1、山东省聊城市2021届高三数学三模试卷一、单选题（共8题；共40分）1.已知集合 A=1,2 ， B=a,a2+3 ，若 AB=1 ，则实数 a 的值为（ ） A.0B.1C.2D.32.已知 aR ， i 为虚数单位，若 a-3i2+4i 为实数，则 a 的值为（ ） A.32B.23C.-23D.-323.函数 f(x)=x2ex-e-x 的图象大致为（ ） A.B.C.D.4.已知直线 l:(a-1)x+y-3=0 ，圆 C:(x-1)2+y2=5 则“ a=-1 ”是“ l 与 C 相切”的（ ） A.必要不充分条件B.充分不必要条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件5.声强级 LI
2、 （单位：dB）由公式 LI=10lg(I10-12) 给出，其中 I 为声强（单位：W/m2）一般正常人听觉能忍受的最高声强级为120dB，平时常人交谈时声强级约为60dB，那么一般正常人能忍受的最高声强是平时常人交谈时声强的（ ） A.104倍B.105倍C.106倍D.107倍6.在某次脱贫攻坚表彰会上，共有36人受到表彰，其中男性多于女性，现从中随机选出2人作为代表上台领奖，若选出的两人性别相同的概率为 12 ，则受表彰人员中男性人数为（ ） A.15B.18C.21D.15或217.在 ABC 中， |AB|=3 ， |AC|=4 ， |BC|=5 ，M为BC中点，O为 ABC 的内
3、心，且 AO=AB+AM ，则 += （ ） A.712B.34C.56D.18.已知A ， B ， C是双曲线 x2a2-y2b2=1(a0,b0) 上的三点，直线AB经过原点O ， AC经过右焦点F ， 若 BFAC ，且 CF=32FA ，则该双曲线的离心率为（ ） A.172B.173C.32D.375二、多选题（共4题；共20分）9.对具有相关关系的两个变量x和y进行回归分折时，经过随机抽样获得成对的样本点数据 (x1,y1)(i=1,2,n) ，则下列结论正确的是（ ） A.若两变量x ， y具有线性相关关系，则回归直线至少经过一个样本点B.若两变量x ， y具有线性相关关系，则回
4、归直线一定经过样本点中心 (x,y)C.若以模型 y=aebx 拟合该组数据，为了求出回归方程，设 z=lny ，将其变换后得到线性方程 z=6x+ln3 ，则a ， b的估计值分别是3和6D.用 R2=1-i=1n(yi-yi)2i=1n(yi-y)2 来刻画回归模型的拟合效果时，若所有样本点都落在一条斜率为非零实数的直线上，则 R2 的值为110.将函数 y=sin2x+3cos2x+1 的图象向右平移 12 个单位长度，再将所有点的横坐标缩短到原来的 12 ，纵坐标不变，得到函数 g(x) 的图象，则下面对函数 g(x) 的叙述中正确的是（ ） A.函效 g(x) 的最小正周期为 2B.
5、函数 g(x) 图象关于点 (-12,0) 对称C.函数 g(x) 在区间 4,2 内单调递增D.函数 g(x) 图象关于直线 x=12 对称11.已知实数a、b ， 下列说法一定正确的是（ ） A.若 ab ，则 (27)b(27)aa1 ，则 logaba0 ， b0 ， a+2b=1 ，则 2a+1b 的最小值为8D.若 ba0 ，则 1+ab21+ba212.已知等边三角形ABC的边长为6，M ， N分别为AB ， AC的中点，将 AMN 沿MN折起至 AMN ，在四棱锥 A-MNCB 中，下列说法正确的是（ ） A.直线MN平面 ABCB.当四棱锥 A-MNCB 体积最大时，二面角
6、A-MN-B 为直二面角C.在折起过程中存在某位置使BN平面 ANCD.当四棱 A-MNCB 体积最大时，它的各顶点都在球O的球面上，则球O的表面积为 39三、填空题（共4题；共20分）13.数列1，1，2，3，5，8，13，21，34，称为斐波那契数列，是意大利著名数学家斐波那契于1202年在他写的算盘全书提出的，该数列的特点是：从第三起，每一项都等于它前面两项的和在该数列的前2021项中，奇数的个数为_ 14.曲线 y=ex+x2-23x 在 x=0 处的切线的倾斜角为 ，则 sin(2+2)= _ 15.已知点 A(0,5) ，过抛物线 x2=12y 上一点P作 y=-3 的垂线，垂足为
7、B ， 若 |PB|=|PA| ，则 |PB|= _ 16.已知函数 f(x)=(xex)2+(a-2)xex+2-a 有三个不同的零点 x1 ， x2 ， x3 ，其中 x1x2BD ，若 SABD=334 ， AD=7 ，求AC18.在 a1 ， a3 ， a21 成等比数列 S4=28 ， Sn+1=Sn+an+4 ，这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并做出解答 已知 an 是公差不为零的等差数列， Sn 为其n前项和， a2=5 ，_， bn 是等比数列， b2=9 ， b1+b3=30 ，公比 q1 （1）求数列 an ， bn 的通项公式； （2）数列 an 和 bn 的所
8、有项分别构成集合A ， B ， 将 AB 的元素按从小到大依次排列构成一个新数列 cn ，求 T80=c1+c2+c3+c80 19.如图，在平面四边形ABCD中， BC=CD ， BCCD ， ADBD ，以BD为折痕把 ABD 折起，使点A到达点P的位置，且 PCBC （1）证明： PDCD ； （2）若M为PB的中点，二面角 P-BC-D 的大小为60，求直线PC与平面MCD所成角的正弦值 20.2021年3月5日李克强总即在政府作报告中特别指出：扎实做好碳达峰，碳中和各项工作，制定2030年前碳排放达峰行动方案，优化产业结构和能源结构某环保机器制造商为响应号召，对一次购买2台机器的客户
9、推出了两种超过机器保修期后5年内的延保维修方案：方案一；交纳延保金5000元，在延保的5年内可免费维修2次，超过2次每次收取维修费1000元；方案二：交纳延保金6230元，在延保的5和内可免费维修4次，超过4次每次收取维修费t元；制造商为制定的收取标准，为此搜集并整理了200台这种机器超过保修期后5年内维修的次数，统计得到下表维修次数0123机器台数20408060以这200台机器维修次数的频率代替1台机器维修次数发生的概率，记X表示2台机器超过保修期后5年内共需维修的次数（1）求X的分布列；（2）以所需延保金与维修费用之和的均值为决策依据，为使选择方案二对客户更合算，应把t定在什么范围？21
10、.已知圆 F1:(x+1)2+y2=r2 ，圆 F2:(x-1)2+y2=(4-r)2 ， 0r4 当r变化时，圆 F1 与圆 F2 的交点P的轨迹为曲线C ， （1）求曲线C的方程； （2）已知点 P(1,32) ，过曲线C右焦点 F2 的直线交曲线C于A、B两点，与直线 x=m 交于点D ， 是否存在实数m ， ，使得 kPA+kPB=kPD 成立，若存在，求出m ， ；若不存在，请说明理由 22.已知 f(x)=ex-ax2-x-1 （1）当 a=e2 时求 f(x) 的极值点个数； （2）当 x0,+) 时， f(x)0 ，求a的取值范围； （3）求证： 22e-1+22e2-1+22
11、en-10 时， f(x)0 ；当 x+ 时，函数 y=ex-e-x 的增长速度比 y=x2 的增产速度快，所以 f(x)0 ，故排除C；故答案为：A 【分析】根据奇函数及其图像特征可判断B错误，D错误，再由 x+时 f(x)0得C错误故选A。4.已知直线 l:(a-1)x+y-3=0 ，圆 C:(x-1)2+y2=5 则“ a=-1 ”是“ l 与 C 相切”的（ ） A.必要不充分条件B.充分不必要条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】 B 【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断，直线与圆的位置关系 【解析】【解答】圆 C:(x-1)2+y2=5 的圆心为 (1,0) ，半径
12、 r=5 ， 由直线 l 和 C 相切可得：圆心到直线的距离 d=|a-4|(a-1)2+1=5 ，解得 2a2-a-3=0 ，解得 a=-1 或 a=32 ，故 a=-1 是 a=-1 或 a=32 的充分不必要条件，故答案为：B. 【分析】根据直线与圆相切的性质解得 a=-1 或 a=32 ， 再由充分必要条件即可判断B正确。5.声强级 LI （单位：dB）由公式 LI=10lg(I10-12) 给出，其中 I 为声强（单位：W/m2）一般正常人听觉能忍受的最高声强级为120dB，平时常人交谈时声强级约为60dB，那么一般正常人能忍受的最高声强是平时常人交谈时声强的（ ） A.104倍B.
13、105倍C.106倍D.107倍【答案】 C 【考点】指数式与对数式的互化 【解析】【解答】设一般正常人听觉能忍受的最高声强为 I1 ，平时常人交谈时声强为 I2 ， 由题意得 120=10lg(I110-12)60=10lg(I210-12)解得 I1=1024I2=1018 I1I2=106故答案为：C 【分析】设一般正常人听觉能忍受的最高声强为 I1 ，平时常人交谈时声强为 I2 把已知数据代入LI=10lg(I10-12)联立，解得I1，I2 ， 二者相除即可求得。6.在某次脱贫攻坚表彰会上，共有36人受到表彰，其中男性多于女性，现从中随机选出2人作为代表上台领奖，若选出的两人性别相同
14、的概率为 12 ，则受表彰人员中男性人数为（ ） A.15B.18C.21D.15或21【答案】 C 【考点】古典概型及其概率计算公式，组合及组合数公式，一元二次方程 【解析】【解答】设男性有 x 人，则女性有 36-x 人 男性多于女性， x36-x ，即 x18选出的两人性别相同的概率为 12 Cx2+C36-x2C362=12 ，即 x2-36x+315=0 x=21 或 x=15 （舍）所以男性有21人故答案为：C. 【分析】根据古典概率可得Cx2+C36-x2C362=12 ， 再由组合数公式化简得 x2-36x+315=0 ， 解一元二次方程即可求得。7.在 ABC 中， |AB|
15、=3 ， |AC|=4 ， |BC|=5 ，M为BC中点，O为 ABC 的内心，且 AO=AB+AM ，则 += （ ） A.712B.34C.56D.1【答案】 A 【考点】向量的线性运算性质及几何意义，三角形五心 【解析】【解答】由题知， A=2 ，根据三角形面积与周长和内心的关系求得，内切圆半径 OE=OF=343+4+5=1 ，四边形AEOF为矩形， 则 AO=AE+AF=14AC+13AB ，又 AM=12AB+12AC则 AO=AB+AM=(+2)AB+2AC=13AB+14AC则 +2=132=14 ，则 +=13+14=712故答案为：A 【分析】根据勾股定理可知 ABC为直角
16、三角形结合O为内心，可得四边形AEOF为正方形内切圆半径OE=OF=1，再过根据向量线性运算即可求得。8.已知A ， B ， C是双曲线 x2a2-y2b2=1(a0,b0) 上的三点，直线AB经过原点O ， AC经过右焦点F ， 若 BFAC ，且 CF=32FA ，则该双曲线的离心率为（ ） A.172B.173C.32D.375【答案】 D 【考点】双曲线的简单性质 【解析】【解答】设双曲线的左焦点为 E ，连接 AE,CE,BE由题意知 |BF|=|AE|,|BE|=|AF|,BFAC四边形 AEBF 为矩形，令 |BF|=|AE|=m,|BE|=|AF|=n |CE|-|CF|=|A
17、E|-|AF|=2a ， CF=32FA在 RtEAC 中， m2+(m+32n)2=(2a+32n)2将 2a=m-n 带入可得 m=6n n=25a,m=125a在 RtEAF 中， m2+n2=(2c)2即 (125a)2+(25a)2=(2c)2可得 e=ca=375故答案为：D 【分析】设双曲线的左焦点为 E ，连接 AE,CE,BE ， 根据矩形判定可得四边形 AEBF 为矩形令 |BF|=|AE|=m,|BE|=|AF|=n ， 根据双曲线定义和勾股定理结合已知可求得 n=25a,m=125a ， 再在 RtEAF 中由勾股定理得m2+n2=(2c)2进而可得 e=ca=375。
18、二、多选题（共4题；共20分）9.对具有相关关系的两个变量x和y进行回归分折时，经过随机抽样获得成对的样本点数据 (x1,y1)(i=1,2,n) ，则下列结论正确的是（ ） A.若两变量x ， y具有线性相关关系，则回归直线至少经过一个样本点B.若两变量x ， y具有线性相关关系，则回归直线一定经过样本点中心 (x,y)C.若以模型 y=aebx 拟合该组数据，为了求出回归方程，设 z=lny ，将其变换后得到线性方程 z=6x+ln3 ，则a ， b的估计值分别是3和6D.用 R2=1-i=1n(yi-yi)2i=1n(yi-y)2 来刻画回归模型的拟合效果时，若所有样本点都落在一条斜率为
19、非零实数的直线上，则 R2 的值为1【答案】 B,C,D 【考点】线性回归方程，可线性化的回归分析 【解析】【解答】若两变量x ， y具有线性相关关系，即满足 y=bx+a ，则一定满足 y=bx+a ，样本点不一定在拟合直线上，A不符合题意，B符合题意； 若以模型 y=aehx 拟合该组数据， z=lny=bx+lna=6x+ln3 ，故 a=3,b=6 ，C符合题意；用 R2=1-i=1n(yi-yi)2i=1n(yi-y)2 来刻画回归模型的拟合效果时，若所有样本点都落在一条斜率为非零实数的直线上，则 yi=yi ，即 R2=1-i=1n(yi-yi)2i=1n(yi-y)2=1-0=1
20、 ，D符合题意；故答案为：BCD 【分析】根据线性相关关系可判断A错误，B正确。根据拟合曲线关系可判断C正确，D正确。10.将函数 y=sin2x+3cos2x+1 的图象向右平移 12 个单位长度，再将所有点的横坐标缩短到原来的 12 ，纵坐标不变，得到函数 g(x) 的图象，则下面对函数 g(x) 的叙述中正确的是（ ） A.函效 g(x) 的最小正周期为 2B.函数 g(x) 图象关于点 (-12,0) 对称C.函数 g(x) 在区间 4,2 内单调递增D.函数 g(x) 图象关于直线 x=12 对称【答案】 A,D 【考点】三角函数的周期性及其求法，正弦函数的奇偶性与对称性，正弦函数的
21、单调性，函数y=Asin（x+）的图象变换 【解析】【解答】由题意可得：函数 y=sin2x+3cos2x+1=2sin(2x+3)+1 ，将其向右平移 12 个单位可得 y=2sin(2x-6+3)+1=2sin(2x+6)+1 ，再将所有点的横坐标缩短到原来的 12 倍，纵坐标不变，得到函数 y=g(x) 的图像，可得 g(x)=2sin(4x+6)+1 ， 故可得函数 g(x) 的周期 T=24=2 ,A符合题意；令 x=-12 ，可得 g(-12)=0 ，故 (-12,0) 不是函数 g(x) 的一个对称中心，B不符合题意；当 x4,2 ，可得 4x+676,136 ，由正弦函数性质，
22、可得函数 g(x)=2sin(4x+6)+1 在 x4,2 不单调，C不正确；由 g(12)=2sin2+1=3 ，可得 x=12 是函数的对称轴，D符合题意；故答案为：AD 【分析】根据正弦型函数图像变换可得g(x)=2sin(4x+6)+1 由周期公式可得A正确。 B有正弦函数对称性可得B错误。 C由正弦函数周期性得C错误。 D由正弦函数对称性得D正确。11.已知实数a、b ， 下列说法一定正确的是（ ） A.若 ab ，则 (27)b(27)aa1 ，则 logaba0 ， b0 ， a+2b=1 ，则 2a+1b 的最小值为8D.若 ba0 ，则 1+ab21+ba2【答案】 B,C
23、【考点】指数函数的单调性与特殊点，对数值大小的比较，基本不等式 【解析】【解答】对于A，当 a=0 时， (27)a=(37)a ，A不符合题意； 对于B，若 ba1 ，则 1aab ，两边取对数得 logaba0 ， b0 ， a+2b=1 ，则 2a+1b=(2a+1b)(a+2b)=4+4ba+ab4+24baab=8 ，当且仅当 4ba=ab ，即 a=2b=12 时等号成立，C符合题意；对于D，取 a=1,b=2 ， 1+ab2=24=121+21=3 ，D不符合题意；故答案为：BC 【分析】A由特值可判A错误。 B由已知得1aab ， 两面取对数可推得B正确。 C由基本不等式可推得
24、C正确。 D由特值可判断D错误。12.已知等边三角形ABC的边长为6，M ， N分别为AB ， AC的中点，将 AMN 沿MN折起至 AMN ，在四棱锥 A-MNCB 中，下列说法正确的是（ ） A.直线MN平面 ABCB.当四棱锥 A-MNCB 体积最大时，二面角 A-MN-B 为直二面角C.在折起过程中存在某位置使BN平面 ANCD.当四棱 A-MNCB 体积最大时，它的各顶点都在球O的球面上，则球O的表面积为 39【答案】 A,B,D 【考点】反证法，球的体积和表面积，直线与平面平行的判定 【解析】【解答】因为 MN/BC , MN 平面 ABC ， BC 平面 ABC ，所以直线MN平
25、面 ABC ，A符合题意； 因为四棱锥 A-MNCB 底面积为定值，所以当点 A 到平面 MNCB 距离最大时体积最大，故当二面角 A-MN-B 为直二面角时，满足题意，B符合题意；对于C，如图，若BN平面 ANC ，则 BNAA ，又 ADMN ， ADMN,ADAD=D ，可知 MN 平面 AAD ,所以 AAMN ,又 MNBN=N ,所以 AA 平面 MNCB ,这显然不可能，C不符合题意；当四棱 A-MNCB 体积最大时，二面角 A-MN-B 为直二面角，如图，由 MBC=3 ，取BC的中点E ， 则E是等腰梯形MNCB外接圆圆心F是AMN外心，作 OE 平面MNCB ， OF上平面
26、 AMN ， 则 O 是四棱锥 A -MNCB的外接球的球心，且OF=DE= 332 ，AF= 3 .设四棱锥 A -MNCB的外接球半径R，则 R2=AF2+OF2=394 ，所以球表面积是 39 【分析】A由线面平行判定可推得A正确。 B根据四棱锥 A-MNCB 底面积为定值，所以当点 A 到平面 MNCB 距离最大时体积最大，进而可判B正确。 C由反证法可得C错误。 D取BC的中点E ， 则E是等腰梯形MNCB外接圆圆心F是AMN外心得O 是四棱锥 A -MNCB的外接球的球心，结合B的结论求得外接球半径R，进而求出球表面积，可判D正确。三、填空题（共4题；共20分）13.数列1，1，2
27、，3，5，8，13，21，34，称为斐波那契数列，是意大利著名数学家斐波那契于1202年在他写的算盘全书提出的，该数列的特点是：从第三起，每一项都等于它前面两项的和在该数列的前2021项中，奇数的个数为_ 【答案】 1348 【考点】进行简单的合情推理 【解析】【解答】由斐波那契数列的特点知：从第一项起，每3个数中前两个为奇数后一个偶数， 20213 的整数部分为673，余数为2，该数列的前2021项中共有673个偶数，奇数的个数为 2021-673=1348 .故答案为：1348 【分析】由斐波那契数列的特点经过推理即可求得。14.曲线 y=ex+x2-23x 在 x=0 处的切线的倾斜角为
28、 ，则 sin(2+2)= _ 【答案】45【考点】导数的几何意义，同角三角函数基本关系的运用，运用诱导公式化简求值 【解析】【解答】由题得 y=f(x)=ex+2x-23 ，所以 f(0)=e0-23=13 ， 所以 tan=13,(0,2),cos=310 ，所以 sin(2+2)=cos2=2cos2-1=2910-1=45 .故答案为： 45 【分析】根据导数即可求得切线倾斜角正切值，再由三角函数公式即可求得。15.已知点 A(0,5) ，过抛物线 x2=12y 上一点P作 y=-3 的垂线，垂足为B ， 若 |PB|=|PA| ，则 |PB|= _ 【答案】 7 【考点】两点间的距离
29、公式，点到直线的距离公式 【解析】【解答】设 P(x,y) ， |PB|=|PA| ， 可得 y+3=x2+(y-5)2 ，x2-16y+16=0 ，由 x2=12y ，带入可得： y=4 ，所以 |PB|=y+3=7 ，故答案为：7. 【分析】根据两点间距离公式和点到直线距离结合已知可得 y+3=x2+(y-5)2 ， 和抛物线方程联立可解得P纵坐标进而得 |PB|=y+3=7。16.已知函数 f(x)=(xex)2+(a-2)xex+2-a 有三个不同的零点 x1 ， x2 ， x3 ，其中 x1x2x3 ，则 (1-x1ex1)2(1-x2ex2)(1-x3ex3) 的值为_ 【答案】
30、1 【考点】利用导数研究函数的单调性，函数的零点与方程根的关系 【解析】【解答】设 g(x)=xex ， g(x)=1-xex ，当 x0 ；当 x1 时， g(x)0 时， g(x)0 ； x0 时， g(x)0 ， g(x)max=g(1)=1e ，作出 g(x) 的图象，如图要使 f(x)=(xex)2+(a-2)xex+2-a 有三个不同的零点 x1 ， x2 ， x3 其中 x1x2x3令 xex=t ，则 t2+(a-2)t+2-a=0 需要有两个不同的实数根 t1,t2 （其中 t10 ，即 a2 或 a2 ，则 t1+t2=2-a0t1t2=2-a0 ， t1t2 ， t10
31、，则 t2(0,1e) t10t21e ，则 x10x21x3 ，且 g(x2)=g(x3)=t2 (1-x1ex1)2(1-x2ex2)(1-x3ex3) = =(1-t1)2(1-t2)(1-t2)=1-(t1+t2)+t1t22=1-(2-a)+2-a2=1若 a4t1t2=2-a4 ，因为 g(x)max=g(1)=1e ，且 t2(0,1e) ， (t1+t2)max4 ，故不符合题意，舍去综上 (1-x1ex1)2(1-x2ex2)(1-x3ex3)=1故答案为：1 【分析】设 g(x)=xex根据导数求出函数单调性最值得到g(x）图像，令 xex=t则原函数式有 三个不同的零点则
32、需t2+(a-2)t+2-a=0有两不同实根数形结合得若 a2时 t10t21e则x10x21BD ，若 SABD=334 ， AD=7 ，求AC【答案】 （1）解：A，B，C是三角形ABC的内角，则 sinA+C2=cosB2 ，又 10sin2A+C2=7-cos2B ， 10cos2B2=7-cos2B ，即 5+5cosB=7-(2cos2B-1) ，整理得 2cos2B+5cosB-3=0 ， cosB=12 或 cosB=-3 （舍），又 0BBD ， BD=1 ， BA=3 ， BC=4 ，由余弦定理有 AC2=BA2+BC2-2BCBAcosB=13 ， AC=13 【考点】二
33、倍角的余弦公式，诱导公式，余弦定理 【解析】【分析】（1）根据三角函数诱导公式和余弦倍角公式已知可化为 2cos2B+5cosB-3=0 解该方程可求得B。 （2）由三角形面积公式得 BDBA=3 ，再由余弦定理即可求得。18.在 a1 ， a3 ， a21 成等比数列 S4=28 ， Sn+1=Sn+an+4 ，这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并做出解答 已知 an 是公差不为零的等差数列， Sn 为其n前项和， a2=5 ，_， bn 是等比数列， b2=9 ， b1+b3=30 ，公比 q1 （1）求数列 an ， bn 的通项公式； （2）数列 an 和 bn 的所有项分别构
34、成集合A ， B ， 将 AB 的元素按从小到大依次排列构成一个新数列 cn ，求 T80=c1+c2+c3+c80 【答案】 （1）解：选， an 是公差不为0的等差数列，设公差为d， 由 a1 ， a3 ， a21 成等比数列，可得 (a1+2d)2=a1(a1+20d) ，又 d0 ， 4a1=d ，又 a2=5 ，即 a1+d=5 ，解得 a1=1 ， d=4 ， an=1+(n-1)4=4n-3 选，由 S4=28 ， a2=5 ，有 4a1+6d=28 ， a1+d=5 ，可得 a1=1 ， d=4 ， an=1+(n-1)4=4n-3 选，由 Sn+1=Sn+an+4 ，可得 a
35、n+1-an=d=4 ，又 a2=5 ，即 a1+d=5 ， a1=1 ，故 an=1+(n-1)4=4n-3 bn 是等比数列，由 b2=9 ， b1+b3=30 ， q1 ， b1q=9 ， b1+b1q2=30 ，解得 q=3 ， b1=3 ，即 bn=3n（2）解： a80=317 ， 35=243317243=b5 ， cn 的前80项是由 an 的前77项及 b1 ， b3 ， b5 构成T20=c1+c2+c3+c80=a1+a2+a77+b1+b3+b5=11781+3+27+243=12054【考点】等差数列的通项公式，等差数列的前n项和，等比数列的通项公式，等比数列的前n项
36、和 【解析】【分析】（1）选，an是公差不为0的等差数列，设公差为d，由等比数列通项和性质得a1=1 ， d=4，可得an通项。选 根据等差数列前n项和即可求得an通项。 选由Sn+1=Sn+an+4 ， 可得an+1-an=d=4 结合已知即可求得an通项。再根据等比数列通项可求得 bn=3n 。 （2）由a80=317 ， 35=24331736=729 可知 cn的前80项中，数列bn的项最多有5项进而可得 cn的前80项是由an的前77项及b1 ， b3 ， b5构成 ，再根据等差和等比前n 项和即可求得。 19.如图，在平面四边形ABCD中， BC=CD ， BCCD ， ADBD
37、，以BD为折痕把 ABD 折起，使点A到达点P的位置，且 PCBC （1）证明： PDCD ； （2）若M为PB的中点，二面角 P-BC-D 的大小为60，求直线PC与平面MCD所成角的正弦值 【答案】 （1）证明：因为 BCCD ， BCPC ， PCCD=C ，所以 BC 平面PCD， 又因为 PD 平面PCD，所以 BCPD ，又因为 PDBD ， BDBC=B ，所以 PD 平面BCD，又因为 CD 平面 BCD ，所以 PDCD（2）解：因为 PCBC,CDBC ， 所以 PCD 是二面角 P-BC-D 的平面角，即 PCD=60 ，在 RtPCD 中， PD=CDtan60=3CD
38、 ，取 BD 的中点 O ，连接 OM,OC ，因为 BC=CD,BCCD ,所以 OCBD ,由（1）知， PD 平面 BCD ， OM 为 PBD 的中位线，所以 OMBD,OMOC ，即 OM,OC,BD 两两垂直，以 O 为原点建立如图所示的坐标系 O-xyz ，设 OB=1 ，则P(0,1,6),C(1,0,0),D(0,1,0),M(0,0,62),CP=(-1,1,6),CD=(-1,1,0) ，CM=(-1,0,62) ，设平面 MCD 的一个法向量为 n=(x,y,z) ，则由 nCD=0,nCM=0, 得 -x+y=0,-x+62z=0, 令 z=2 ，得 n=(3,3,2
39、) ，所以 cosn,CP=CPn|CP|n|=34 ，所以直线 PC 与平面 MCD 所成角的正弦值为 34【考点】直线与平面垂直的判定，直线与平面垂直的性质，用空间向量求直线与平面的夹角，二面角的平面角及求法 【解析】【分析】（1）根据线面垂直的判定和性质即可证出。 （2）根据二面角的平面角可知 PCD=60 ， 取BD的中点O ， 连接OM,OC ， 以O为原点建立如图所示的坐标系O-xyz ， 设OB=1 ，根据空间向量即可求出直线和平面夹角。 20.2021年3月5日李克强总即在政府作报告中特别指出：扎实做好碳达峰，碳中和各项工作，制定2030年前碳排放达峰行动方案，优化产业结构和能
40、源结构某环保机器制造商为响应号召，对一次购买2台机器的客户推出了两种超过机器保修期后5年内的延保维修方案：方案一；交纳延保金5000元，在延保的5年内可免费维修2次，超过2次每次收取维修费1000元；方案二：交纳延保金6230元，在延保的5和内可免费维修4次，超过4次每次收取维修费t元；制造商为制定的收取标准，为此搜集并整理了200台这种机器超过保修期后5年内维修的次数，统计得到下表维修次数0123机器台数20408060以这200台机器维修次数的频率代替1台机器维修次数发生的概率，记X表示2台机器超过保修期后5年内共需维修的次数（1）求X的分布列；（2）以所需延保金与维修费用之和的均值为决策
41、依据，为使选择方案二对客户更合算，应把t定在什么范围？【答案】（1）解：由题意得，X=0,1,2,3,4,5,6，P(X=0)=110110=1100，P(X=1)=110152=125，P(X=2)=110252+1515=325，P(X=3)=1103102+15252=1150，P(X=4)=310152+2525=725，P(X=5)=310252=625P(X=6)=310310=9100，X的分布列为X0123456P110012532511507256259100（2）解：选择方案一：所需费用为Y1元，则X2时，Y1=5000，X=3时，Y1=6000；X=4时，Y1=7000；
42、X=5时，Y5=8000，X=6时，Y1=9000，Y1的分布列为Y150006000700080009000P1710011507256259100E(Y1)=500017100+60001150+7000725+8000625+90009100=6860，选择方案二：所需费用为Y2元，则X4时，Y2=6230；X=5时，Y2=6230+t；X=6时，Y2=6230+2t，则Y2的分布列为Y262306230+t6230+2tP671006259100E(Y2)=623067100+(6230+t)625+(6230+2t)9100=6230+21t50，要使选择方案二对客户更合算，则E(Y
43、2)E(Y1)，6230+21t506860，解得t1500，即t的取值范围为0,1500)【考点】离散型随机变量及其分布列，离散型随机变量的期望与方差 【解析】【分析】X所有可能取值0,1,2,3,4,5,6分别求出概率，即可求出分布列。 （2） 选择方案一 求出所需费用分布列和期望， 选择方案二 求出所需费用分布列和期望，由此能求出选择方案二对客户更合算 。 21.已知圆 F1:(x+1)2+y2=r2 ，圆 F2:(x-1)2+y2=(4-r)2 ， 0r|F1F2| ，所以曲线C为以 F1 、 F2 为焦点的椭圆，且 a2=22=4 ， c2=1 ， b2=4-1=3 ，所以曲线C的方
44、程为 x24+y23=1（2）解：假设存在，由题意知直线AB的斜率存在， 设直线AB的方程为 y=k(x-1) ， A(x1,y1) ， B(x2,y2) ，联立| y=k(x-1),3x2+4y2=12, ，消去y整理得， (4k2+3)x2-8k2x+4k2-12=0 ，则 x1+x2=8k24k2+3 ， x1x2=4k2-124k2+3 ，所以 kPA+kPB=y1-32x1-1+y2-32x2-1=k(x1-1)-32x1-1+k(x2-1)-32x2-1=2k-32(x1-1)-32(x2-1)=2k-3(x1+x2-2)2(x1x2-(x1+x2)+1)=2k-1 ，kPD=k(
45、m-1)-32m-1=k-32(m-1) ，因为 kPA+kPB=kPD ，所以 2k-1=k-32(m-1) ，所以 =2 ， 32(m-1)=1 ，得 m=4 ，所以存在 m=4 ， =2 使 kPA+kPB=kPD 成立【考点】分析法的思考过程、特点及应用，椭圆的定义，椭圆的标准方程，直线与圆锥曲线的综合问题 【解析】【分析】（1）由已知易得 |PF1|=r ， |PF2|=4-r ， |F1F2|=2 ，根据椭圆定义可知 曲线C为以F1、F2为焦点的椭圆 ，再根据椭圆标准方程即可求得。 （2）利用反证法假设存在，设直线AB的方程为y=k(x-1) ， A(x1,y1) ， B(x2,y
46、2) ，联立直线和曲线C方程可推得 x1+x2=8k24k2+3 ， x1x2=4k2-124k2+3 ， 进而得kPA+kPB=2k-1,kPD=k-32（m-1）, 代入题中的kPA+kPB=kPD可解得 m=4 ， =2使kPA+kPB=kPD成立 。 22.已知 f(x)=ex-ax2-x-1 （1）当 a=e2 时求 f(x) 的极值点个数； （2）当 x0,+) 时， f(x)0 ，求a的取值范围； （3）求证： 22e-1+22e2-1+22en-132 ，其中 nN* 【答案】 （1）解：当 a=e2 时， f(x)=ex-e2x2-x-1 ， 所以 f(x)=ex-ex-1
47、， f(x)=ex-e ，所以当 x1 时， f(x)1 时， f(x)0 ， f(x) 在 (1,+) 上单调递增，因为 f(0)=0 ， f(1)=-1 ， f(2)=e2-2e-10 ，所以存在 x0(1,2) ，使 f(x0)=0 ，所以， x(-,0) 时， f(x)0 ； x(0,x0) 时， f(x)0 ，所以0和 x0 是 f(x) 的极值点，所以 f(x) 有两个极值点（2）解： f(x)=ex-ax2-x-1 ， f(x)=ex-2ax-1 ， 设 h(x)=f(x)=ex-2ax-1(x0) ，则 h(x)=ex-2a 单调递增，又 h(0)=1-2a ，所以当 a12
48、时， h(x)0 ， h(x) 在 0,+) 上单调递增，所以 h(x)h(0)=0 ，即 f(x)0 ， f(x) 在 0,+) 上单调递增，所以 f(x)f(0)=0 ，符合题意.当 a12 吋，令 h(x)=0 ，解得 x=ln2a ，当 x0,ln2a) 时， h(x)0 ， h(x) 在 0,ln2a) 上单调递减， f(x)=h(x)h(0)=0 ，f(x) 在 (0,ln2a) ）上单调递减，所以 x(0,ln2a) 时， f(x)n2+2n ， 22en-12n(n+2) ，所以 22e-1+22e2-1+22en-1213+224+2n(n+2)=1-13+12-14+1n-
49、1n+2=1+12-1n+1-1n+20 ， 所以，x(-,0)时，f(x)0；x(0,x0)时，f(x)0 ， 所以0和x0是f(x)的极值点 。 （2）设h(x)=f(x)=ex-2ax-1(x0) ，h(x）再求导可推得当a12时，f(x)0f(x)在0,+)上单调递增进而得 f(x)f(0)=0 。 当a12吋，利用导数推出f(x)在(0,ln2a)上单调递减进而得x(0,ln2a)时，f(x)f(0)=0 ， 综上可得 f(x)0 时a取值范围。 （3） 由（2）可知a=12时，f(x)0 ， x0,+)可得2ex-1x2+2x+1(x0),x用n代替可推得22en-12n(n+2)，再把n用1,2,3.代替裂项相消即可推出。
