1、第三章 基本初等函数 第一节 幂函数与二次函数最新考纲考情索引核心素养1.了解幂函数的概念2.结合函数 yx，yx2，yx3，y1x，yx12的图象，了解它们的变化情况3.理解并掌握二次函数的定义、图象及性质.2017浙江卷，T52016全国卷，T72018上海卷，T72017北京卷，T111.直观想象2.逻辑推理1幂函数(1)幂函数的定义一般地，形如_的函数称为幂函数，其中 x是自变量，为常数(2)常见的 5 种幂函数的图象yx(3)幂函数的性质幂函数在(0，)上都有定义；当 0 时，幂函数的图象都过点(1，1)和(0，0)，且在(0，)上单调递增；当 0 时，幂函数的图象都过点(1，1)，
2、且在(0，)上单调递减2二次函数(1)二次函数解析式的三种形式一般式：f(x)_顶点式：f(x)a(xm)2n(a0)，顶点坐标为_零点式：f(x)a(xx1)(xx2)(a0)，x1，x2 为 f(x)的零点ax2bxc(a0)(m，n)(2)二次函数的图象与性质.函数yax2bxc(a0)yax2bxc(a0)图象(抛物线)定义域R值域_对称轴_4acb24a，4acb24ax b2a顶点坐标 b2a，4acb24a奇偶性 当 b0 时是偶函数，当 b0 时是非奇非偶函数单调性在_上递减在_上递增在_上递增在_上递减，b2a b2a，b2a b2a，1二次函数的单调性、最值与抛物线的开口方
3、向及给定区间的范围有关2若 f(x)ax2bxc(a0)，则当a0，0时恒有f(x)0，当a0，0时，恒有 f(x)0.3(1)幂函数的图象一定会出现在第一象限内，一定不会出现在第四象限；(2)幂函数的图象过定点(1，1)，如果幂函数的图象与坐标轴相交，则交点一定是原点1概念思辨判断下列说法的正误(正确的打“”，错误的打“”)(1)函数 y2x13是幂函数()(2)当 n0 时，幂函数 yxn 在(0，)上是增函数()(3)二次函数 yax2bxc(xR)不可能是偶函数()(4)二次函数 yax2bxc(xa，b)的最值一定是4acb24a.()解析：(1)由于幂函数的解析式为 f(x)x，故
4、 y2x13不是幂函数，(1)错(3)由于当b0时，yax2bxcax2c为偶函数，故(3)错(4)对称轴 x b2a，当 b2a小于 a 或大于 b 时，最值不是4acb24a，故(4)错答案：(1)(2)(3)(4)2教材衍化(1)(人 A 必修 1P79 页改编)已知幂函数 f(x)kx 的图象过点12，22，则 k()A.12B1C.32D2(2)(人 A 必修 1P44A 组 T9 改编)已知函数 f(x)x24ax 在区间(，6)内单调递减，则 a 的取值范围是_解析：(1)因为 f(x)kx 是幂函数，所以 k1.又 f(x)的图象过点12，22，所以12 22，所以 12，所以
5、 k11232.(2)解析：函数 f(x)x24ax 的图象是开口向上的抛物线，其对称轴是 x2a，由函数在区间(，6)内单调递减可知，区间(，6)应在直线 x2a 的左侧，所以2a6，解得 a3.答案：(1)C(2)a33典题体验(1)(2019衡水中学月考)若存在非零的实数a，使得f(x)f(ax)对定义域上任意的 x 恒成立，则函数 f(x)可能是()Af(x)x22x1 Bf(x)x21Cf(x)2xDf(x)2x1(2)(2016全国卷)已知 a243，b323，c2513，则()AbacBabcCbcaDcab(3)(2019菏泽一中质检)若函数 f(x)ax22x1 的值域为0，
6、)，则 f(3)_解析：(1)由存在非零的实数 a，使得 f(x)f(ax)对定义域上任意的 x 恒成立，可得函数图象的对称轴为 xa20，只有选项 A 中，f(x)x22x1 关于 x1 对称(2)a243423，b323，c2513523.因为 yx23在第一象限内为增函数，又 543，所以 cab.(3)由于 f(x)ax22x1 的值域为0，)，所以 a0，且 44a0，所以 a1.则 f(x)x22x1，故 f(3)96116.答案：(1)A(2)A(3)16考点 1 幂函数的图象和性质(自主演练)【例 1】幂函数 yf(x)的图象过点(4，2)，则幂函数 yf(x)的图象是()解析
7、：设幂函数的解析式为 yx，因为幂函数 yf(x)的图象过点(4，2)，所以 24，解得 12.所以 y x，其定义域为0，)，且是增函数，当 0 x1 时，其图象在直线 yx 的上方，对照选项，C 正确答案：C【例 2】(2019洛阳二模)已知点a，12 在幂函数 f(x)(a1)xb 的图象上，则函数 f(x)是()A奇函数B偶函数C定义域内的减函数D定义域内的增函数解析：因为点a，12 在幂函数 f(x)(a1)xb 的图象上所以 a11，且12ab，因此 a2 且 b1.故 f(x)x1 是奇函数，在(，0)，(0，)内分别是减函数答案：A【例 3】若 a1223，b1523，c121
8、3，则 a，b，c的大小关系是()AabcBcabCbcaDbac解析：因为 yx23在第一象限内是增函数，所以 a1223b1523，因为 y12x是减函数，所以 a1223c1213，所以 bac.答案：D1对于幂函数图象的掌握只要抓住在第一象限内三条线分第一象限为六个区域，即 x1，y1，yx 所分区域根据 0，01，1，1 的取值确定位置后，其余象限部分由奇偶性决定2在比较幂值的大小时，必须结合幂值的特点，选择适当的函数，借助其单调性进行比较，准确掌握各个幂函数的图象和性质是解题的关键考点 2 二次函数的解析式(讲练互动)【例】一题多解已知二次函数 f(x)满足 f(2)1，f(1)1
9、，且 f(x)的最大值是 8，试确定该二次函数的解析式解：法一(利用“一般式”解题)设 f(x)ax2bxc(a0)由题意得4a2bc1，abc1，4acb24a8，解得a4，b4，c7.所以所求二次函数为 f(x)4x24x7.法二(用“顶点式”解题)设 f(x)a(xm)2n(a0)因为 f(2)f(1)，f(1)1，所以抛物线的对称轴为 x2（1）212，所以 m12.又根据题意，函数有最大值 8，所以 n8，所以 yf(x)ax1228.由 f(2)1，所以 a212281，解得 a4.所以 f(x)4x12284x24x7.法三(利用“零点式”解题)由已知 f(x)10 的两根为 x
10、12，x21，故可设 f(x)1a(x2)(x1)(a0)，即 f(x)ax2ax2a1.又函数有最大值 8，即4a（2a1）a24a8.解得 a4 或 a0(舍)所以所求函数的解析式为 f(x)4x24x7.求二次函数的解析式，一般用待定系数法，其关键是根据已知条件恰当选择二次函数解析式的形式，一般选择规律如下：变式训练已知二次函数 f(x)满足 f(x1)f(x)2x，且 f(0)1.(1)求 f(x)的解析式；(2)当 x1，1时，函数 yf(x)的图象恒在函数 y2xm 的图象的上方，求实数 m 的取值范围解：(1)设 f(x)ax2bx1(a0)，由 f(x1)f(x)2x，得 2a
11、xab2x.所以 2a2，且 ab0，解得 a1，b1.所以解析式为 f(x)x2x1.(2)因为 x1，1时，yf(x)的图象恒在 y2xm的图象上方，所以在1，1上，x2x12xm 恒成立即 x23x1m 在区间1，1恒成立所以令 g(x)x23x1x32254，故 g(x)在1，1上的最小值为 g(1)1，所以 m1.故实数 m 的取值范围为(，1)考点 3 二次函数的图象与性质(多维探究)角度 二次函数的单调性与最值【例 1】已知函数 f(x)x22ax3，x4，6(1)当 a2 时，求 f(x)的最值；(2)求实数 a 的取值范围，使 yf(x)在区间4，6上是单调函数解：(1)当
12、a2 时，f(x)x24x3(x2)21，由于 x4，6，所以 f(x)在4，2上单调递减，在2，6上单调递增，所以 f(x)的最小值是 f(2)1，又 f(4)35，f(6)15，故 f(x)的最大值是 35.(2)由于函数 f(x)的图象开口向上，对称轴是 xa，所以要使 f(x)在4，6上是单调函数，应有a4 或a6，即 a6 或 a4，故 a 的取值范围是(，64，)角度 二次函数的图象及应用【例 2】对数函数 ylogax(a0，且 a1)与二次函数 y(a1)x2x 在同一坐标系内的图象可能是()解析：若 0a1 时，则 ylogax 在(0，)上是增函数，抛物线 y(a1)x2x
13、 的图象开口向上，且对称轴 x12（a1）0 位于 y 轴右侧，B 错，A 项满足答案：A【例 3】设函数 f(x)x2xa(a0)，已知 f(m)0 Df(m1)0，所以 f(x)的大致图象如图所示由 f(m)0，得1m0，所以 f(m1)f(0)0.答案：C角度 二次函数的恒成立问题【例 4】(2019南阳模拟)设函数 f(x)mx2mx1，若对于 x1，3，f(x)m4 恒成立，则实数 m 的取值范围为()A(，0 B.0，57C(，0)0，57D.，57解析：由题意，f(x)m4 对于 x1，3恒成立，即 m(x2x1)5 对于 x1，3恒成立因为当 x1，3时，1x2x17，所以不等
14、式 f(x)m4 等价于 m5x2x1.又当 x3 时，5x2x1取最小值57.所以若要不等式 m5x2x1对于 x1，3恒成立，则必有 m0，则一次函数 yaxb 为增函数，二次函数 yax2bxc 的开口向上，故可排除 A；若 a0，b0，从而 b2a0，而二次函数的对称轴在 y 轴的右侧，故应排除 B，只有选项 C 适合答案：C2已知二次函数 f(x)ax2bx1(a，bR)，xR.(1)若函数 f(x)的最小值为 f(1)0，求 f(x)的解析式，并写出单调区间；(2)在(1)的条件下，f(x)xk 在区间3，1 上恒成立，试求 k 的取值范围解：(1)由题意知 b2a1，f（1）ab10，解得a1，b2.所以 f(x)x22x1，由 f(x)(x1)2 知，函数 f(x)的单调递增区间为1，)，单调递减区间为(，1(2)由题意知，x22x1xk 在区间3，1上恒成立，即 kx2x1 在区间3，1上恒成立，令 g(x)x2x1，x3，1，由 g(x)x12234知 g(x)在区间3，1上是减函数，则 g(x)ming(1)1，所以 k1，故 k 的取值范围是(，1)
