1、数学选修23(人教A版)计数原理本章小结一、两个原理1分类加法计数原理与分步乘法计数原理是关于计数的两个基本原理在解决具体问题时，首先必须弄清是“分类”还是“分步”，接着还要搞清“分类”或“分步”的具体标准是什么2注意分类、分步不能重复、不能遗漏二、排列、组合问题1对于有限制条件的排列、组合问题是先排有限制条件的元素，还是先排无限制条件的元素，这是解排列、组合问题的基本出发点，要根据具体情况而定2解排列、组合问题要谨防重复和遗漏3高考对排列、组合内容的考查，一般以实际应用问题形式出现较多，这是由于排列、组合的应用性强，并充满了思辨性和解法的多样性，易于考查学生的分析、解决问题的能力三、二项式定
2、理1二项展开式的通项公式是二项式定理中极为重要的知识点，在涉及二项展开式中某项或某项系数时，直接利用公式可化简所求问题2由于二项式定理表示的是一个恒等式，在二项展开式中，有关系数的和或组合数中的一些和的问题，可对照二项展开式，对a，b赋以特殊值，是解决这类问题的基本方法3有关三项式展开问题，可将三项中某两项看做一项，然后利用二项式定理处理. 4在利用二项式定理进行近似计算时，对底数进行处理，构造二项式，并根据要求的精确程度选取项数两个计数原理的应用在AOB的OA边上取m个点，在OB边上取n个点(均除O点外)，连同O点共mn1个点，现任取其中三个点为顶点作三角形，可作的三角形有()ACCCCBC
3、CCCCCCCCCCDCCCC解析：第一类：从OA边上(不包括O)任取一点与从OB边上(不包括O)任取两点，可构造一个三角形，有CC个；第二类：从OA边上(不包括O)任取两点与OB边上(不包括O)任取一点，可构造一个三角形，有CC个；第三类：从OA边上(不包括O)任取一点与OB边上(不包括O)任取一点，与O点可构造一个三角形，有CC个由分类加法计数原理共有NCCCCCC个三角形故选C.答案：C点评：两个计数原理提供了“完成某件事”是“分类”进行还是“分步”进行的计数方法在分类或分步中，针对具体问题考虑是否与“顺序”有关，以此来确定是用排列方法还是用组合方法解题排列组合问题现由五个人排在周一至周
4、五的五天中值班，每人一天，按下列条件各有多少种不同的排法？(1)甲不值周一且乙不值周二；(2)甲、乙不排在连续的两天；(3)甲排在乙的前面(不一定相邻)解析：(1)法一(直接法)分“甲值周二”和“甲不值周二”两类：甲值周二，则有A种排法；甲不值周二，则周二有A种排法，周一有A种排法，后三天有A种排法，所以甲不值周二的排法有AAA种，由分类加法计数原理，满足条件的排法种数为AAAA78(种)法二(间接法)五个人的排法总数为A种，甲值周一和乙值周二各有A种排法，甲值周一且乙值周二有A种排法，所以甲不值周一且乙不值周二的排法种数为A2AA78(种)(2)法一(直接法)甲、乙之外的其他三个人的排法种数
5、为A种，甲、乙不相邻有A种排法，所以排法种数为AA72(种)法二(间接法)五个人的排法总数为A种，甲、乙相邻的排法种数为AA种，所以排法种数为AAA72(种)(3)甲排在乙之前的排法种数为60(种)点评：解含有特殊元素、特殊位置的排列组合问题，一般应优先安排特殊元素，优先确定特殊位置的元素，再考虑其他元素与其他位置，也就是解题过程中的一种主次思想二项式定理的应用已知(a21)n展开式中各项系数之和等于5的展开式的常数项，而(a21)n的展开式的二项式系数最大的项等于54，求a的值解析：由5得，Tr1C5rrC5rx，令Tr1为常数项，则205r0，所以r4，所以常数项T5C16.又(a21)n
6、展开式的各项系数之和等于2n，由题意得2n16，所以n4.由二项式系数的性质知，(a21)n展开式中二项式系数最大的项是中间项Ca4，所以Ca454，所以a.点评：解决二项式定理问题，特别是涉及求二项展开式的通项的问题，关键在于抓住通项公式，还要注意区分“二项式系数”与“项的系数”一、选择题13名同学分别从英语、日语中各选修一门外语课程，不同的选修方法共有()A3种 B6种 C8种 D9种答案：C22 0012 0022 0032 012写成排列数的形式是()答案：B3如图所示为一电路图，从A到B共有可通电的线路的条数是()A12条B10条C8条D7条解析：按上、中、下三条线路可分为三类：上线
7、路中有3条，中线路中有1条，下线路中有224(条)，根据分类加法计数原理，共有3148(条)故选C.答案：C4(2013辽宁卷)使n(nN*)的展开式中含有常数项的最小的n为()A4 B5 C6 D7解析：展开式的通项公式Tr1C(3x)nrr，所以Tr13nrCxnr，r0,1,2，n.令nr0，nr，故最小正整数n5.故选B.答案：B5如果CC1C1，则n的值为()A8 B7C6 D不存在答案：B6某市拟从4个重点项目和6个一般项目中各选2个项目作为本年度要启动的项目，则重点项目A和一般项目B至少有一个被选中的不同选法的种数是()A15种 B45种C60种 D75种解析：从4个重点项目和6
8、个一般项目各选2个项目共有CC90种不同选法，重点项目A和一般项目B都不被选中的不同选法有CC30(种)，所以重点项目A和一般项目B至少有一个被选中的选法有903060(种)故选C.答案：C7(2013山东济宁模拟)某科技小组有六名学生(男生多于女生)，现从中选出三人去参观展览，若至少有一名女生入选的不同选法有16种，则该小组中的女生人数为()A2名 B3名C4名 D5名解析：若选出的三个人都是女生，则不合题意设男生人数为x，则女生有6x人依题意可得CCCC16，即16，化简得x26x80，解得x4或x2.因为男生多于女生，所以该小组中女生有2人故选A.答案：A8(2013海口高二检测)3位男
9、生和3位女生共6位同学站成一排，若男生甲不站两端，3位女生中有且只有两位女生相邻，则不同的排法的种数是()A360种 B288种C216种 D96种解析：先排三个男生有A6种不同的方法，然后再从3名女生中任取2人“捆”在一起记作A，(A共有CA6种不同排法)，剩下一名女生记作B，让A，B插入男生旁边4个位置中的两个位置有A12，此时共有6612432种，又男生甲不在两端，其中甲在两端的情况有：2A6A144种不同的排法，所以共有432144288种不同排法故选B.答案：B二、填空题9(2013汕头金山中学高二下学期期末)已知(1ax)5110xbx2a5x5，则b_.解析：依题意C(ax)11
10、0x，所以Ca10，得a2，所以bCa240.答案：4010已知a0，则的值等于_答案：25611某餐厅供应饭菜，每位顾客可以在餐厅提供的菜肴中任选2荤2素共4种不同的品种现在餐厅准备了5种不同的荤菜，若要保证每位顾客有200种以上不同的选择，则餐厅至少还需准备不同的素菜品种_种(结果用数值表示)答案：712(2013重庆卷)从3名骨科、4名脑外科和5名内科医生中选派5人组成一个抗震救灾医疗小组，则骨科、脑外科和内科医生都至少有1人的选派方法种数是_(用数字作答)解析：利用直接法分类求解一脑一内三骨的选法有CCC20种，一脑二内二骨的选法有CCC120种，一脑三内一骨的选法有CCC120种，二
11、脑一内二骨的选法有CCC90种，二脑二内一骨的选法有CCC180种，三脑一内一骨的选法有CCC60种，满足题意的选法共201201209018060590(种)答案：590种三、解答题13一个口袋里有6封信，另一个口袋里有5封信，各封信内容均不相同(1)从两个口袋中任取一封信，有多少种不同的取法？(2)从两个口袋里各取一封信，有多少种不同的取法？(3)把这两个口袋里的11封信，分别投入4个邮筒，有多少种不同的投法？解析：(1)任取一封信，不论从哪个口袋里取，都能单独完成这件事，因此是两类办法用分类加法计数原理，共有6511(种)(2)各取一封信，不论从哪个口袋中取，都不能算完成了这件事，因此应
12、分两个步骤完成，由分步乘法计数原理，共有6530(种)(3)第一封信投入邮筒有4种可能，第二封信仍有4种可能，第11封信还有4种可能由分步乘法计数原理可知，共有411种不同的投法14(2013昆明高二检测)二项式n的展开式中：(1)若n6，求倒数第二项(2)若第5项与第3项的系数比为563，求各项的二项式系数和解析：(1)二项式n的通项是Tr1C()nrr，当n6时，倒数第二项是T6C()655192x.(2)二项式n的通项Tr1C()nrr，则第5项与第3项分别为T5C()n44，T3C()n22，所以它们的系数分别为16C和4C.由于第5项与第3项的系数比为563，则16C4C563，解得
13、n10，所以各项的二项式系数和为CCC2101 024.15某节目的现场观众来自四个不同的单位，分别在如图中的A，B，C，D四个区域落座现有四种不同颜色的服装，每个单位的观众必须穿同色服装，且相邻区域不能同色，不相邻区域是否同色不受限制，则不同的着装方法共有多少种？解析：当A，B，C，D四个区域的观众服装颜色全不相同时，有432124种不同的方法；当A区与C区同色，B区和D区不同色且不与A，C同色时，或B区与D区同色，A区，C区不同色且不与B，D同色时，有243248种不同的方法；当A区与C区同色，B区与D区也同色且不与A，C同色时，有4312种不同的方法由分类加法计数原理知共有24481284种不同的着装方法16已知在n的展开式中，第6项为常数项，求展开式中的所有有理项解析：展开式的通项公式Tr1CxrxrCx，因为第6项为常数项，则r5时，有0，所以n10.根据通项公式，由题意得令k(kZ)，则102r3k，即r5k，因为rZ，所以k应为偶数，所以k可取2,0，2，即r可取2,5,8，所以第3项，第6项与第9项为有理项，分别是T32CxCx2，T6CxC，T9CxC.