AB=(AD-AB)=BD，所以EH BD.又EH 平面EFGH，BD 平面EFGH，所以BD 平面EFGH.2121212121返回目录(1)证明共线问题的方法 若A,B,C 共线，则存在唯一实数x 使AB=xBC.(2)证明共面问题的方法 若P,A,B,C 共面，则存在实数x,y，使AP=xAB+yAC.(3)证明线 面时，可证明线所在向量a能用面内不共线向量b,c表示,即a=xb+yc，或a与面内向量d满足a d.返回目录 如图,平行六面体ABCDA1B1C1D1中，E，F，G分别是A1D1，DD1，D1C1的中点，请选择适当的基底向量证明：（
11、1）EG AC；（2）平面EFG 平面AB1C.证明:(1)取AB=a,AD=b，AA1=c为一组基底，E，F，G分别是A1D1，DD1，D1C1的中点，EG=ED1+D1G=（a+b），AC=AB+BC=a+b，EG=AC，即EG AC，从而EG AC.(2)由（1）EG AC，同理可得EF B1C，又EGB1C=C,平面EFG 平面AB1C.返回目录 2121返回目录 考点3 数量积及其应用 如图，在棱长为a的正方体ABCDA1B1C1D1中，G 为BC1D的重心.（1）试证A1,G,C 三点共线；（2）试证A1C 平面BC1D;（3）求点C到平面BC1D的距离.【分析】（1）即证CG C
12、A1.(2)可证CA1 BC1=0,CA1 BD=0.(3)利用CG=CA1可求.31【解析】（1）证明：CA1=CB+BA+AA1=CB+CD+CC1.CG=CC1+(C1B+C1D)=(CB+CD+CC1)=CA1,CG CA1,即A1,G,C 三点共线.（2）证明：设CB=a,CD=b,CC1=c,则|a|=|b|=|c|=a,且a b=b c=c a=0.CA1=a+b+c,BC1=c-a,CA1 BC1=(a+b+c)(c-a)=c2-a2=0,返回目录 32213131 CA1 BC1,同理可证，CA1 BD.又BDBC1=B,因此A1C 平面BC1D.(3)由（2）知，A1C 平
13、面BC1D，则C到平面BC1D的距离为|OG|,由（1）知CG=CA1,CA1=a+b+c,CA12=a2+b2+c2=3a2,即|CA1|=a,因此|CG|=a.返回目录 333返回目录 用向量数量积的定义及性质可解决立体几何中求异面直线所成的角，求两点距离或线段长度以及证明线线垂直、线面垂直等典型问题.(1)求向量m 和n所成的角，首先应选择合适的基底，将目标向量m 和n用该组基底表示出来，再求其自身的数量积及长度，最后利用公式cos=(2)由于线段的长度是实数，实数与向量之间如何转化，是思维中的常见障碍，在向量性质中|a|2=a a提供了向量与实数相互转化的工具，运用此公式，可使线段长度
14、的计算问题转化成两个相等向量的数量积的计算问题.|n|m|m n返回目录 已知一个60 的二面角的棱上有两点A,B,AC,BD分别是在这两个面内且垂直于AB的线段.又知AB=4,AC=6,BD=8,求:(1)CD 的长;(2)AB 与CD成的角的余弦值.【解析】(1)如图,CA AB,BD AB=120.CD=CA+AD=CA+AB+BD,且CA AB=0,BD AB=0,|CD|2=CD CD=(CA+AB+BD)(CA+AB+BD)=|CA|2+|AB|2+|BD|2+2CA BD=|CA|2+|AB|2+|BD|2+2|CA|BD|cos=62+42+82+2 6 8（）=68,|CD|
15、=2,故CD=2.(2)cos=AB CD|AB|CD|=AB(CA+AB+BD)|AB|CD|=|AB|2|AB|CD|=|AB|CD|=返回目录 2117171717 2如图所示，直三棱柱ABC A1B1C1，底面ABC中，CA=CB=1,BCA=90,棱AA1=2,M,N分别为A1B1,A1A 的中点.（1）求BN的长；（2）求异面直线BA1 与CB1所成角的余弦值.【分析】正确利用两向量的夹角公式及模长公式.考点4 空间向量的线性运算 返回目录 返回目录【解析】如图所示，以C 为 原 点 建 立 空 间 直 角 坐 标 系.（1）依题意得B(0,1,0),N(1,0,1).|BN|=.
16、BN的长为.3 0)-(1 1)-(0 0)-(12 2 2 3（2）依题意得A1(1,0,2),B(0,1,0),C(0,0,0),B1(0,1,2),BA1=(1,-1,2),CB1=(0,1,2).BA1 CB1=3,|BA1|=6,|CB1|=5.cos=.异面直线BA1与CB1所成角的余弦值为.1030|CB|BA|CB BA1 1111030返回目录 如图所示，在 直 四 棱 柱ABCDA1B1C1D1中，底面ABCD 是 图 矩 形，AB=2，AD=1，AA1=3，M 是BC 的 中 点.在DD1上是否存在一点N，使MN DC1?并 说 明 理 由.返回目录 建立以D 为坐标原点
17、，DA 为x轴，DC 为y 轴，DD1为z轴的坐标系.则C1(0,2,3)，M(,2,0)，D（0,0,0）.设N（0,0,h），则MN=(-,-2,h),DC1=(0,2,3),由MN DC1=(-,-2,h)(0,2,3)=-4+3h,当h=3 时,MN DC1=0，此时MN DC1,存在N DD1，使MN DC1.返回目录 21212134返回目录 1.熟练掌握空间向量的运算、性质及其基本定理是解决空间向量问题的基础，特别是共线向量定理、共面向量定理、空间向量基本定理，数量积的性质等.2.利用向量解立体几何题的一般方法：把线段或角度转化为向量表示，用已知向量表示未知向量，然后通过向量的运
18、算或证明去解决问题，在这里，恰当地选取基底可使向量运算简捷，或者是建立空间直角坐标系，使立体几何问题转化为代数问题，在这里，熟练准确地写出空间中任一点的坐标是解决问题的基础.3.利用坐标运算解决立体几何问题，降低了推理难度，可以避开一些较复杂的线面关系，但较复杂的代数运算也容易导致出错.因此，在解决问题时，可以灵活的选用解题方法，不要生搬硬套.4.用空间向量解决立体几何中的平行或共线问题一般用向量共线定理；求两点间距离或某一线段的长度，一般用向量的模来解决；求异面直线所成的角，一般可以转化为两向量的夹角，但要注意两种角的范围不同，最后应进行转化；解决垂直问题一般可转化为向量的数量积为零.5.空间向量的加法、减法经常逆用，来进行向量的分解.6.几何中向量问题的解决，选好基底是关键.
