1、3.1.5 空间向量运算的坐标表示三维目标 1.知识与技能掌握空间向量的坐标运算规律、平行向量坐标表示2过程与方法通过空间坐标系的建立和空间向量坐标运算规律的探索，发展学生的空间想象能力、探究能力，进一步熟悉类比、由一般到特殊、由直觉猜想到推理论证等思维方法，提高学生的科学思维素养3情感、态度与价值观通过教师的引导、学生探究，激发学生求知欲望和学习兴趣，使学生经历数学思维全过程，品尝到成功的喜悦重点难点重点：体会空间直角坐标系，空间点的坐标，学会空间向量的坐标表示与运算难点：空间向量坐标的确定，掌握空间向量模、夹角等的计算(教师用书独具)教学建议 本节课学习之前，学生已掌握了平面向量坐标运算及
2、规律，并学会了空间向量的几何形式及其运算，数学基础较为扎实，学习上具备了一定观察、分析、解决问题的能力，但在探究问题的内部联系和内在发展上还有所欠缺，所以要通过教师的引导，学生的自主探索，不断地完善自我的认知结构本节课可通过降维、由特殊到一般、多媒体动态演示、现实模型辅助理解等手段多角度确定向量坐标；通过例题的探究和变式训练突破知识应用的难点；强化合作探究，适当运用多媒体教学设备教学流程课标解读1.掌握空间向量的坐标运算，会判定两向量共线或垂直(重点)2.掌握空间向量的模、夹角公式和两点间的距离公式，能运用这些知识解决相关问题(难点、易错点)空间向量线性运算的坐标表示【问题导思】1已知向量a(
3、a1，a2)，b(b1，b2)，如何表示ab，ab，a?【提示】ab(a1b1，a2b2)，ab(a1b1，a2b2)，a(a1，a2)2如果ab(b0)，则a、b坐标满足什么关系？【提示】aba1b1，a2b2.空间向量线性运算的坐标表示设a(a1，a2，a3)，b(b1，b2，b3)，则(1)ab(a1b1，a2b2，a3b3)；(2)ab(a1b1，a2b2，a3b3)；(3)a(a1，a2，a3)(R)；(4)b0，ababa1b1，a2b2，a3b3.空间向量数量积的坐标表示及夹角公式【问题导思】1已知向量a(a1，a2)，b(b1，b2)，如何用坐标表示ab?【提示】aba1b1a
4、2b2.2用向量的数量积运算还能解决向量中的哪些方面的问题？【提示】求向量的模、夹角等若a(a1，a2，a3)，b(b1，b2，b3)，则(1)ab_a1b1a2b2a3b3；(2)|a|；(3)a0，b0，cosa，b；(4)a0，b0，abab0a1b1a2b2a3b30.空间中两点间的距离公式在空间直角坐标系中，设A(a1，b1，c1)，B(a2，b2，c2)，则(1)(a2a1，b2b1，c2c1)；(2)dAB|.空间向量的坐标运算已知空间四点A，B，C，D的坐标分别是(1,2,1)，(1,3,4)，(0，1,4)，(2，1，2)若p，q，求下列各式的值：(1)p2q；(2)3pq；
5、(3)(pq)(pq)；(4)cosp，q【思路探究】(1)已知两点的坐标，怎样表示由这两点构成的向量的坐标？(2)向量的加、减、数乘、数量积的坐标运算的法则是怎样的？【自主解答】由于A(1,2,1)，B(1,3,4)，C(0，1,4)，D(2，1，2)，所以p(2,1,3)，q(2,0，6)(1)p2q(2,1,3)2(2,0，6)(2,1,3)(4,0，12)(6,1，9)(2)3pq3(2,1,3)(2,0，6)(6,3,9)(2,0，6)(4,3,15)(3)(pq)(pq)p2q2|p|2|q|2(221232)(220262)26.(4)cosp，q. 1一个向量的坐标等于表示这个
6、向量的有向线段的终点坐标减去起点坐标2在确定了向量的坐标后，使用空间向量的加减、数乘、数量积的坐标运算公式进行计算就可以了，但要熟练应用下列有关乘法公式：(1)(ab)2a22abb2.(2)(ab)(ab)a2b2.已知a(2，1，2)，b(0，1,4)求：(1)ab；(2)ab；(3)ab；(4)2a(b)；(5)(ab)(ab)【解】(1)ab(2，1，2)(0，1,4)(20，11，24)(2，2,2)；(2)ab(2，1，2)(0，1,4)(20，1(1)，24)(2,0，6)；(3)ab(2，1，2)(0，1,4)20(1)(1)(2)47；(4)2a(4，2，4)，(2a)(b)
7、(4，2，4)(0,1，4)40(2)1(4)(4)14；(5)(ab)(ab)a2b2414(0116)8.利用向量的坐标运算解决平行、垂直问题已知空间中三点A(2,0,2)，B(1,1,2)，C(3,0,4)，设a，b.(1)若|c|3，且c，求向量c；(2)若kab与ka2b互相垂直，求实数k的值；(3)若(ab)(ab)与z轴垂直，求，所满足的关系式【思路探究】【自主解答】(1)c，cmm(2，1,2)(2m，m,2m)，|c|3|m|3，m1，c(2，1,2)或(2,1，2)(2)由题意知kab(k1，k,2)，ka2b(k2，k，4)，(k1，k,2)(k2，k，4)(k1)(k2
8、)k280，k2或k，即kab与ka2b互相垂直时，实数k的值为2或.(3)由题意知ab(0,1,2)，ab(2,1，2)，(ab)(ab)(2，22)由题意知(2，22)(0,0,1)220，即当，满足0时，可使(ab)(ab)与z轴垂直向量平行与垂直问题主要有两种题型，(1)平行与垂直的判断；(2)利用平行与垂直求参数或其他问题，即平行与垂直的应用解题时要注意：适当引入参数(比如向量a，b平行，可设ab)，建立关于参数的方程；最好选择坐标形式，以达到简化运算的目的(2013厦门高二检测)已知a(1,1,2)，b(6,2m1,2)(1)若ab，分别求与m的值；(2)若|a|，且与c(2，2，
9、)垂直，求a.【解】(1)由ab，得(1,1,2)k(6,2m1,2)，解之得实数，m3.(2)|a|，且ac，化简，得解之得1.因此，a(0,1，2).利用向量的坐标运算求夹角与距离在长方体OABCO1A1B1C1中，|OA|2，|AB|3，|AA1|2，E是BC的中点，建立空间直角坐标系，用向量方法解下列问题(1)求直线AO1与B1E所成角的余弦值；(2)作O1DAC于D，求点O1到点D的距离【思路探究】【自主解答】建立如图所示空间直角坐标系Oxyz.(1)由题意得A(2,0,0)，O1(0,0,2)，B1(2,3,2)，E(1,3,0)(2,0,2)，(1,0，2)cos，.AO1与B1
10、E所成角的余弦值为.(2)由题意得，.C(0,3,0)，设D(x，y,0)，(x，y，2)，(x2，y,0)，(2,3,0)解得D(，0)|O1D|.1解答本题时不要误认为直线AO1与B1E所成角的余弦值是.2空间向量的数量积应用很广泛，其主要用途有：(1)求向量的模|a|；(2)求角，利用公式cosab；(3)证明垂直ab0ab.棱长为1的正方体ABCDA1B1C1D1中，E、F、G分别是DD1、BD、BB1的中点(1)求证：EFCF；(2)求EF与GC所成角的余弦值；(3)求CE的长【解】以D为坐标原点，分别以DA、DC、DD1所在直线为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系则D(
11、0,0,0)，E(0,0，)，C(0,1,0)，F(，0)，G(1,1，)，(，)，(，0)，(1,0，)，(0，1，)，(1)()(0)0，即EFCF.(2)10()()，|，|，cos，.(3)|.忽略向量的方向致误在ABC中，已知(2,4,0)，(1，3,0)，则ABC_.【错解】(2,4,0)，(1,3,0)cos，.ABC45.【答案】45【错因分析】以上解答的错误是忽视向量的方向，事实上，ABC的大小不是向量、的夹角，而是向量、的夹角【防范措施】在利用向量求角时一定要注意向量的方向，若与的夹角为，则与的夹角为.【正解】(2，4,0)，(1,3,0)，cos，.ABC135.【答案】
12、1351空间向量的坐标运算与平面向量的坐标运算类似，只是多了对竖坐标的运算2利用空间向量的坐标运算可以判断两个向量的平行、垂直；可以求向量的模以及两个向量的夹角3几何中的平行和垂直可以利用向量进行判断，利用直线的方向向量的关系可以证明直线的平行和垂直；距离、夹角问题可以借助于空间直角坐标系利用数量积解决1已知向量a(4，2，4)，b(6，3,2)，则下列结论正确的是()Aab(10，5，6)Bab(2，1，6)Cab10 D|a|6【解析】易验证A、B、C均不正确|a|6，可知D正确【答案】D2与向量a(1,2,3)，b(3,1,2)都垂直的向量为()A(1,7,5) B(1，7,5)C(1，
13、7,5) D(1，7，5)【解析】只有C答案中向量与a，b的数量积为0.【答案】C3已知a(2，1,3)，b(1,3，2)，a，b的夹角为，则_.【解析】cos ，120.【答案】1204已知a(1,1,0)，b(0,1,1)，c(1,0,1)，且pab，qa2bc，求p，q，pq.【解】p(1,1,0)(0,1,1)(1,0，1)，q(1,1,0)2(0,1,1)(1,0,1)(0,3,1)，pq(1,0，1)(0,3,1)1003(1)11.一、选择题1(2013济宁高二检测)已知a(1，2,1)，ab(1,2，1)，则b()A(2，4,2)B(2,4，2)C(2,0，2) D(2,1，3
14、)【解析】ba(1,2，1)(1，2,1)(1,2，1)(2，4,2)【答案】A2(2013荆州高二检测)设A(3,3,1)，B(1,0,5)，C(0,1,0)，则AB的中点M到点C的距离|CM|的值为()A.B.C.D.【解析】AB的中点M(2，3)，(2，3)，故|CM| .【答案】C3已知向量a(2，x,2)，b(2,1,2)，c(4，2,1)，若a(bc)，则x的值为()A2 B2C3 D3【解析】bc(2,3,1)，a(bc)43x20，x2.【答案】A4点A(n，n1,2n)，B(1，n，n)，则|的最小值是()A. B.C2 D不存在【解析】(1n,12n，n)，|2(1n)2(
15、12n)2n26(n)2，当n时，|的最小值为.【答案】B5(2013临沂高二检测)已知a(cos ，1，sin )，b(sin ，1，cos )，则向量ab与ab的夹角是()A90 B60 C45 D30【解析】ab(cos sin ，2，sin cos )，ab(cos sin ，0，sin cos )，(ab)(ab)0，(ab)(ab)【答案】A二、填空题6已知A(2，5,1)，B(2，2,4)，C(1，4,1)，则向量与的夹角为_【解析】(0,3,3)，(1,1,0)，|3，|，0(1)31303，cos，60.【答案】607已知a(1,0,2)，b(b,21,2)，且ab，则_.【
16、解析】ab，atb.于是解之可得故.【答案】8(2013济南高二检测)若(4,6，1)，(4,3，2)，|a|1，且a，a，则a_.【解析】设a(x，y，z)，由题意有，代入坐标可解得：或【答案】(，)或(，)三、解答题9已知3a2b(2,0,4)，c(2,1,2)，ac2，|b|4，求cosb，c【解】(3a2b)c3ac2bc(2,0,4)(2,1,2)12，又ac2，bc3，由c(2,1,2)知|c|3.cosb，c.10已知向量a(1，3,2)，b(2,1,1)，点A(3，1，4)，B(2，2,2)(1)求|2ab|；(2)在直线AB上，是否存在一点E，使得b？(O为原点)【解】(1)
17、2ab(2，6,4)(2,1,1)(0，5,5)，故|2ab|5.(2)t(3，1,4)t(1，1，2)(3t，1t,42t)，若b，则b0，所以2(3t)(1t)(42t)0，解得t，因此存在点E，使得b，E点坐标为(，)图313211已知正方体ABCDA1B1C1D1用向量法解：(1)求A1B和B1C的夹角；(2)证明：A1BAC1；(3)求AC1的长度【解】(1)以D为原点，所在直线为坐标轴，建立空间直角坐标系Dxyz.设棱长为1，则A(1,0,0)，A1(1,0,1)，B(1,1,0)，B1(1,1,1)，C(0,1,0)，C1(0,1,1)，(0,1，1)，(1,0，1)，(0,1，
18、1)(1,0，1)0011.|，|.cos，.，0，180，A1B与B1C夹角为60.(2)由(1)知(0,1，1)，(1,1,1)，0110，A1BAC1.(3)(1,1,1)，|.即AC1的长度为.(1)已知向量x与向量a(2，1,2)共线，且ax18，求向量x；(2)已知空间A、B、C三点的坐标分别为(2，1,2)，(4,5，1)，(2,2,3)，求一点P，使()【自主解答】(1)向量x与a共线，xka.ax18，aka18，即k|a|218.9k18，k2.故x(4,2，4)(2)设点P(x，y，z)，则(x2，y1，z2)又()(3，2)x23，y1，z22.x5，y，z0.故点P的坐标为(5，0)设a(1，2,4)，求同时满足下列条件的向量x：xa；|x|10；x在yOz平面上【解】由条件，可设x(0，y，z)，再由条件得解得或x(0,4，2)或x(0，4，2). 15
