1、2.2.2 反证法(本栏目内容，在学生用书中以独立形式分册装订！)一、选择题(每小题5分，共20分)1用反证法证明命题：“三角形三个内角至少有一个不大于60”时，应假设()A三个内角都不大于60B三个内角都大于60C三个内角至多有一个大于60D三个内角至多有两个大于60解析：因为“至少有一个”的反面是“一个也没有”，所以“三角形三个内角至少有一个不大于60”的否定是“三角形三个内角一个也没有不大于60”即“三个内角都大于60”，故选B.答案：B2用反证法证明命题“三角形的内角中至多有一个钝角”时，反设正确的是()A三个内角中至少有一个钝角B三个内角中至少有两个钝角C三个内角都不是钝角D三个内角
2、都不是钝角或至少有两个钝角解析：“至多有一个”即要么一个都没有，要么有一个，故反设为“至少有两个”答案：B3设a，b，c都是正数，则三个数a，b，c的值()A都小于2B至少有一个不大于2C至少有一个不小于2 D都大于2解析：假设这三个数都小于2，即a2，b2，c2，则6.又由基本不等式知，当a0，b0，c0时，2226，与假设矛盾，故选C.答案：C4有以下结论：已知p3q32，求证pq2，用反证法证明时，可假设pq2；已知a，bR，|a|b|1，求证方程x2axb0的两根的绝对值都小于1，用反证法证明时可假设方程有一根x1的绝对值大于或等于1，即假设|x1|1.下列说法中正确的是()A与的假设
3、都错误B与的假设都正确C的假设正确；的假设错误D的假设错误；的假设正确解析：用反证法证题时一定要将对立面找全在中应假设pq2.故的假设是错误的，而的假设是正确的，故选D.答案：D二、填空题(每小题5分，共10分)5用反证法证明“如果ab，那么”，假设内容应是_答案：6完成反证法证题的全过程题目：设a1，a2，a7是1,2，7的一个排列，求证：乘积p(a11)(a22)(a77)为偶数证明：反设p为奇数，则_均为奇数因奇数个奇数之和为奇数，故有奇数_0.但奇数偶数，这一矛盾说明p为偶数解析：反设p为奇数，则a11，a22，a77均为奇数，因为奇数个奇数之和为奇数，故有奇数(a11)(a22)(a
4、77)(a1a2a7)(127)0.但奇数偶数，这一矛盾说明p为偶数答案：a11，a22，a77(a11)(a22)(a77)(a1a2a7)(127)三、解答题(每小题10分，共20分)7已知a1，求证三个方程：x24ax4a30，x2(a1)xa20，x22ax2a0中至少有一个方程有实数解证明：假设三个方程都没有实根，则三个方程中：它们的判别式都小于0，即：a1，这与已知a1矛盾，所以假设不成立，故三个方程中至少有一个方程有实数解8若函数f(x)在区间a，b上是单调函数，求证：方程f(x)0在区间a，b上至多有一个实根证明：假设方程f(x)0在区间a，b上至少有两个实根，设为x1，x2，且x1x2，则有f(x1)f(x2)0.因为函数f(x)在区间a，b上是单调函数，所以f(x1)f(x2)，这与f(x1)f(x2)矛盾，所以假设不成立故方程f(x)0在区间a，b上至多有一个实根9(10分)已知abc0，abbcca0，abc0，证明：a，b，c都大于零证明：假设a0，则a0.abc0，bc0，又由abc0，得bca0abbccaa(bc)bc0，与题设矛盾，若a0，则与abc0矛盾，必有a0，同理可证：b0，c0.3
