1、第四节随机事件的概率考情展望1.互斥事件和对立事件的概率是高考重点考查的内容，其中对立事件的概率是“正难则反”思想的具体应用，在高考中经常考查.2.多以选择题、填空题的形式考查，有时也渗透在解答题中，属容易题一、概率和频率1在相同的条件下重复n次试验，观察某一事件A是否出现，称n次试验中事件A出现的次数nA为事件A出现的频数，称事件A出现的比例fn(A)为事件A出现的频率2对于给定的随机事件A，由于事件A发生的频率fn(A)随着试验次数的增加稳定于概率P(A)，因此可以用频率fn(A)来估计概率P(A)二、事件的关系与运算名称定义符号表示包含关系如果事件A发生，则事件B一定发生，这时称事件B包
2、含事件A(或称事件A包含于事件B)BA(或AB)相等关系若BA，且AB，那么称事件A与事件B相等AB并事件(和事件)某事件发生当且仅当事件A发生或事件B发生，则称此事件为事件A与事件B的并事件(或和事件)AB(或AB)交事件(积事件)某事件发生当且仅当事件A发生且事件B发生，则称此事件为事件A与事件B的交事件(或积事件)AB(或AB)互斥事件若AB为不可能事件，那么称事件A与事件B互斥AB对立事件若AB为不可能事件，AB为必然事件，那么称事件A与事件B互为对立事件互斥事件与对立事件区别与联系互斥事件与对立事件都是两个事件的关系，互斥事件是不可能同时发生的两个事件，而对立事件除要求这两个事件不同
3、时发生外，还要求二者之一必须有一个发生，因此，对立事件是互斥事件的特殊情况，而互斥事件未必是对立事件三、概率的几个基本性质1概率的取值范围：0P(A)1.2必然事件的概率P(E)1.3不可能事件的概率P(F)0.4概率的加法公式如果事件A与事件B互斥，则P(AB)P(A)P(B)5对立事件的概率若事件A与事件B互为对立事件，则P(A)1P(B)1总数为10万张的彩票，中奖率是，下列说法中正确的是()A买1张一定不中奖B买1 000张一定有一张中奖C买2 000张一定中奖D买2 000张不一定中奖【解析】由题意知，彩票中奖属于随机事件，故买1张也可能中奖，买2 000张也可能不中奖【答案】D2袋
4、中装有3个白球，4个黑球，从中任取3个球，则恰有1个白球和全是白球；至少有1个白球和全是黑球；至少有1个白球和至少有2个白球；至少有1个白球和至少有1个黑球在上述事件中，是对立事件的为()ABCD【解析】至少有1个白球和全是黑球不同时发生，且一定有一个发生中两事件是对立事件【答案】B3从一箱产品中随机地抽取一件，设事件A抽到一等品，事件B抽到二等品，事件C抽到三等品，且已知P(A)0.65，P(B)0.2，P(C)0.1，则事件“抽到的不是一等品”的概率为()A0.7 B0.65C0.35 D0.5【解析】“抽到的不是一等品”与事件A是对立事件，所求概率P1P(A)0.35.【答案】C4若随机
5、事件A、B互斥，A、B发生的概率均不等于0，且分别为P(A)2a，P(B)3a4，则实数a的取值范围为_【解析】由题意可得，解得a.【答案】5(2011浙江高考)从装有3个红球、2个白球的袋中任取3个球，则所取的3个球中至少有1个白球的概率是()A. B. C. D.【解析】从5个球中任取3个共有10种方法又“所取的3个球中至少有1个白球”的对立事件是“所取的3个球都不是白球”因而所求概率P1.【答案】D6(2010上海高考)从一副混合后的扑克牌(52张)中随机抽取1张，事件A为“抽得红桃K”，事件B为“抽得为黑桃”，则概率P(AB)_(结果用最简分数表示)【解析】52张中抽一张的基本事件为5
6、2种，事件A为1种，事件B为13种，并且A与B互斥，所以P(AB)P(A)P(B).【答案】考向一 181互斥事件与对立事件的判定(1)下列说法正确的是()A掷一枚硬币，出现正面朝上的概率是0.5，因此掷一枚硬币10次，恰好出现5次正面向上B连续四次掷一颗骰子，都出现6点是不可能事件C一个射手射击一次，命中环数大于9与命中环数小于8是互斥事件D若P(AB)1，则事件A与B为对立事件(2)从装有除颜色外完全相同的2个红球和2个白球的口袋内任取2个球，那么对立的两个事件是()A至少有1个白球，至少有1个红球B至少有1个白球，都是红球C恰有1个白球，恰有2个白球D至少有1个白球，都是白球【思路点拨】
7、(1)根据随机事件的有关概念判断(2)概括对立事件的定义判断【尝试解答】(1)掷一枚硬币，出现正面朝上的概率是0.5，因此掷一枚硬币10次，则出现5次正面向上的可能性较大，但不一定恰好出现5次正面向上，故A不正确连续四次掷一颗骰子，都出现6点是随机事件，故B不正确一个射手射击一次，命中环数大于9与命中环数小于8，这两件事不可能同时发生，故是互斥事件，故C正确若P(AB)1，则事件A与B不一定是对立事件，如向一个半径等于1的圆面(包含边界)上随即插上一根针，设“针插在圆面上(包含边界)”为事件A，“针插在圆上”为事件B，P(A)1，P(B)0，满足P(AB)1，但事件A和事件B不是互斥事件，故D
8、不正确(2)对于A，“至少有1个白球”发生时，“至少有1个红球”也会发生，比如恰好一个白球和一个红球，故A不对立；对于B，“至少有1个白球”说明有白球，白球的个数可能是1或2，而“都是红球”说明没有白球，白球的个数是0，这两个事件不能同时发生，且必有一个发生，故B是对立的；对于C，恰有1个白球，恰有2个白球是互斥事件，它们虽然不能同时发生但是还有可能恰好没有白球的情况，因此它们不对立；对于D，至少有1个白球和都是白球能同时发生，故它们不互斥，更谈不上对立了【答案】(1)C(2)B规律方法1(1)对互斥事件要把握住不能同时发生，而对于对立事件除不能同时发生外，其并事件应为必然事件，这些也可类比集
9、合进行理解.(2)对立事件是互斥事件中的特殊情况，但互斥事件不一定是对立事件，“互斥”是“对立”的必要不充分条件.对点训练从40张扑克牌(红桃、黑桃、方块、梅花点数从110各10张)中，任取一张判断下列给出的每对事件，互斥事件的为_，对立事件的为_“抽出红桃”与“抽出黑桃”；“抽出红色牌”与“抽出黑色牌”；“抽出的牌点数为5的倍数”与“抽出的牌点数大于9”【解析】是互斥事件，不是对立事件“抽出黑桃”与“抽出红桃”是不可能同时发生，但可以都不发生，所以两事件互斥不对立是互斥事件，且对立事件从40张扑克牌中，任意抽取1张“抽出红色牌”与“抽出黑色牌”两个事件不可能同时发生，但其中必有一个发生，所以
10、它们既是互斥事件，又是对立事件不是互斥事件，也不是对立事件从40张扑克牌中任意抽取1张“抽出的牌点数为5的倍数”与“抽出的牌点数大于9”这两个事件可能同时发生，如抽得点数为10，因此，二者不是互斥事件，当然不可能是对立事件【答案】考向二 182随机事件的频率与概率图1041如图1041所示，A地到火车站共有两条路径L1和L2，现随机抽取100位从A地到达火车站的人进行调查，调查结果如下：所用时间(分钟)10202030304040505060选择L1的人数612181212选择L2的人数0416164(1)试估计40分钟内不能赶到火车站的概率；(2)现甲、乙两人分别有40分钟和50分钟时间用于
11、赶往火车站，为了尽最大可能在允许的时间内赶到火车站，试通过计算说明，他们应如何选择各自的路径【思路点拨】(1)根据频数分布表计算频率，利用频率估计概率；(2)分别根据不同路径估计概率，并比较大小，做出判定【尝试解答】(1)由已知共调查了100人，其中40分钟内不能赶到火车站的有121216444(人)，用频率估计相应的概率为0.44.(2)设A1，A2分别表示甲选择L1和L2时，在40分钟内赶到火车站；B1，B2分别表示乙选择L1和L2时，在50分钟内赶到火车站由频数分布表知，40分钟赶往火车站，选择不同路径L1，L2的频率分别为(61218)600.6，(416)400.5.估计P(A1)0
12、.6，P(A2)0.5，则P(A1)P(A2)，因此，甲应该选择路径L1，同理，50分钟赶到火车站，乙选择路径L1，L2的频率分别为48600.8,36400.9，估计P(B1)0.8，P(B2)0.9，P(B1)P(B2)，因此乙应该选择路径L2.规律方法21.(1)解题的关键是正确计算选择不同路径时，事件发生的频率，并用频率估计概率；(2)第(2)问的实质是比较选择不同路径概率的大小.2.概率是频率的稳定值，它从数量上反映了随机事件发生的可能性的大小，它是频率的科学抽象，当试验次数越来越多时，频率越稳定于一个常数，可用频率来估计概率.对点训练(2012陕西高考)假设甲乙两种品牌的同类产品在
13、某地区市场上销售量相等，为了解它们的使用寿命，现从这两种品牌的产品中分别随机抽取100个进行测试，结果统计如图1042所示：图1042(1)估计甲品牌产品寿命小于200小时的概率；(2)这两种品牌产品中，某个产品已使用了200小时，试估计该产品是甲品牌的概率【解】(1)甲品牌产品寿命小于200小时的频率为，用频率估计概率，所以甲品牌产品寿命小于200小时的概率为.(2)根据抽样结果，寿命大于200小时的产品共有7570145(个)，其中甲品牌产品是75个所以在样本中，寿命大于200小时的产品是甲品牌的频率是.用频率估计概率，所以已使用了200小时的该产品是甲品牌的概率为.考向三 183互斥事件
14、与对立事件的概率国家射击队的队员为在第51届射击世锦赛上取得优异成绩，正在加紧备战，经过近期训练，某队员射击一次命中710环的概率如下表所示：命中环数10环9环8环7环概率0.320.280.180.12求该射击队员射击一次：(1)射中9环或10环的概率；(2)命中不足8环的概率【思路点拨】该射击队员在一次射击中，命中几环不可能同时发生，故是彼此互斥事件，利用互斥事件求概率的公式求其概率另外，当直接求解不容易时，可先求其对立事件的概率【尝试解答】记事件“射击一次，命中k环”为Ak(kN，k10)，则事件Ak彼此互斥(1)记“射击一次，射中9环或10环”为事件A，那么当A9，A10之一发生时，事
15、件A发生，由互斥事件的加法公式得P(A)P(A9)P(A10)0.280.320.60.(2)设“射击一次，至少命中8环”的事件为B，则表示事件“射击一次，命中不足8环”又BA8A9A10，由互斥事件概率的加法公式得P(B)P(A8)P(A9)P(A10)0.180.280.320.78.P()1P(B)10.780.22.因此，射击一次，命中不足8环的概率为0.22.规律方法31.解答本题时，首先应正确判断各事件的关系，然后把所求事件用已知概率的事件表示，最后用概率加法公式求解.2.求复杂的互斥事件的概率一般有两种方法：一是直接求解法，将所求事件的概率分解为一些彼此互斥的事件的概率的和；二是
16、间接法，先求该事件的对立事件的概率，再由P(A)1P()求解.当题目涉及“至多”、“至少”型问题，多考虑间接法.对点训练某储蓄所一个营业窗口等候的人数及相应概率如下：排队人数012345人及5人以上概率0.10.160.30.30.10.04(1)至多2人排队等候的概率是多少？(2)至少3人排队等候的概率是多少？【解】(1)记“在窗口等候的人数i”为事件Ai1，i0,1,2，它们彼此互斥，则至多2人排队等候的概率为P(A1A2A3)P(A1)P(A2)P(A3)0.10.160.30.56.(2)至少3人排队等候的概率为1P(A1A2A3)10.560.44.思想方法之二十五互斥事件的概率求解
17、的妙招正难则反思想若一个事件正面情况比较多，反面情况较少，则一般利用对立事件进行求解对于“至少”，“至多”等问题往往用这种方法求解1个示范例1个对点练(2012湖南高考)某超市为了解顾客的购物量及结算时间等信息，安排一名员工随机收集了在该超市购物的100位顾客的相关数据，如下表所示.一次购物量1至4件5至8件9至12件13至16件17件及以上顾客数(人)x3025y10结算时间(分钟/人)11.522.53已知这100位顾客中一次购物量超过8件的顾客占55%.(1)确定x，y的值，并估计顾客一次购物的结算时间的平均值；(2)求一位顾客一次购物的结算时间不超过2分钟的概率(将频率视为概率)【解】
18、(1)由题意，x15，y20.该超市所有顾客一次性购物的结算时间组成一个总体，100位顾客一次购物的结算时间视为总体的一个容量为100的简单随机抽样，顾客一次购物的结算时间的平均值可用样本平均数估计，其估计值为：又1.9.估计顾客一次购物的结算时间为1.9分钟(2)设B、C分别表示事件“一位顾客一次购物的结算时间分别为2.5分钟、3分钟”将频率视为概率，得P(B)，P(C)，B，C互斥，且BC，P()P(BC)P(B)P(C)，因此P(A)1P()1.一位顾客一次购物结算时间不超过2分的概率为0.7.【名师寄语】(1)准确理解题意，善于从图表信息中提炼数据关系，明确数字特征的含义.(2)正确判
19、定事件间的关系，善于将A转化为互斥事件的和或对立事件，切忌盲目代入概率加法公式.一盒中装有12个球，其中5个红球、4个黑球、2个白球、1个绿球从中随机取出1球，求：(1)取出1球是红球或黑球的概率；(2)取出1球是红球或黑球或白球的概率【解】法一(利用互斥事件求概率)：记事件A1任取1球为红球，A2任取1球为黑球，A3任取1球为白球，A4任取1球为绿球，则P(A1)，P(A2)，P(A3)，P(A4)，根据题意知，事件A1、A2、A3、A4彼此互斥，由互斥事件的概率公式，得(1)取出1球为红球或黑球的概率为P(A1A2)P(A1)P(A2)；(2)取出1球为红球或黑球或白球的概率为P(A1A2A3)P(A1)P(A2)P(A3).法二：(利用对立事件求概率)：(1)由法一知，取出1球为红球或黑球的对立事件为取出1球为白球或绿球，即A1A2的对立事件为A3A4，所以取出1球为红球或黑球的概率为P(A1A2)1P(A3A4)1P(A3)P(A4)1.(2)因为A1A2A3的对立事件为A4，所以P(A1A2A3)1P(A4)1.
