1、第2课时指数函数及其图象、性质(二)课后训练巩固提升A组1.函数f(x)=1-2x+1x+3的定义域为()A.(-3,0B.(-3,1C.(-,-3)(-3,0D.(-,-3)(-3,1解析:由题意可知自变量x应满足1-2x0,x+30,解得-30,且a1),满足f(1)=19,则f(x)的单调递减区间是()A.(-,2B.2,+)C.-2,+)D.(-,-2解析:由f(1)=19得a2=19.所以a=13a=-13舍去,即f(x)=13|2x-4|.因为y=|2x-4|在区间(-,2上单调递减,在区间2,+)内单调递增,所以f(x)在区间(-,2上单调递增,在区间2,+)内单调递减.答案:B
2、5.设f(x)=|3x-1|,cbf(a)f(b),则下列关系式一定成立的是()A.3c3bC.3c+3a2D.3c+3a2解析:画出f(x)=|3x-1|的图象如右.由cbf(a)f(b)可知c,b,a不在同一个单调区间上.故有c0.所以f(c)=1-3c,f(a)=3a-1.又因为f(c)f(a),所以1-3c3a-1,即3c+3a3成立的x的取值范围为()A.(-,-1)B.(-1,0)C.(0,1)D.(1,+)解析:由题意知f(x)=-f(-x),即2x+12x-a=-2-x+12-x-a.所以(1-a)(2x+1)=0,解得a=1,所以f(x)=2x+12x-1.由f(x)=2x+
3、12x-13,得12x2,即202x21.因为y=2x在R上单调递增,所以0x1.答案:C7.函数f(x)=13x2-4x-5的单调递减区间是.解析:函数f(x)由f(t)=13t与t(x)=x2-4x-5复合而成,其中f(t)=13t在定义域上是减函数,t(x)=x2-4x-5在区间(-,2)内单调递减,在区间(2,+)内单调递增.由复合函数的单调性可知,函数f(x)的单调递减区间为(2,+).答案:(2,+)8.若关于x的方程2x-a+1=0有负根,则a的取值范围是.解析:因为2x=a-1有负根,所以x0.所以02x1.所以0a-11,即1a0时,f(x)=1-2-x,求不等式f(x)-1
4、2的解集.解:因为f(x)是定义在R上的奇函数,所以f(0)=0.当x=0时,f(0)=0-12不成立;当x0时,f(x)=-f(-x)=-(1-2x)=2x-1.由2x-1-12,即2x2-1,得x0时,由1-2-x32,得x.综上可知,不等式f(x)0,且a1)的图象过点A(0,1),B(3,8).(1)求函数f(x)的解析式;(2)若函数g(x)=f(x)-1f(x)+1,试判断函数g(x)的奇偶性并给出证明.解:(1)由已知得k=1,ka-3=8,解得k=1,a=12.故f(x)=12-x=2x.(2)由(1)知g(x)=2x-12x+1,可判断函数g(x)为奇函数.证明:因为函数g(
5、x)的定义域为R,且g(-x)=2-x-12-x+1=1-2x1+2x=-2x-12x+1,所以函数g(x)是奇函数.B组1.若函数f(x)=a|x+1|(a0,且a1)的值域为1,+),则f(-4)与f(1)的大小关系是()A.f(-4)f(1)B.f(-4)=f(1)C.f(-4)0,a1)的值域为1,+),所以a1.所以函数f(x)=a|x+1|在区间(-1,+)内单调递增,且它的图象关于直线x=-1对称,所以函数f(x)在区间(-,-1)内单调递减.所以f(1)=f(-3).所以f(-4)f(1).答案:A2.若函数f(x)=-x+3-3a,x0,且a1)在R上是减函数,则实数a的取值
6、范围是()A.0,23B.(0,1)C.0,23D.23,1解析:当x0时,函数f(x)=-x+3-3a单调递减;当x0时,可知函数f(x)=ax单调递减,故0a1.又满足0+3-3aa0,解得a23.所以实数a的取值范围是0,23.答案:A3.函数y=12x2-x-14的值域是.解析:令t=x2-x-14,则t=x-122-12,即t-12,+.所以y=12t0,12-12,即y(0,2.答案:(0,24.若函数f(x)=3-x2+2ax在区间(-,1)内单调递增,则a的取值范围是.解析:由函数f(x)=3-x2+2ax在区间(-,1)内单调递增,可得函数y=-x2+2ax在区间(-,1)内
7、单调递增,故有a1.答案:1,+)5.设函数f(x)=2x,x2,x2,x2,若f(a+1)f(2a-1),则实数a的取值范围是.解析:画出函数f(x)的图象如图所示,易知f(x)=2x,x2,x2,x2是定义域R上的增函数.因为f(a+1)f(2a-1),所以a+12a-1,解得a2.所以a的取值范围是(-,2.答案:(-,26.已知函数f(x)=3x+k3-x为奇函数.(1)求实数k的值;(2)若关于x的不等式f(9ax2-2x-1)+f(1-3ax-2)0只有一个正整数解,求实数a的取值范围.解:(1)因为f(x)是奇函数,所以f(x)+f(-x)=3x+k3-x+3-x+k3x=(k+
8、1)(3x+3-x)=0对一切实数x都成立.所以k=-1.(2)易得f(x)为R上的增函数,又f(x)是奇函数,所以由f(9ax2-2x-1)+f(1-3ax-2)0,可得9ax2-2x-13ax-2-1,即32ax2-4x3ax-2,即2ax2-4xax-2,即(ax-2)(2x-1)0时,由不等式只有一个正整数解,可知不等式的解集为12,2a,且12a2,解得1a0,且a1).(1)判断f(x)的奇偶性;(2)讨论f(x)的单调性;(3)当x-1,1时,f(x)b恒成立,求实数b的取值范围.解:(1)因为函数f(x)的定义域为R,关于原点对称,又f(-x)=aa2-1(a-x-ax)=-f(x),所以f(x)为奇函数.(2)当a1时,aa2-10,y=ax在R上是增函数,y=a-x在R上是减函数,所以y=ax-a-x在R上是增函数.所以f(x)在R上是增函数.当0a1时,aa2-10,且a1时,f(x)在定义域内是增函数.(3)由(2)知f(x)在区间-1,1上单调递增,所以f(-1)f(x)f(1).所以f(x)min=f(-1)=aa2-1(a-1-a)=-1.所以要使f(x)b在区间-1,1上恒成立,只需b-1.所以实数b的取值范围是(-,-1.
