1、课时规范练55分类加法计数原理与分步乘法计数原理 基础巩固组1.(2019河北阜平一中模拟,5)将6名留学归国人员分配到济南、青岛两地工作,若济南至少安排2人,青岛至少安排3人,则不同的安排方法数是()A.120B.150C.35D.652.(2019安徽蚌埠质检,7)某电商为某次活动设计了“和谐”“爱国”“敬业”三种红包,活动规定每人可以依次点击4次,每次都会获得三种红包的一种,若集全三种即可获奖,但三种红包出现的顺序不同对应的奖次也不同.员工甲按规定依次点击了4次,直到第4次才获奖.则他获得奖次的不同情形种数为()A.9B.12C.18D.243.(2019湖南师范大学附中、岳阳一中等六校
2、联考,7)若m,n均为非负整数,在做m+n的加法时各位均不进位(例如:2 019+100=2 119),则称(m,n)为“简单的”有序对,而m+n称为有序对(m,n)的值,那么值为2 019的“简单的”有序对的个数是()A.100B.96C.60D.304.(2019贵州铜仁一中模拟,7)现有4种不同的颜色要对图形中(如图)的四个部分涂色,要求有公共边的两部分不能用同一颜色,则不同的涂色方法有()种A.24B.30C.48D.505.某学校开设“蓝天工程博览课程”,组织6个年级的学生外出参观包括甲博物馆在内的6个博物馆,每个年级任选一个博物馆参观,则有且只有两个年级选择甲博物馆的方案有()A.
3、A62A54种B.A6254种C.C6254种D.C62A54种6.(2019黑龙江大庆模拟,8)数学与自然、生活相伴相随,无论是蜂的繁殖规律,树的分枝,还是钢琴音阶的排列,当中都蕴含了一个美丽的数学模型Fibonacci(斐波那契数列):1,1,2,3,5,8,13,21,这个数列前两项都是1,从第三项起,每一项都等于前面两项之和,请你结合斐波那契数列,尝试解答下面的问题:小明走楼梯,该楼梯一共8级台阶,小明每步可以上一级或二级,请问小明的不同走法种数是()A.20B.34C.42D.557.将数字1,2,3,4填入表格内,要求每行、每列的数字互不相同,如图所示,则不同的填表方式共有()种A
4、.432B.576C.720D.8648.(2019河北衡水模拟,14)从集合1,2,3,4,10中,选出5个数组成子集,使得这5个数中任意两个数的和都不等于11,则这样的子集有个.9.(2019内蒙古赤峰一模,14)某校从6名教师中选派3名教师去完成4项不同的工作,每人至少完成一项,每项工作由1人完成,其中甲和乙不同去,甲和丙只能同去或同不去,则不同的选派方案种数是.10.(2019福建宁德质检,14)中国古代十进制的算筹计数法,在数学史上是一个伟大的创造,算筹实际上是一根根同样长短的小木棍.如图,是利用算筹表示数19的一种方法.例如:137可表示为“”,26可表示为“”.现有6根算筹,据此
5、表示方法,若算筹不能剩余,则可以用19这9个数字表示三位数的个数为.综合提升组11.(2019江西南康中学模拟,7)任取集合1,2,3,4,10中三个不同数a1,a2,a3,且满足a2-a12,a3-a23,则选取这样的三个数的方法种数共有()A.27B.30C.35D.4812.把2支相同的晨光签字笔,3支相同的英雄钢笔,全部分给4名优秀学生,每名学生至少1支,则不同的分法有()A.24种B.28种C.32种D.36种13.现有红、黄、蓝、绿四个骰子,每个骰子的六个面上的数字分别为1,2,3,4,5,6.若同时掷这四个骰子,则四个骰子朝上的数字之积等于24的情形共有种(请用数字作答).14.
6、(2019河南南阳一中模拟,14)如图,矩形的对角线把矩形分成A,B,C,D四部分,现用5种不同颜色给四部分涂色,每部分涂1种颜色,要求共边的两部分颜色互异,则共有种不同的涂色方法(用数字作答).15.(2019江苏泰州模拟,11)在冬奥会志愿者活动中,甲、乙等5人报名参加了A,B,C三个项目的志愿者工作,因工作需要,每个项目仅需1名志愿者,且甲不能参加A,B项目,乙不能参加B,C项目,那么共有种不同的志愿者分配方案.(用数字作答)创新应用组16.将数字“124470”重新排列后得到不同的偶数个数为()A.180B.192C.204D.26417.(2019江苏连云港模拟,14)已知x,yN*
7、,满足1x-1y=12 019,则所有数对(x,y)的个数是.18.如图,在由若干个同样小的平行四边形组成的大平行四边形内有一个,则含有的平行四边形共有个.(用数字作答)参考答案课时规范练55分类加法计数原理与分步乘法计数原理1.C6名留学归国人员分配到济南、青岛两地工作.若济南至少安排2人,青岛至少安排3人,分两类,第一类,青岛安排3人,济南安排3人,有C63=20种;第二类,青岛安排4人,济南安排2人,有C64=15种.根据分类计数原理可得20+15=35种.故选C.2.C根据题意,若员工甲直到第4次才获奖,则其第4次才集全“和谐”“爱国”“敬业”三种红包,则甲第4次获得的红包有3种情况,
8、前三次获得的红包为其余的2种,有23-2=6种情况,则他获得奖次的不同情形种数为36=18种.故选C.3.C由题意可知,只要确定了m,n即可确定,则可确定一个有序数对(m,n),则对于数m,利用分步计数原理,第一位取法有3种:0,1,2;第二位取法有1种:0;第三位取法有2种:0,1;第四位取法有10种:0,1,2,3,4,5,6,7,8,9;所以值为2 019的“简单的”有序对的个数是31210=60.故选C.4.C根据题意,对于区域A,有4种颜色可选,有4种涂色方法;对于区域B,与区域A相邻,有3种颜色可选,有3种涂色方法;对于区域C,与区域A,B相邻,有2种颜色可选,有2种涂色方法;对于
9、区域D,与区域A,C相邻,有2种颜色可选,有2种涂色方法.则不同的涂色方法有4322=48种.故选C.5.C因为有且只有两个年级选择甲博物馆,所以参观甲博物馆的年级有C62种情况,其余年级均有5种选择,所以共有54种情况,根据分步乘法计数原理可得共有C6254种情况,故选C.6.B递推:登上第1级:1种;登上第2级:2种;登上第3级:1+2=3种(前一步要么从第1级迈上来,要么从第2级迈上来);登上第4级:2+3=5种(前一步要么从第2级迈上来,要么从第3级迈上来);登上第5级:3+5=8种;登上第6级:5+8=13种;登上第7级:8+13=21种;登上第8级:13+21=34种,故选B.7.
10、B对符合题意的一种填法如图,行交换共有A44=24种,列交换共有A44=24种,所以根据分步乘法计数原理得到不同的填表方式共有2424=576种,故选B.8.32由题意,将和等于11的放在一组:1和10,2和9,3和8,4和7,5和6.从每一小组中取一个,有C21=2种,共有22222=32个.9.252因为3名教师去完成4项不同的工作,每人至少完成一项,每项工作由1人完成,所以当3名教师确定时,则其中1人必须完成两项工作,故安排3名教师完成4项工作,可以先确定完成两项工作的1名人员,其方法有C31,然后再确定完成的工作,其方法有C42,然后再将剩下的两项工作分配给剩下的两人,其方法有C21,
11、故当3名教师确定时,完成工作的方法有C31C42C21种.因为甲和乙不同去,甲和丙只能同去或同不去,故有三种方法选择教师,第一种方法:甲参加,乙不参加,丙参加,再从剩下的3人中选择1人,其方法有C31种,第二种方法:甲不参加,乙参加,丙不参加,再从剩下的3人中选择2人,其方法有C32种,第三种方法:甲不参加,乙不参加,丙不参加,再从剩下的3人中选择3人,其方法有C33种;故最终选派的方法为(C31+C32+C33)C31C42C21=252种.10.38分情况讨论,当百位数为1时,十位数为1有2种,十位数为2有2种,十位数为3有2种,十位数为4有1种,为6有2种,为7有2种,为8有1种;当百位
12、数为2时,十位数为1有2种,为2有2种,为3有1种,为6有2种,为7有1种;当百位数为3时,十位数为1有2种,十位数为2有1种,为6有1种;当百位数为4时,只有1种;当百位数为6时,十位数为1有2种,为2有2种,为3有1种,为6有2种,为7有1种;当百位数为7时,十位数为1有2种,为2有1种,为6有1种;当百位数为8,只有一种,一共有38种.11.C第一类,a3-a1=5,a1,a3的值有5种情况,则a2只有1种情况,共有51=5种情况;第二类,a3-a1=6,a1,a3的值有4种情况,则a2有2种情况,共有42=8种情况;第三类,a3-a1=7,a1,a3的值有3种情况,则a2有3种情况,共
13、有33=9种情况;第四类,a3-a1=8,a1,a3的值有2种情况,则a2有4种情况,共有24=8种情况;第五类,a3-a1=9,a1,a3的值有1种情况,则a2有5种情况,共有15=5种情况;则选取这样的三个数方法种数共有5+8+9+8+5=35种,故选C.12.B第一类,有一个人分到一支钢笔和一支签字笔,这种情况下的分法:先将一支钢笔和一支签字笔分给一个人,有4种分法,将剩余的2支钢笔, 1支签字笔分给剩余3名同学,有3种分法,共有34=12种不同的分法;第二类,有一个人分到两支签字笔,这种情况下的分法:先将两支签字笔分给一个人,有4种情况,将剩余的3支钢笔分给剩余3个人,只有1种分法,共
14、有41=4种不同的分法;第三类,有一个人分到两支钢笔,这种情况的分法:先将两支钢笔分给一个人,有4种情况,再将剩余的两支签字笔和一支钢笔分给剩余的3个人,有3种分法,那共有34=12种不同的分法.综上所述,总共有12+4+12=28种不同的分法.故选B.13.52因为24=6411=6221=4321=3222,对于上述四种情形掷这四个骰子时,分别有A42=12,C41C32=12,A44=24,C41=4种情形,综上共有12+12+24+4=52种情形.14.260由题意,区域A有5种涂色方法;区域B有4种涂色方法;区域C的涂色方法可分2类:若C与A涂同色,区域D有4种涂色方法;若C与A涂不
15、同色,此时区域C有3种涂色方法,区域D也有3种涂色方法.所以共有544+5433=260种涂色方法.15.21若甲,乙都参加,则甲只能参加C项目,乙只能参加A项目,有3种方法;若甲参加,乙不参加,则甲只能参加C项目,有A32=6种方法;若甲参加,乙不参加,则乙只能参加A项目,有A32=6种方法;若甲不参加,乙不参加,有A33=6种方法.根据分类计数原理,共有3+6+6+6=21种.16.C根据题意,分3种情况讨论:个位数字为0,在前面5个数位中任选2个,安排2个数字4,有C52=10种情况,将剩下的3个数字全排列,安排在其他的数位,有A33=6种情况,则此时有106=60个偶数.个位数字为2,
16、0不能在首位,有4种情况,在剩下的4个数位中任选2个,安排2个数字4,有C42=6种情况,将剩下的2个数字全排列,安排在其他的数位,有A22=2种情况,则此时有462=48个偶数.个位数字为4,0不能在首位,有4种情况,将剩下的4个数字全排列,安排在其他的数位,有A44=24种情况,则此时有424=96个偶数.共有60+48+96=204个不同的偶数.故选C.17.4因为1x-1y=12 019,即2 019y-2 019x=xy,所以(x-2 019)(y+2 019)=-2 0192.因为已知x,yN*,所以y+2 0190,x-2 0190.又2 019=3673,故有以下情况:若x-2 019=-3,y+2 019=6732 019,得x=2 016,y=1 356 768,若x-2 019=-9,y+2 019=6732,得x=2 010,y=450 910,若x-2 019=-673,y+2 019=32 019,得x=1 346,y=4 038,若x-2 019=-1,y+2 019=2 0192,得x=2 018,y=2 0192 018,即(x,y)的值共4个.18.48含有的平行四边形的左上角的顶点有4种可能,右下角的顶点有12种可能.由一个左上角顶点和一个右下角顶点就能构成一个平行四边形,所以共有48个含有的平行四边形.
