1、9.8 曲线与方程考纲要求 了解方程的曲线与曲线的方程的对应关系 1曲线与方程 一般地，在直角坐标系中，如果某曲线C(看作点的集合或适合某种条件的点的轨迹)上的点与一个二元方程f(x，y)0的实数解建立了如下的关系：(1)曲线上点的坐标都是_(2)以这个方程的解为坐标的点都是_那么，这个方程叫做_，这条曲线叫做_ 这个方程的解曲线上的点曲线的方程方程的曲线2求动点的轨迹方程的一般步骤(1)建系建立适当的坐标系(2)设点设轨迹上的任一点P(x，y)(3)列式列出动点P所满足的关系式(4)代换依条件式的特点，选用距离公式、斜率公式等将其转化为x，y的方程式，并化简(5)证明证明所求方程即为符合条件
2、的动点轨迹方程3两曲线的交点(1)由曲线方程的定义可知，两条曲线交点的坐标应该是两个曲线方程的公共解，即两个曲线方程组成的方程组的实数解；反过来，方程组有几组解，两条曲线就有几个交点；方程组无解，两条曲线就没有交点(2)两条曲线有交点的充要条件是它们的方程所组成的方程组有实数解可见，求曲线的交点问题，就是求由它们的方程所组成的方程组的实数解问题【答案】(1)(2)(3)(4)(5)【思考辨析】判断下面结论是否正确(请在括号中打“”或“”)(1)f(x0，y0)0 是点 P(x0，y0)在曲线 f(x，y)0 上的充要条件()(2)方程 x2xyx 的曲线是一个点和一条直线()(3)到两条互相垂
3、直的直线距离相等的点的轨迹方程是 x2y2.()(4)方程 y x与 xy2 表示同一曲线()(5)ykx 与 x1ky 表示同一直线()1方程(x2y24)xy10 的曲线形状是()【答案】C【解析】由题意可得 xy10 或x2y240，xy10，它表示直线 xy10 和圆 x2y240 在直线 xy10 右上方的部分 2已知点P是直线2xy30上的一个动点，定点M(1，2)，Q是线段PM延长线上的一点，且|PM|MQ|，则Q点的轨迹方程是()A2xy10 B2xy50 C2xy10D2xy50【解析】由题意知，M为PQ中点，设Q(x，y)，则P为(2x，4y)，代入2xy30得2xy50.
4、【答案】D【答案】椭圆或线段 3设定点 F1(0，3)，F2(0，3)，动点 P 满足条件|PF1|PF2|a9a(a0)，则点 P 的轨迹是_【解析】a9a2 a9a6.当 a3 时，a9a6，此时|PF1|PF2|F1F2|，P 点的轨迹为线段 F1F2，当 a3，a0 时，|PF1|PF2|F1F2|.由椭圆定义知 P 点的轨迹为椭圆 4(教材改编)和点O(0，0)，A(c，0)距离的平方和为常数c的点的轨迹方程为_【解析】设P(x，y)为轨迹上一点，则x2y2(xc)2y2c，2x22y22cxc2c0.【答案】2x22y22cxc2c0 5(教材改编)已知O方程为x2y24，过M(4
5、，0)的直线与O交于A，B两点，则弦AB中点P的轨迹方程为_【答案】(x2)2y24(0 x1)【解析】根据垂径定理知：OPPM，所以 P 点轨迹是以OM 为直径的圆且在O 内的部分，以 OM 为直径的圆的方程为(x2)2y24，它与O 的交点为(1，3)，结合图形可知所求轨迹方程为(x2)2y24(0 x1)题型一 定义法求轨迹方程【例1】已知圆M：(x1)2y21，圆N：(x1)2y29，动圆P与圆M外切并且与圆N内切，圆心P的轨迹为曲线C.求C的方程【解析】由已知得圆 M 的圆心为 M(1，0)，半径 r11；圆 N 的圆心为 N(1，0)，半径 r23.设圆 P 的圆心为 P(x，y)
6、，半径为 R.因为圆 P 与圆 M 外切并且与圆 N 内切，所以|PM|PN|(Rr1)(r2R)r1r242|MN|.由椭圆的定义可知，曲线 C 是以 M，N 为左，右焦点，长半轴长为 2，短半轴长为 3的椭圆(左顶点除外)，其方程为x24y231(x2)【方法规律】应用定义法求曲线方程的关键在于由已知条件推出关于动点的等量关系式，由等量关系结合曲线定义判断是何种曲线，再设出标准方程，用待定系数法求解 跟踪训练1 已知动圆C与圆C1：(x1)2y21相外切，与圆C2：(x1)2y29相内切，设动圆圆心C的轨迹为T，且轨迹T与x轴右半轴的交点为A.(1)求轨迹T的方程；(2)已知直线l：ykx
7、m与轨迹T相交于M，N两点(M，N不在x轴上)若以MN为直径的圆过点A，求证：直线l过定点，并求出该定点的坐标【解析】(1)设动圆 C 的半径为 r，则|CC1|r1，|CC2|3r，|CC1|CC2|4.点 C 的轨迹是以 C1，C2 为焦点(c1)，长轴长 2a4 的椭圆，点 C 的轨迹 T 的方程是x24y231.(2)证明 设 M(x1，y1)，N(x2，y2)，将 ykxm 代入椭圆方程得(4k23)x28kmx4m2120.x1x28km4k23，x1x24m2124k23.以 MN 为直径的圆过点 A，A 点的坐标为(2，0)，AM AN0，即(x12)(x22)y1y20.y1
8、kx1m，y2kx2m，y1y2k2x1x2km(x1x2)m2.将代入得 7m216km4k20.mk27或mk2，且都满足 0.由于直线 l：ykxm 与 x 轴的交点为mk，0，当mk2 时，直线 l 恒过定点(2，0)，不合题意舍去 mk27，直线 l：ykx27 恒过定点27，0.题型二 直接法求轨迹方程 命题点1 已知动点满足的关系式求轨迹方程(或判断轨迹)【例2】(2016课标全国)设圆x2y22x150的圆心为A，直线l过点B(1，0)且与x轴不重合，l交圆A于C，D两点，过B作AC的平行线交AD于点E.(1)证明|EA|EB|为定值，并写出点E的轨迹方程；(2)设点E的轨迹为
9、曲线C1，直线l交C1于M，N两点，过B且与l垂直的直线与圆A交于P，Q两点，求四边形MPNQ面积的取值范围【解析】(1)证明 因为|AD|AC|，EBAC，故EBDACDADC.所以|EB|ED|，故|EA|EB|EA|ED|AD|.又圆 A 的标准方程为(x1)2y216，从而|AD|4，所以|EA|EB|4.由题设得 A(1，0)，B(1，0)，|AB|2，由椭圆定义可得点E 的轨迹方程为x24y231(y0)(2)当 l 与 x 轴不垂直时，设 l 的方程为 yk(x1)(k0)，M(x1，y1)，N(x2，y2)由yk（x1），x24y231得(4k23)x28k2x4k2120.则
10、 x1x2 8k24k23，x1x24k2124k23.所以|MN|1k2|x1x2|12（k21）4k23.过点 B(1，0)且与 l 垂直的直线 m：y1k(x1)，A 到 m 的距离为2k21，所以|PQ|2 422k2124 4k23k21.故四边形 MPNQ 的面积 S12|MN|PQ|12 114k23.可得当 l 与 x 轴不垂直时，四边形 MPNQ 面积的取值范围为(12，8 3)当 l 与 x 轴垂直时，其方程为 x1，|MN|3，|PQ|8，四边形 MPNQ 的面积为 12.综上，四边形 MPNQ 面积的取值范围为12，8 3)命题点 2 无明确等量关系求轨迹方程【例 3】
11、(2016泰安质检)如图所示，动圆 C1：x2y2t2，1t3，与椭圆 C2：x29y21 相交于 A，B，C，D 四点，点 A1，A2 分别为 C2 的左，右顶点(1)当t为何值时，矩形ABCD的面积取得最大值？并求出其最大面积(2)求直线AA1与直线A2B交点M的轨迹方程【解析】(1)设 A(x0，y0)，则 S 矩形 ABCD4|x0y0|，由x209y201 得 y201x209，从而 x20y20 x201x209 19x2092294.当 x2092，y2012时，Smax6.从而 t2x20y205，t 5，当 t 5时，矩形 ABCD 的面积取到最大值 6.(2)由椭圆 C2：
12、x29y21，知 A1(3，0)，A2(3，0)，由曲线的对称性及 A(x0，y0)，得 B(x0，y0)，设点 M 的坐标为(x，y)，直线 AA1 的方程为 y y0 x03(x3)直线 A2B 的方程为 y y0 x03(x3)由得 y2 y20 x209(x29)又点 A(x0，y0)在椭圆 C 上，故 y201x209.将代入得x29y21(x3，y0)因此点 M 的轨迹方程为x29y21(x3，y0)【方法规律】直接法求轨迹方程的常见类型及解题策略：(1)题目给出等量关系，求轨迹方程直接代入即可得出方程(2)题中未明确给出等量关系，求轨迹方程可利用已知条件寻找等量关系，得出方程 跟
13、踪训练 2(1)已知 A，B 为平面内两定点，过该平面内动点M 作直线 AB 的垂线，垂足为 N.若MN 2 ANNB，其中 为常数，则动点 M 的轨迹不可能是()A圆 B椭圆C抛物线D双曲线(2)(2016中原名校联考)已知双曲线x22y21 的左、右顶点分别为 A1，A2，点 P(x1，y1)，Q(x1，y1)是双曲线上不同于 A1、A2 的两个不同的动点，则直线 A1P 与 A2Q 交点的轨迹方程为_【解析】(1)以 AB 所在直线为 x 轴，AB 的中垂线为 y 轴，建立坐标系，设 M(x，y)，A(a，0)，B(a，0)，则 N(x，0)因为MN 2ANNB，所以 y2(xa)(ax
14、)，即 x2y2a2，当 1 时，轨迹是圆；当 0 且 1 时，轨迹是椭圆；当 0 时，轨迹是双曲线；当 0 时，轨迹是直线 综上，动点 M 的轨迹不可能是抛物线(2)由题设知|x1|2，A1(2，0)，A2(2，0)，则有直线A1P 的方程为 yy1x1 2(x 2)，直线 A2Q 的方程为 y y1x1 2(x 2)，联立，解得x2x1；y 2y1x1，x12x，y1 2yx，x0，且|x|2，因为点 P(x1，y1)在双曲线x22y21 上，所以x212y211.将代入上式，整理得所求轨迹的方程为x22y21(x0，且 x 2)【答案】(1)C(2)x22y21(x0，且 x 2)题型三
15、 相关点法求轨迹方程【例4】设直线xy4a与抛物线y24ax交于两点A，B(a为定值)，C为抛物线上任意一点，求ABC的重心的轨迹方程【解析】设ABC的重心为G(x，y)，点C的坐标为(x0，y0)，A(x1，y1)，B(x2，y2)由方程组：xy4a，y24ax 消去 y 并整理得：x212ax16a20.x1x212a，y1y2(x14a)(x24a)(x1x2)8a4a.G(x，y)为ABC 的重心，xx0 x1x23x012a3，yy0y1y23y04a3，x03x12a，y03y4a.又点 C(x0，y0)在抛物线上，将点 C 的坐标代入抛物线的方程得：(3y4a)24a(3x12a
16、)，即y4a324a3(x4a)又点 C 与 A，B 不重合，x0(62 5)a，ABC 的重心的轨迹方程为 y4a324a3(x4a)x62 53a.【方法规律】“相关点法”的基本步骤：(1)设点：设被动点坐标为(x，y)，主动点坐标为(x1，y1)；(2)求 关 系 式：求 出 两 个 动 点 坐 标 之 间 的 关 系 式x1f（x，y），y1g（x，y）；(3)代换：将上述关系式代入已知曲线方程，便可得到所求动点的轨迹方程跟踪训练 3 设 F(1，0)，M 点在 x 轴上，P 点在 y 轴上，且MN2MP，PM PF，当点 P 在 y 轴上运动时，求点 N 的轨迹方程【解析】设 M(x
17、0，0)，P(0，y0)，N(x，y)，PM PF，PM(x0，y0)，PF(1，y0)，(x0，y0)(1，y0)0，x0y200.由MN 2MP 得(xx0，y)2(x0，y0)，xx02x0，y2y0，即x0 x，y012y.xy240，即 y24x.故所求的点 N 的轨迹方程是 y24x.思想与方法系列20 利用参数法求轨迹方程【典例】(12分)如图，在正方形OABC中，O为坐标原点，点A的坐标为(10，0)，点C的坐标为(0，10)，分别将线段OA和AB十等分，分点分别记为A1，A2，A9和B1，B2，B9，连接OBi，过Ai作x轴的垂线与OBi交于点Pi(iN*，1i9)(1)求证
18、：点Pi(iN*，1i9)都在同一条抛物线上，并求该抛物线E的方程；(2)过点C作直线l与抛物线E交于不同的两点M，N，若OCM与OCN的面积比为41，求直线l的方程【规范解答】方法一(1)证明 依题意，过 Ai(iN*，1i9)且与 x 轴垂直的直线方程为 xi，Bi 的坐标为(10，i)，所以直线 OBi 的方程为 y i10 x.(2 分)设 Pi 的坐标为(x，y)，由xi，y i10 x，得 y 110 x2，即 x210y.所以点 Pi(iN*，1i9)都在同一条抛物线上，且抛物线 E的方程为 x210y.(4 分)(2)依题意知，直线 l 的斜率存在，设直线 l 的方程为 ykx
19、10.由ykx10，x210y，得 x210kx1000，此时 100k24000，直线 l 与抛物线 E 恒有两个不同的交点 M，N.(6 分)设 M(x1，y1)，N(x2，y2)，则x1x210k，x1x2100，因为 SOCMSOCN41，所以 SOCM4SOCN，所以|x1|4|x2|.又 x1x20，所以 x14x2，把代入和，得3x210k，4x22100，解得 k32.(10 分)所以直线 l 的方程为 y32x10，即 3x2y200 或 3x2y200.(12 分)方法二(1)点 Pi(iN*，1i9)都在抛物线 E：x210y 上 证明如下：过 Ai(iN*，1i9)且与
20、 x 轴垂直的直线方程为 xi，Bi 的坐标为(10，i)，所以直线 OBi 的方程为 y i10 x.(2 分)由xi，y i10 x，解得 Pi 的坐标为i，i210，因为点 Pi 的坐标都满足方程 x210y，所以点 Pi(iN*，1i9)都在同一条抛物线上，且抛物线 E的方程为 x210y.(4 分)(2)同方法一【温馨提醒】参数法求轨迹方程的步骤：(1)选取参数 k，用 k 表示动点 M 的坐标(2)得出动点 M 的参数方程xf（k），yg（k）.(3)消去参数 k，得 M 的轨迹方程(4)由 k 的范围确定 x，y 的范围.方法与技巧 求轨迹的常用方法(1)直接法：如果动点满足的几
21、何条件本身就是一些几何量(如距离与角)的等量关系，或这些几何条件简单明了且易于表达，我们只需把这种关系转化为x、y的等式就得到曲线的轨迹方程(2)待定系数法：已知所求曲线的类型，求曲线方程先根据条件设出所求曲线的方程，再由条件确定其待定系数(3)定义法：其动点的轨迹符合某一基本轨迹(如直线或圆锥曲线)的定义，则可根据定义采用设方程，求方程系数得到动点的轨迹方程(4)代入法(相关点法)：当所求动点M是随着另一动点P(称之为相关点)而运动时如果相关点P所满足某一曲线方程，这时我们可以用动点坐标表示相关点坐标，再把相关点代入曲线方程，就是把相关点所满足的方程转化为动点的轨迹方程，这种求轨迹的方法叫做相关点法或代入法 失误与防范 1求轨迹方程时，要注意曲线上的点与方程的解是一一对应的检验可从以下两个方面进行：一是方程的化简是不是同解变形；二是是否符合题目的实际意义 2求点的轨迹与轨迹方程是不同的要求，求轨迹时，应先求轨迹方程，然后根据方程说明轨迹的形状、位置、大小等
