1、第八章 不等式、推理与证明 第一节 不等式的性质与一元二次不等式最新考纲考情索引核心素养1.了解现实世界和日常生活中存在着大量的不等关系，了解不等式(组)的实际背景2.会从实际问题的情境中抽象出一元二次不等式模型3.通过函数图象了解一元二次不等式与相应的二次函数、一元二次方程的联系4.会解一元二次不等式，对给定的一元二次不等式，会设计求解的程序框图.2017北京卷，T132016北京卷，T52016浙江卷，T81.逻辑推理2.数学运算3.直观想象1实数的大小顺序与运算性质的关系(1)abab0；(2)abab0；(3)ababb_；(双向性)(2)传递性：ab，bcac；(单向性)bbac_b
2、c；(双向性)ab，cd_；(单向性)(4)可乘性：ab，c0ac_bc.ab，cb0，cd0ac_bd；(单向性)(5)乘方法则：ab0an_bn(nN，n1)；(单向性)(6)开方法则：ab0n a_n b(nN，n2)；(单向性)acbd3“三个二次”的关系判别式 b24ac000)的图象一元二次方程 ax2bxc0(a0)的根有两相异实根 x1，x2(x10(a0)的解集_ _Rax2bxc0)的解集_x|xx2x|xx1x|x1 xbac2bc2.()(3)ab0，cd0adbc.()(4)若不等式 ax2bxc0.()(5)若二次函数 yax2bxc 的图象开口向下，则不等式 ax
3、2bxc”“”或“”)解析：分母有理化有152 52，16 5 65，显然 52 6 5，所以15216 5.答案：0，令 3x22x20，得 x11 73，x21 73，所以 3x22x20 的解集为，1 731 73，.答案：，1 731 73，3典题体验(1)(2019湖南衡阳第一次联考)若 a、b、c 为实数，且 ab0，则下列命题正确的是()Aac2bc2 B.1aabDa2abb2解析：若 c0，则 A 不成立；1a1bbaab 0，选项 B 错；baabb2a2ab（ba）（ba）ab0 的解集为x|12x0，若 p(1)是假命题，p(2)是真命题，则实数 m 的取值范围是_解析
4、：因为 p(1)是假命题，所以 12m0，解得m3；又 p(2)是真命题，所以 44m0，解得 ma BacbCcbaDacb解析：因为 cb44aa2(a2)20，所以 cb.又 bc64a3a2，所以 2b22a2，所以 ba21，所以 baa2a1a122340，所以 ba，所以 cba.答案：A【例 2】一题多解(2016全国卷)若 ab0，0c1，则()Alogaclogbc BlogcalogcbCacbcDcacb解析：法一 因为 0c1，所以当 ab1 时，logaclogbc，A 项错误；因为 0c1，所以 ylogcx 在(0，)上单调递减，又 ab0，所以 logcalo
5、gcb，B 项正确；因为 0c1，所以 yxc 在(0，)上单调递增，又因为 ab0，所以 acbc，C 项错误；因为 0c1，所以 ycx 在(0，)上单调递减，又因为 ab0，所以 cacb，D 项错误故选 B.法二 特殊值法取 a4，b2，c12，则 logac12，logbc1，所以 logaclogbc，排除 A；ac2，bc 2，所以 acbc，排除 C；ca 116，cb14，所以 cacb，排除 D.故选 B.答案：B【例 3】(2019东北三省四市模拟)设 a，b 均为实数，则“a|b|”是“a3b3”的()A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件解析
6、：a|b|能推出 ab，进而得 a3b3；当 a3b3时，有 ab，但若 ba0，则 a|b|不成立，所以“a|b|”是“a3b3”的充分不必要条件，故选 A.答案：A【例 4】已知1x4，2y3，则 xy 的取值范围是_，3x2y 的取值范围是_解析：因为1x4，2y3，所以3y2，所以4xy2.由1x4，2y3，得33x12，42y6，所以 13x2y18.答案：(4，2)(1，18)1.比较两个数（式）大小的两种方法.2与充要条件相结合问题用不等式的性质分别判断pq和qp是否正确，要注意特殊值法的应用3与命题真假判断相结合问题解决此类问题除根据不等式的性质求解外，还经常采用特殊值验证的方
7、法考点2 一元二次不等式的解法(讲练互动)【例1】解不等式2x23x20.解：2x23x20，即为2x23x20.(3)242(2)250.方程2x23x20的两实根为x112，x22.所以2x23x20的解集为xx12或x2，即原不等式的解集为xx12或x2.【例2】解关于x的不等式ax2(a1)x10.(aR)解：若a0，原不等式等价于x11.若a0，解得x1.若a0，原不等式等价于x1a(x1)0.(1)当a1时，1a1，x1a(x1)1时，1a1，解x1a(x1)0，得1ax1；(3)当0a1，解x1a(x1)0，得1x1a.综上所述，当a0时，解集为x|x1；当a0时，解集为x|x1
8、；当0a1时，解集为x|1x1时，解集为x|1ax1.1解一元二次不等式的一般方法和步骤(1)化：把不等式变形为二次项系数大于零的标准形式(2)判：计算对应方程的判别式，根据判别式判断方程有没有实根(无实根时，不等式解集为R或)(3)求：求出对应的一元二次方程的根(4)写：利用“大于取两边，小于取中间”写出不等式的解集2解含参数的一元二次不等式的步骤(1)二次项中若含有参数应讨论是等于0，小于0，还是大于0，然后将不等式转化为一次不等式或二次项系数为正的形式(2)判断方程的根的个数，讨论判别式与0的关系(3)确定无根时可直接写出解集，确定方程有两个根时，要讨论两根的大小关系，从而确定解集形式变
9、式训练1不等式x5（x1）22的解集是()A.3，12 B.12，3C.12，1(1，3 D.12，1(1，3解析：原不等式可化为2x25x3（x1）2 0，即（2x1）（x3）（x1）20，解得12x1或1x3，故选D.答案：D2(2019清远一模)关于 x 的不等式 axb0 的解集是(1，)，则关于 x 的不等式(axb)(x3)0 的解集是()A(，1)(3，)B(1，3)C(1，3)D(，1)(3，)解析：关于 x 的不等式 axb0 的解集是(1，)，即不等式 axb 的解集是(1，)，所以 ab0 可化为(x1)(x3)0，解得1x0或f(x)0(xR)求参数的范围【例1】(20
10、19黑龙江大庆实验中学模拟)对于任意实数x，不等式(a2)x22(a2)x40恒成立，则实数a的取值范围是()A(，2)B(，2C(2，2)D(2，2解析：当a20,即a2时，40恒成立；当a20，即a2时，则有a20，2（a2）24（a2）（4）0，解得2a2.综上，实数a的取值范围是(2，2故选D.答案：D角度 形如f(x)0(xa，b)求参数的范围【例2】(2019广东阳春第一中学第一次月考)设a0，若不等式cos2 x(a1)cos xa20对于任意的xR恒成立，则a的取值范围是_解析：令tcos x，t1，1，则不等式可转化为t2(a1)ta20对t1，1恒成立，即f(t)t2(a1
11、)ta20对t1，1恒成立，因此f（1）0，f（1）0，aa20，2aa20，因为a0恒成立，即g(k)(x2)k(x24x4)0，对任意的k1，1恒成立只需g(1)0且g(1)0，即x25x60，x23x20，解得x3.答案：x3一元二次不等式恒成立问题的求解思路1形如f(x)0或f(x)0(xR)的不等式确定参数的范围时，结合一元二次方程，利用判别式来求解2形如f(x)0或f(x)0(xa，b)的不等式确定参数范围时，要根据函数f(x)的单调性，求其最小值(或最大值)，使其最小值大于0(或最大值小于0)，从而求参数的范围3形如f(x)0或f(x)0(参数ma，b)的不等式确定x的范围时，要
12、注意变换主元，一般地，知道谁的范围，就选谁当主元，求谁的范围，谁就是参数变式训练1(2019河南豫西南五校联考)已知关于x的不等式kx26kxk80对任意xR恒成立，则k的取值范围是()A0k1 B0k1Ck1 Dk0或k1解析：当 k0 时，不等式 kx26kxk80 可化为 80，其恒成立，当 k0 时，要满足关于 x 的不等式kx26kxk80 对任意 xR 恒成立，只需k0，36k24k（k8）0，解得 0k1.综上，k 的取值范围是 0k1.故选 A.答案：A2已知函数f(x)x2mx1，若对于任意xm，m1，都有f(x)0成立，则实数m的取值范围是_解析：要满足f(x)x2mx10对于任意xm，m1恒成立，只需f（m）0，f（m1）0，即2m210，（m1）2m（m1）10，解得 22 m0.所以实数m的取值范围是 22，0.答案：22，0
