1、汕头市金山中学2023届高三第一学期摸底考试数 学一、单选题（18题）1已知集合，则=( )ABCD2设复数满足，则=( )ABCD3已知平面向量满足，则的最小值为( )A1 BC2 D34等差数列的前项和为，若，则=( )A27 B45 C18 D365若圆上总存在两个点到点的距离为2，则实数的取值范围是( )ABCD6已知，则=( )ABCD7已知三棱锥的顶点都在球的球面上，底面为等边三角形，且其所在圆的面积为若三棱锥的体积的最大值为，则球的体积为( )ABCD8设函数有4个不同零点，则正实数的范围为( )ABCD（9-12多选题）9已知不等式的解集为或，则下列结论正确的是( )ABCD的
2、解集为或10函数在一个周期内的图象可以是( )11下列判断，正确的选项有( )A若的图象关于点对称是奇函数B曲线的图象关于直线对称；C函数定义在上的可导函数，其导函数为奇函数，则为偶函数D函数定义在上的可导函数，导函数，且是偶函数，则的图象关于点对称12如图，正方形中，将沿翻折到位置，点平面内，记二面角大小为，在折叠过程中，满足下列什么关系( )A四棱锥最大值为B角可能为61CD二、填空题13已知向量，且，则=.14如图，发电厂的冷却塔外形是由双曲线的一部分绕其虚轴所在的直线旋转所得到的曲面，该冷却塔总高度为70米，水平方向上塔身最窄处的半径为20米，最高处塔口半径25米，塔底部塔口半径为米，
3、则该双曲线的离心率为_15已知，若存在常数，使恒成立，则的取值范围是.16直线过抛物线的焦点且与抛物线交于两点，则的最小值为.三、解答题（17题10分，其余每题各12分）17记为数列的前项和，已知1)证明：是等差数列；2)若成等比数列，求的最小值18设的三个内角所对的边分别为且.1)求角的大小；2)若，求的取值范围19全国中学生生物学竞赛隆重举行为做好考试的评价工作，将本次成绩转化为百分制，现从中随机抽取了50名学生的成绩，经统计，这批学生的成绩全部介于40至100之间，将数据按照40，50)，50，60)，60，70)，70，80)，80，90)，90，100分成6组，制成了如图所示的频率分
4、布直方图(1)求频率分布直方图中的值，并估计这50名学生成绩的中位数；(2)在这50名学生中用分层抽样的方法从成绩在70，80)，80，90)，90，100的三组中抽取了11人，再从这11人中随机抽取3人，记为3人中成绩在80，90)的人数，求的分布列和数学期望；20如图，在四棱锥中，底面正方形，平面底面，平面底面，分别是的中点，为的中点1)证明：平面；2)求与平面所成角的正弦值21已知为椭圆的左焦点，直线与交于两点，且的周长和面积分别是和21)求椭圆的方程；2)如图，若关于原点的对称点为，不经过且斜率为的直线与交于点直线与交于点，证明点在定直线上22已知函数，和,1)若与有相同的最小值，求的
5、值；2)设有两个零点，求的取值范围数学参考答案单选18题 CADB ACBA（912多选题）9ABC 10AC 11ACD 12AD-18， 171)由已知由-，得即，且是以2为公差的等差数列 5分(2)由(1)可得，成等比数列，即，解得当且仅当，即时，的最小值为-13 10分18解：1）在中，. 1分，2分由正弦定理3分，4分，5分2），7分10分， 11分，当取得最大值所求的12分191)由频率分布直方图的性质可得，设中位数为，解得4分2)的三组频率之比为0.28：0.12：0.04=7：3：1从中分别抽取7人，3人，1人，6分所有可能取值为0，1，2，3，7分，故的分布列为：012310
6、分故12分201)如图，取中点，连接分别是的中点，又分别是的中点，平面平面，平面，同理，分别是的中点，平面，平面平面，又，平面平面平面平面平面，平面，6分2）先证平面7分如图，以为坐标原点，的方向分别为轴的正方向建立空间直角坐标系，设，则，可得，8分设平面的法向量为，可得，即，令，得，10分故，即与平面所成角的正弦值为12分21(1)解：将代入中，解得，则，1分所以的面积为，所以. 2分设的右焦点为，连接，由椭圆的对称性可知，所以的周长为，所以，由解得，4分所以的标准方程为. 5分(2)解：设，直线的方程为，联立直线与椭圆的方程，并消去得，则，得且，且，7分，所以直线的方程为，即，直线的方程为，即，9分联立直线与直线的方程，得，得，所以所以，即点在定直线上. 12分22解：1），当时，单调递减，无最值，得说单调2分说单调3分依题4分2），令，6分8分又，得9分，在与各有一个零点11分所以所求的12分
