1、第三编 导数及其应用3.1 导数的概念及运算基础自测1.在曲线y=x2+1的图象上取一点（1，2）及附近一点（1+x，2+y），则为 .答案 x+22.已知f(x)=sinx(cosx+1)，则f(x)= .答案 cos2x+cosx3.若函数y=f(x)在R上可导且满足不等式xf(x)-f(x)恒成立，且常数a,b满足ab,则下列不等式不一定成立的是 （填序号）.af(b)bf(a)af(a)bf(b)af(a)bf(b)af(b)bf(a)答案 4.（2008辽宁理，6）设P为曲线C：y=x2+2x+3上的点，且曲线C在点P处切线倾斜角的取值范围是，则点P横坐标的取值范围为 .答案 5.(
2、2008全国理，14)设曲线y=eax在点（0，1）处的切线与直线x+2y+1=0垂直，则a= .答案 2例1 求函数y=在x0到x0+x之间的平均变化率.解 y=，=.例2 求下列各函数的导数：（1）y=；（2）y=（x+1）（x+2）（x+3）；（3）y=-sin(1-2cos2)；（4）y=+.解 （1）y=x+x3+，y=（x）+(x3)+(x-2sinx)=-x+3x2-2x-3sinx+x-2cosx.(2)方法一 y=（x2+3x+2）（x+3）=x3+6x2+11x+6，y=3x2+12x+11.方法二y=（x+1）（x+2）（x+3）+（x+1）（x+2）（x+3）=（x+1
3、）（x+2）+（x+1）（x+2）（x+3）+（x+1）（x+2）=（x+2+x+1）（x+3）+（x+1）（x+2）=（2x+3）（x+3）+（x+1）（x+2）=3x2+12x+11.（3）y=-sin(-cos)=sinx，y=(sinx) = （sinx）=cosx.（4）y=+=，y=()=.例3 求下列函数的导数：（1）y=;(2)y=sin2(2x+);(3)y=x.解 （1）设u=1-3x,y=u-4.则y x=y uux=-4u-5（-3）=.(2)设y=u2,u=sinv,v =2x+,则y x=y uu vv x=2ucosv2=4sincos=2sin.(3)y=(x)
4、=x+x（)=+=.例4 （14分）已知曲线y=x3+.(1)求曲线在x=2处的切线方程；（2）求曲线过点（2，4）的切线方程.解 （1）y=x2,在点P（2，4）处的切线的斜率k=y|x=2=4.3分曲线在点P（2，4）处的切线方程为y-4=4(x-2),即4x-y-4=0.6分（2）设曲线y=x3+与过点P（2，4）的切线相切于点A(x0，x03+)，则切线的斜率k=y|=x02.8分切线方程为y-(x03+)=x02(x-x0),即y=x02x-x03+.10分点P（2，4）在切线上，4=2x02-x03+,即x03-3x02+4=0,x03+x02-4x02+4=0,x02 (x0+1
5、)-4(x0+1)(x0-1)=0,(x0+1)(x0-2)2=0,解得x0=-1或x0=2,故所求的切线方程为4x-y-4=0或x-y+2=0.14分1.求y=在x=x0处的导数.解 =，当x无限趋近于0时，无限趋近于,f(x0)= .2.求y=tanx的导数.解 y=.3.设函数f（x）=cos（x+）（0）.若f(x)+f(x)是奇函数,则= .答案 4.若直线y=kx与曲线y=x3-3x2+2x相切，则k= .答案 2或-一、填空题1.若f（x0）=2，则当k无限趋近于0时= .答案 -12.（2008全国理，7）设曲线y=在点（3，2）处的切线与直线ax+y+1=0垂直，则a= .答
6、案 -23.若点P在曲线y=x3-3x2+(3-)x+上移动，经过点P的切线的倾斜角为，则角的取值范围是 .答案 4.曲线y=x3-2x2-4x+2在点（1,-3）处的切线方程是 .答案 5x+y-2=05.（2009徐州六县一区联考）若曲线f(x)=x4-x在点P处的切线平行于直线3x-y=0,则点P的坐标为 .答案 （1，0）6.已知曲线S:y=3x-x3及点P（2，2），则过点P可向S引切线，其切线共有 条.答案 37.曲线y=和y=x2在它们交点处的两条切线与x轴所围成的三角形面积是 .答案 8.若函数f(x)的导函数为f(x)=-x(x+1),则函数g(x)=f(logax)(0a1
7、)的单调递减区间是 .答案 二、解答题9.求下列函数在x=x0处的导数.（1）f（x）=cosxsin2x+cos3x，x0=；（2）f（x）=，x0=2；（3）f（x）=，x0=1.解 （1）f(x)=cosx(sin2x+cos2x)=(cosx)=-sinx,f（）=-.(2)f(x)=,f(2)=0.(3)f(x)=(x)-x+(lnx)=-x-1+,f(1)=- .10.求曲线y=ln(2x-1)上的点到直线2x-y+3=0的最短距离.解 设曲线上过点P（x0,y0）的切线平行于直线2x-y+3=0，即斜率是2，则y|=|=2.解得x0=1,所以y0=0,即点P（1，0），点P到直线
8、2x-y+3=0的距离为,曲线y=ln(2x-1)上的点到直线2x-y+3=0的最短距离是.11.（2008海南、宁夏，21，（1）（3）问）设函数f(x)=ax+（a,bZ），曲线y=f(x)在点（2，f（2）处的切线方程为y=3.（1）求f（x）的解析式；（2）证明：曲线y=f(x)上任一点的切线与直线x=1和直线y=x所围三角形的面积为定值，并求出此定值.(1)解 f(x)=a-,于是解得或因为a,bZ,故f(x)=x+.(2)证明 在曲线上任取一点（x0,x0+）,由f(x0)=1-知,过此点的切线方程为y-=(x-x0).令x=1,得y=,切线与直线x=1的交点为;令y=x,得y=2
9、x0-1,切线与直线y=x的交点为(2x0-1,2x0-1);直线x=1与直线y=x的交点为(1,1),从而所围三角形的面积为|2x0-1-1|=|2x0-2|=2.所以,所围三角形的面积为定值2.12.偶函数f（x）=ax4+bx3+cx2+dx+e的图象过点P（0，1），且在x=1处的切线方程为y=x-2，求y=f（x）的解析式.解 f（x）的图象过点P（0，1），e=1.又f（x）为偶函数，f（-x）=f（x）.故ax4+bx3+cx2+dx+e=ax4-bx3+cx2-dx+e.b=0，d=0.f（x）=ax4+cx2+1.函数f（x）在x=1处的切线方程为y=x-2，可得切点为（1，
10、-1）.a+c+1=-1.f（1）=（4ax3+2cx）|x=1=4a+2c，4a+2c=1. 由得a=，c=-.函数y=f（x）的解析式为f（x）=x4-x2+1.3.2 导数的应用基础自测1.函数y=f(x)的图象过原点且它的导函数g=f(x)的图象是如图所示的一条直线，则y=f(x)图象的顶点在第 象限.答案 一2.已知对任意实数x,有f(-x)=-f(x),g(-x)=g(x),且x0时，f(x)0,g(x)0，则x0时，f(x) 0,g(x) 0.(用“”, “=”,“”填空)答案 3.（2008广东理，7）设aR,若函数y=eax+3x,xR有大于零的极值点,则a的取值范围是 .答
11、案 a-34.函数y=3x2-2lnx的单调增区间为 ，单调减区间为 .答案 5.（2008江苏，14）f(x)=ax3-3x+1对于x-1,1总有f(x)0成立，则a= .答案 4例1 已知f(x)=ex-ax-1.（1）求f(x)的单调增区间；（2）若f(x）在定义域R内单调递增，求a的取值范围；（3）是否存在a,使f(x)在（-，0上单调递减，在0，+）上单调递增？若存在，求出a的值；若不存在，说明理由.解 f(x)= e x-a.(1)若a0，f(x)= ex-a0恒成立，即f(x)在R上递增.若a0, ex-a0,exa,xlna.f(x)的递增区间为（lna，+）.（2）f（x）在
12、R内单调递增，f(x)0在R上恒成立.ex-a0，即aex在R上恒成立.a（ex）min，又ex0,a0.（3）方法一 由题意知ex-a0在（-，0上恒成立.aex在（-，0上恒成立.ex在（-，0上为增函数.x=0时，ex最大为1.a1.同理可知ex-a0在0，+）上恒成立.aex在0，+）上恒成立.a1，a=1.方法二 由题意知，x=0为f(x)的极小值点.f(0)=0,即e0-a=0,a=1.例2 已知函数f(x)=x3+ax2+bx+c,曲线y=f(x）在点x=1处的切线为l:3x-y+1=0，若x=时，y=f(x）有极值.（1）求a,b,c的值；（2）求y=f(x）在-3，1上的最大
13、值和最小值.解 （1）由f（x)=x3+ax2+bx+c,得f(x)=3x2+2ax+b,当x=1时，切线l的斜率为3，可得2a+b=0当x=时，y=f(x)有极值，则f（）=0,可得4a+3b+4=0由解得a=2,b=-4.由于切点的横坐标为x=1,f(1)=4.1+a+b+c=4.c=5.（2）由（1）可得f(x)=x3+2x2-4x+5,f(x)=3x2+4x-4,令f(x)=0,得x=-2,x=.当x变化时，y,y的取值及变化如下表：x-3(-3,-2)-2(-2,)(,1)1 +0-0+y8单调增递13单调递减单调递增4 y=f(x)在-3，1上的最大值为13，最小值为例3 （14分
14、）已知函数f(x)=x2e-ax(a0),求函数在1，2上的最大值.解 f（x）=x2e-ax（a0）,f(x)=2xe-ax+x2（-a)e-ax=e-ax(-ax2+2x).3分令f(x)0,即e-ax(-ax2+2x)0,得0x.f(x)在（-,0),上是减函数，在上是增函数.当01,即a2时,f(x）在（1，2）上是减函数,f（x）max=f（1）=e-a.8分当12,即1a2时，f(x)在（1, ）上是增函数，在（,2）上是减函数，f(x)max=f（）=4a-2e-2.12分当2时，即0a1时，f(x)在（1，2）上是增函数，f（x）max=f（2）=4e-2a.综上所述，当0a1
15、时，f(x)的最大值为4e-2a,当1a2时，f(x)的最大值为4a-2e-2,当a2时，f(x)的最大值为e-a.14分例4 某分公司经销某种品牌产品，每件产品的成本为3元，并且每件产品需向总公司交a元（3a5）的管理费，预计当每件产品的售价为x元（9x11）时，一年的销售量为（12-x）2万件.（1）求分公司一年的利润L（万元）与每件产品的售价x的函数关系式；（2）当每件产品的售价为多少元时，分公司一年的利润L最大，并求出L的最大值Q（a）.解 （1）分公司一年的利润L（万元）与售价x的函数关系式为：L=(x-3-a)(12-x)2,x9,11.(2)L(x)=(12-x)2-2(x-3-
16、a)(12-x)=(12-x)(18+2a-3x).令L=0得x=6+a或x=12（不合题意，舍去）.3a5,86+a.在x=6+a两侧L的值由正变负.所以当86+a9即3a时，Lmax=L(9)=(9-3-a)(12-9)2=9(6-a).当96+a即a5时，Lmax=L(6+a)=(6+a-3-a)12-(6+a)2=4(3-a)3.所以Q(a)=答 若3a，则当每件售价为9元时，分公司一年的利润L最大，最大值Q（a）=9(6-a)（万元）；若a5，则当每件售价为(6+a)元时，分公司一年的利润L最大，最大值Q(a)=4（3-a）3(万元).1.已知函数f(x)=x3-ax-1.(1)若f
17、(x)在实数集R上单调递增，求实数a的取值范围；（2）是否存在实数a,使f(x)在（-1，1）上单调递减？若存在，求出a的取值范围；若不存在，说明理由；（3）证明：f(x)=x3-ax-1的图象不可能总在直线y=a的上方.（1）解 由已知f(x)=3x2-a,f(x)在（-,+）上是单调增函数，f(x)=3x2-a0在（-,+）上恒成立，即a3x2对xR恒成立.3x20,只需a0,又a=0时，f(x)=3x20,故f(x)=x3-1在R上是增函数，则a0.（2）解 由f(x)=3x2-a0在(-1,1)上恒成立，得a3x2,x(-1,1)恒成立.-1x1,3x23,只需a3.当a=3时，f(x
18、)=3(x2-1),在x(-1,1)上，f(x)0,即f(x)在（-1，1）上为减函数，a3.故存在实数a3,使f(x)在（-1，1）上单调递减.（3）证明 f(-1)=a-2a,f(x)的图象不可能总在直线y=a的上方.2.求函数y=x4-2x2+5在区间-2,2上的最大值与最小值.解 先求导数,得y=4x3-4x令y=0,即4x3-4x=0.解得x1=-1,x2=0,x3=1.导数y的正负以及f(-2),f(2)如下表:x-2(-2,-1)-1(-1,0)0(0,1)1（1，2）2-0+0-0+y1345413从上表知,当x=2时,函数有最大值13,当x=1时,函数有最小值4.3.（200
19、8山东理，21）已知函数f(x)=+aln(x-1),其中nN*,a为常数.(1)当n=2时,求函数f(x)的极值;(2)当a=1时,证明:对任意的正整数n,当x2时,有f(x)x-1.(1)解 由已知得函数f(x)的定义域为x|x1,当n=2时,f(x)=+aln(x-1),所以f(x)=.当a0时,由f(x)=0,得x1=1+1,x2=1-1,此时f(x)=.当x(1,x1)时,f(x)0,f(x)单调递减;当x(x1,+)时,f(x)0,f(x)单调递增.当a0时,f(x)0恒成立,所以f(x)无极值.综上所述,n=2时,当a0时,f(x)在x=1+处取得极小值,极小值为f（1+）=（1
20、+ln）.当a0时,f(x)无极值.(2)证明 方法一 因为a=1,所以f(x)=+ln(x-1).当n为偶数时,令g(x)=x-1-ln(x-1),则g(x)=1+-=+0 (x2).所以,当x2,+)时,g(x)单调递增,又g(2)=0,因此,g(x)=x-1-ln(x-1)g(2)=0恒成立,所以f(x)x-1成立.当n为奇数时,要证f(x)x-1,由于0,所以只需证ln(x-1)x-1,令h(x)=x-1-ln(x-1),则h(x)=1-=0(x2),所以,当x2,+)时,h(x)=x-1-ln(x-1)单调递增,又h(2)=10,所以当x2时,恒有h(x)0,即ln(x-1)x-1命
21、题成立.综上所述,结论成立.方法二 当a=1时,f(x)= +ln(x-1).当x2时,对任意的正整数n,恒有1,故只需证明1+ln(x-1)x-1.令h(x)=x-1-(1+ln(x-1)=x-2-ln(x-1),x2,+).则h(x)=1-=,当x2时,h(x)0,故h(x)在2,+)上单调递增,因此,当x2时,h(x)h(2)=0,即1+ln(x-1)x-1成立.故当x2时,有+ln(x-1)x-1.即f(x)x-1.4.某造船公司年造船量是20艘，已知造船x艘的产值函数为R（x）=3 700x+45x2-10x3（单位：万元），成本函数为C（x）=460x+5 000（单位：万元），又
22、在经济学中，函数f（x）的边际函数Mf（x）定义为Mf（x）=f（x+1）-f（x）.（1）求利润函数P（x）及边际利润函数MP（x）；（提示：利润=产值-成本）（2）问年造船量安排多少艘时，可使公司造船的年利润最大？（3）求边际利润函数MP（x）的单调递减区间，并说明单调递减在本题中的实际意义是什么？解 （1）P（x）=R（x）-C（x）=-10x3+45x2+3 240x-5 000（xN*，且1x20）;MP(x)=P(x+1)-P(x)=-30x2+60x+3 275 (xN*,且1x19).（2）P(x)=-30x2+90x+3 240=-30(x-12)(x+9),x0,P(x)=
23、0时,x=12，当0x12时，P(x)0,当x12时，P(x)0,x=12时，P(x)有最大值.即年造船量安排12艘时，可使公司造船的年利润最大.（3）MP（x）=-30x2+60x+3 275=-30（x-1）2+3 305.所以，当x1时，MP(x)单调递减，所以单调减区间为1，19，且xN*.MP（x）是减函数的实际意义是：随着产量的增加，每艘利润与前一艘比较，利润在减少.一、填空题1.已知f（x）的定义域为R，f（x）的导函数f（x）的图象如图所示，则下列说法中错误的有 （填序号）.f(x)在x=1处取得极小值f（x）在x=1处取得极大值 f（x）是R上的增函数f（x）是（-，1）上的
24、减函数，（1，+）上的增函数答案 2.函数f(x)的定义域为开区间(a,b),导函数f(x)在(a,b)内的图象如图所示,则函数f(x)在开区间(a,b)内极小值点有 个.答案 13.函数f(x)=x2-2ax+a在区间（-，1）上有最小值，则函数g(x)=在区间（1，+）上一定是 函数.（用“增”、“减”填空）答案 增4.用边长为48 cm的正方形铁皮做一个无盖的铁盒时，在铁皮的四角各截去一个面积相等的小正方形，然后把四边折起，就能焊接成铁盒，所做的铁盒容积最大时，在四角截去的正方形的边长为 cm.答案 85.已知f(x)=2x3-6x2+a (a是常数）在-2，2上有最大值3，那么在-2，
25、2上f(x）的最小值是 .答案 -376.已知函数f(x)=x4-2x3+3m,xR,若f(x)+90恒成立,则实数m的取值范围是 .答案 m7.已知函数f(x)=x3-12x+8在区间-3，3上的最大值与最小值分别为M，m，则M-m= .答案 328.已知函数f(x)的导数f(x)=a(x+1)(x-a),若f(x)在x=a处取到极大值，则a的取值范围是 .答案 （-1，0）二、解答题9.设a0,函数f(x)=,b为常数.（1）证明：函数f(x)的极大值点和极小值点各有一个；（2）若函数f(x）的极大值为1，极小值为-1，试求a的值.（1）证明 f(x)=,令f(x)=0,得ax2+2bx-
26、a=0(*)=4b2+4a20,方程（*)有两个不相等的实根，记为x1,x2(x1x2),则f(x)=,当x变化时，f(x）与f(x）的变化情况如下表： x(-,x1)x1(x1 ,x2)x2(x2 ,+ )-0+0-f (x)极小植极大值可见，f(x)的极大值点和极小值点各有一个.（2）解 由（1）得即两式相加，得a(x1+x2)+2b=x-x.x1+x2=-,x-x=0,即(x2+x1)(x2-x1)=0,又x1x2,x1+x2=0,从而b=0,a（x2-1）=0，得x1=-1,x2=1,由得a=2.10.（2009徐州模拟）已知函数f(x)=,x0，2.（1）求f(x)的值域；（2）设a
27、0,函数g(x)=ax3-a2x,x0，2.若对任意x10，2，总存在x20，2，使f(x1)-g(x2)=0.求实数a的取值范围.解 （1）方法一 对函数f(x)求导，f(x)=.令f(x)=0,得x=1或x=-1.当x(0,1)时，f(x)0,f(x)在(0,1）上单调递增；当x(1,2)时，f(x)0,f(x)在（1，2）上单调递减.又f(0)=0,f(1)=,f(2)=,当x0，2时，f(x)的值域是.方法二 当x=0时，f(x)=0;当x(0，2时，f(x)0且f(x)=，当且仅当x=,即x=1时，“=”成立.当x0，2时，f(x)的值域是.(2)设函数g(x)在0，2上的值域是A.
28、对任意x10，2，总存在x00，2，使f(x1)-g(x0)=0,A.对函数g(x)求导，g(x)=ax2-a2.当x(0,2),a0时，g(x)0,函数g(x)在（0，2）上单调递减.g(0)=0,g(2)=a-2a20,当x0，2时，不满足A；当a0时，g(x)=a(x-)(x+).令g(x)=0，得x=或x=-（舍去）.（)当x0，2，02时，列表：x0（0，）（，2）2-0+g(x)0-g(0)=0,g()0,又A，g（2）=.解得a1.()当x(0,2),2时，g(x)0,函数在（0，2）上单调递减，g（0）=0，g（2）=0,当x0，2时，不满足A.综上，实数a的取值范围是.11.
29、已知函数f（x）=x3-ax2-3x.（1）若f（x）在区间1，+）上是增函数，求实数a的取值范围；（2）若x=-是f（x）的极值点，求f（x）在1，a上的最大值；（3）在（2）的条件下，是否存在实数b，使得函数g（x）=bx的图象与函数f（x）的图象恰有3个交点，若存在，请求出实数b的取值范围；若不存在，试说明理由.解 （1）f(x)=3x2-2ax-3f(x)在1，+）上是增函数,f(x)在1，+）上恒有f(x)0，即3x2-2ax-30在1，+）上恒成立则必有1且f(1)=-2a0,a0.(2）依题意，f(-)=0,即+a-3=0a=4,f（x）=x3-4x2-3x令f（x）=3x2-8
30、x-3=0，得x1=-，x2=3.则当x变化时，f(x),f(x)的变化情况如下表：x1（1，3）3（3，4）4-0+f (x)-6-18-12f（x）在1，4上的最大值是f（1）=-6.（3）函数g（x）=bx的图象与函数f（x）的图象恰有3个交点，即方程x3-4x2-3x=bx恰有3个不等实根x3-4x2-3x-bx=0，x=0是其中一个根，方程x2-4x-3-b=0有两个非零不等实根，,b-7且b-3.存在符合条件的实数b，b的范围为b-7且b- 3.12.(2008安徽理，20)设函数f（x）=（x0且x1）.（1）求函数f（x）的单调区间；（2）已知2xa对任意x（0，1）成立，求实
31、数a的取值范围.解 （1）f(x)=-，若f(x)=0,则x=.列表如下：x（0，）（，1）（1，+）+0-f (x)单调增极大值f()单调减单调减所以f(x)的单调增区间为（0, ），单调减区间为（,1）和（1，+）.（2）在2xa两边取对数，得ln2alnx.由于x(0,1)，所以.由（1）的结果知，当x(0,1)时，f(x)f（）=-e.为使式对所有x(0,1)成立，当且仅当-e,即a-eln2.3.3 定积分基础自测1.当n无限趋近于+时，(sin+sin+sin)写成定积分的形式，可记为 .答案 sinxdx2.1dx= .答案 13.由曲线y=ex,x=0,y=2所围成的曲边梯形的
32、面积为 （用定积分表示）.答案 lnydy或(2-ex)dx4.已知f(x)为偶函数且f（x）dx=8，则f（x）dx= .答案 165.已知-1a1，f（a）=（2ax2-a2x）dx，求f（a）的值域.解 f(a)= (2ax2-a2x)dx=(-)|=-+=-(a-)2+.-1a1，-f（a），故f(a)的值域为例1 计算下列定积分（1）x(x+1)dx;(2) (e2x+)dx;(3) sin2xdx.解 （1）x（x+1）=x2+x且(x3)=x2,(x2)=x,x(x+1)dx=(x2+x)dx=x2dx+xdx=x3|+x2|=(23-0)+(22-0)=.(2)(lnx)=,(
33、e2x)=e2x(2x)=2e2x,得e2x=(e2x)所以（e2x+)dx=e2xdx+dx=e2x|+lnx|=e4-e2+ln2-ln1=e4-e2+ln2.(3)由(sin2x)=cos2x(2x)=2cos2x,得cos2x=（sin2x）,所以sin2xdx=（-cos2x）dx=dx-cos2xdx=x|-（sin2x）|=（-0）-（sin2 -sin0）=.例2 计算下列定积分（1）|sinx|dx;(2)|x2-1|dx.解 （1）（-cosx）=sinx，|sinx|dx=|sinx|dx+|sinx|dx=sinxdx-sinxdx=-cosx|+cosx|=-（cos
34、-cos0）+（cos2-cos）=4.（2）0x2，于是|x2-1|=|x2-1|dx=(1-x2)dx+(x2-1)dx=|+（x3-x）|=（1-）+（23-2）-（-1）=2.例3 求函数f(x)=在区间0，3上的积分.解 由积分性质知f(x)dx=f(x)dx+f(x)dx+f(x)dx=x3dx+x2dx+2xdx=|+x3|+|=+-+-=+.例4 （14分）求定积分dx.解 设y=,即(x-3)2+y2=25 (y0).5分dx表示以5为半径的圆的四分之一面积.10分dx=.14分1. 求(cosx+ex)dx.解 (cosx+ex)dx=cosxdx+exdx=sinx|+e
35、x|=1-.2.求（|x-1|+|x-3|）dx.解 设y=|x-1|+|x-3|=(|x-1|+|x-3|)dx=(-2x+4)dx+2dx+(2x-4)dx=(-x2+4x)|+2x|+(x2-4x)|=-1+4+6-2+16-16-9+12=10.3.已知函数:f(x)=求f(x)dx.解 f(x)dx=2(x+1)-1 dx+dx+()x-1dx=2ln(x+1)|+|+ =2ln2+(2-1)+ .4. （-x）dx= .答案 一、填空题1.定积分dx= .答案 62.若y=f(x)与y=g(x)是a,b上的两条光滑曲线的方程，则这两条曲线及直线x=a,x=b所围成的平面区域的面积为
36、 （用定积分表示）.答案|f(x)-g(x)|dx3.定积分(32x+3)dx= .答案 4.设函数f（x）=则f（x）dx= .答案 5.定积分2(x3+5x5)dx= .答案 06.根据sinxdx=0推断，直线x=0，x=2，y=0和正弦曲线y=sinx所围成的曲边梯形的面积时，曲边梯形在x轴上方的面积 在x轴下方的面积.（用“大于”,“小于”,“等于”填空）答案 等于7.若f(x)dx=1, f(x)dx=-1,则f(x)dx= .答案 -28.定积分dx的值是 .答案 ln2二、解答题9.求下列定积分的值(1) dx;(2)已知f(x)=，求f(x)dx的值.解 （1）dx表示以y=
37、与x=0,x=3所围成图形的面积，而y=与x=0,x=3围成的图形为圆x2+y2=9在第一象限内的部分，因此所求的面积为.（2）f（x）=f(x)dx=x2dx+1dx=x3|+x|=+1=.10.已知f（x）=ax2+bx+c，且f（-1）=2，f（0）=0，f（x）dx=-2，求a、b、c的值.解 由f（-1）=2，得a-b+c=2，又f(x)=2ax+b,由f(0)=0得b=0,f(x)dx=(ax2+bx+c)dx=(ax3+x2+cx)|=a+b+c.即a+b+c=-2，由得：a=6,b=0,c=-4.11.已知f(a)= (2ax2-a2x)dx,求f(a)的最大值.解 (2ax2
38、-a2x)dx=(ax3-a2x2)|=a -a2即f(a)= a-a2=-（a2-a+）+=-（a-）2+.所以当a=时，f(a)有最大值.12.(2009青岛模拟)对于函数f(x)=bx3+ax2-3x.（1）若f(x)在x=1和x=3处取得极值，且f(x)的图象上每一点的切线的斜率均不超过2sintcost-2cos2t+,试求实数t的取值范围；（2）若f(x）为实数集R上的单调函数，且b-1,设点P的坐标为（a,b)，试求出点P的轨迹所围成的图形的面积S.解 （1）由f(x)=bx3+ax2-3x,则f(x)=3bx2+2ax-3,f（x）在x=1和x=3处取得极值，x=1和x=3是f
39、(x)=0的两个根且b0.f(x)=-x2+4x-3.f(x)的图象上每一点的切线的斜率不超过2sintcost-2cos2t+,f(x)2sintcost-2cos2t+对xR恒成立，而f(x)=-(x-2)2+1,其最大值为1.故2sintcost-2cos2t+12sin(2t-)12k+2t-2k+,kZk+tk+,kZ.（2）当b=0时，由f(x)在R上单调，知a=0.当b0时，由f(x)在R上单调f(x)0恒成立，或者f(x)0恒成立.f(x)=3bx2+2ax-3,=4a2+36b0可得b-a2.从而知满足条件的点P（a,b)在直角坐标平面aOb上形成的轨迹所围成的图形是由曲线b
40、=-a2与直线b=-1所围成的封闭图形，其面积为S=(1-a2)da=4.3.4 定积分的简单应用基础自测1.将由y=cosx,x=0,x=,y=0所围图形的面积写成定积分形式为 .答案 cosxdx+|cosxdx|2.一物体沿直线以v=3t+2 (t单位：s,v单位：m/s）的速度运动，则该物体在3 s6 s间的运动路程为 m.答案 46.53.用力把弹簧从平衡位置拉长10 cm,此时用的力是200 N，变力F做的功W为 J.答案 104.曲线y=cosx（ 0x）与坐标轴所围成的面积是 .答案 35.有一质量非均匀分布的细棒，已知其线密度为（x）=x3（取细棒的一端为原点，所在直线为x轴
41、），棒长为1，则棒的质量M为 .答案 例1 求抛物线y2=2x与直线y=4-x围成的平面图形的面积.解 由方程组解出抛物线和直线的交点为（2，2）及(8,-4).方法一 选x作为积分变量，由图可看出S=A1+A2在A1部分：由于抛物线的上半支方程为y=,下半支方程为y=-x，所以S=-(-)dx=2xdx=2x|=，S=4-x-(-)dx=(4x-x2+x)|=,于是：S=+=18.方法二 选y作积分变量，将曲线方程写为x=及x=4-y.S=（4-y）-dy=(4y-)|=30-12=18.例2 （14分）如图所示，直线y=kx分抛物线y=x-x2与x轴所围图形为面积相等的两部分，求k的值.
42、解 抛物线y=x-x2与x轴两交点的横坐标x1=0,x2=1,所以抛物线与x轴所围图形的面积S=（x-x2）dx=()|=-=.6分抛物线y=x-x2与y=kx两交点的横坐标为x1=0,x2=1-k,9分所以=（x-x2-kx）dx=|=(1-k)，12分又知S=，所以(1-k)=，于是k=1-=1-.14分例3 一辆汽车的速度时间曲线如图所示，求此汽车在这1 min内所行驶的路程.解 由速度时间曲线易知，v（t）=由变速直线运动的路程公式可得s=3tdt+30dt+(-1.5t+90)dt=t2|+30t|+（-t2+90t）|=1 350 (m).答 此汽车在这1 min内所行驶的路程是1
43、 350 m.1.求抛物线y2=x与直线x-2y-3=0所围成的平面图形的面积S.解 方法一 由得抛物线与直线的交点为P（1，-1），Q（9，3）（如图）.S=-(-)dx+(-)dx=2dx+(-+)dx= |+（x-+|=+=.方法二 若选取积分变量为y，则两个函数分别为x=y2,x=2y+3.由方法一知上限为3，下限为-1.S=(2y+3-y2）dy=（y2+3y-y3)|=(9+9-9)-(1-3+)=.2.如图所示,阴影部分的面积是 .答案 3.一物体按规律x=bt3做直线运动，式中x为时间t内通过的距离，媒质的阻力与速度的平方成正比，试求物体由x=0运动到x=a时，阻力做的功.解
44、物体的速度v=x(t)=(bt3)=3bt2,媒质阻力f阻=kv2=k（3bt2）2=9kb2t4.(其中k为比例常数，k0)当x=0时，t=0，当x=a时，t=t1=,阻力做的功是：W阻=f阻dx=kv2vdt=kv3dt=k（3bt2）3dt=kb3=k=ka2.一、填空题1.如图所示，阴影部分面积为 .答案 g(x)-f(x)dx+f(x)-g(x)dx2.设f（x）=则f（x）dx= .答案 3.设f(x)=sintdt,则f（f（）= .答案 1-cos14.一物体在力F（x）= (单位：N）的作用下沿与力F相同的方向，从x=0处运动到x=4（单位：m)处，则力F（x）做的功为 J.
45、答案 465.一物体在变力F(x)=5-x2(力单位:N,位移单位:m)作用下,沿与F(x)成30方向作直线运动,则由x=1运动到x=2时F(x)做的功为 J.答案 6.函数F(x)=t(t-4)dt在-1,5上的最大值为 ，最小值为 .答案 0 -7.汽车以v=3t+2 (单位：m/s）作变速直线运动时，在第1 s至第2 s间的1 s内经过的路程是 m.答案 6.58.若f(x)是一次函数，且f(x)dx=5, xf(x)dx=,那么函数f(x)的解析式是 .答案 f(x)=4x+3二、解答题9.证明：把质量为m（单位：kg）的物体从地球的表面升高h(单位：m)处所做的功W=G，其中G是地球
46、引力常数，M是地球的质量，k是地球的半径.证明 根据万有引力定律：知道对于两个距离为r,质量分别为m1、m2的质点，它们之间的引力为f（r）=G，其中G为引力常数.则当质量为m的物体距地面高度为x(0xh)时，地心对它的引力f（x）=G.故该物体从地面升到h高处所做的功为W=f（x）dx=Gdx=GMmd（k+x）=GMm|=GMm=G.10.设函数f(x)=x3+ax2+bx在点x=1处有极值-2.（1）求常数a,b的值；（2）求曲线y=f(x)与x轴所围成的图形的面积.解 （1）由题意知f(x)=3x2+2ax+b,f(1)=-2且f(1)=0,即，解得a=0,b=-3,即f(x)=x3-
47、3x.(2)作出曲线y=x3-3x的草图，所求面积为阴影部分的面积，由x3-3x=0得曲线y=x3-3x与x轴的交点坐标是(-,0),(0,0)和(,0)，而y=x3-3x是R上的奇函数，函数图象关于原点中心对称.所以(-,0)的阴影面积与(0, )的阴影面积相等.所以所求图形的面积为S=20-(x3-3x)dx=-2（x4-x2）|=.11.如图所示，抛物线y=4-x2与直线y=3x的两交点为A、B，点P在抛物线上从A向B运动.（1）求使PAB的面积最大的P点的坐标(a,b);(2)证明由抛物线与线段AB围成的图形，被直线x=a分为面积相等的两部分.（1）解 解方程组，得x1=1,x2=-4
48、.抛物线y=4-x2与直线y=3x的交点为A（1，3），B（-4，-12），P点的横坐标a(-4,1).点P（a,b)到直线y=3x的距离为d=,P点在抛物线上，b=4-a2，=(4-3a-a2)= (-2a-3)=0,a=-，即当a=-时，d最大，这时b=4-=,P点的坐标为（-,）时，PAB的面积最大.（2）证明 设上述抛物线与直线所围成图形的面积为S,位于x=-右侧的面积为S1.S=（4-x2-3x)dx=,S1=（4-x2-3x)dx=,S=2S1,即直线x=-平分抛物线与线段AB围成的图形的面积.12.在区间0，1上给定曲线y=x2，试在此区间内确定点t的值，使图中阴影部分的面积S1
49、与S2之和最小.解 S1面积等于边长为t与t2的矩形面积去掉曲线y=x2与x轴、直线x=t所围成的面积，即S1=tt2-x2dx=t3.S2的面积等于曲线y=x2与x轴、x=t,x=1围成的面积减去矩形面积，矩形边长分别为t2，（1-t），即S2=x2dx-t2(1-t)=t3-t2+.所以阴影部分的面积S为S=S1+S2=t3-t2+（0t1）.S(t)=4t2-2t=4t(t-)=0时，得t=0，t=.当t=时，S最小，最小值为S()=.单元检测三一、填空题(本大题共14小题,每小题5分,共70分)1.由三条直线x=0,x=2,y=x3和y=0所围成的图形的面积为 .答案 42.（2008
50、福建文，11）如果函数y=f(x)的图象如图所示，那么导函数y=f(x)的图象可能是 .答案 3.设f(x)=x2(2-x),则f(x)的单调增区间是 .答案 4.（2008广东文）设aR,若函数y=ex+ax,xR有大于零的极值点，则a的取值范围为 .答案 a-15.已知函数y=f(x)=x3+px2+qx的图象与x轴切于非原点的一点，且y极小值=-4，那么p、q的值分别为 .答案 6,96.已知x0,y0，x+3y=9,则x2y的最大值为 .答案 367.下列关于函数f(x)=(2x-x2)ex的判断正确的是 （填序号）.f(x)0的解集是x|0x2;f(-)是极小值，f()是极大值；f(
51、x)没有最小值，也没有最大值.答案 8.函数f(x)的图象如图所示，则0,f(3)-f(2),f(2),f(3)的大小顺序为 .答案 0f(3)f(3)-f(2)f(2)9.设f(x)=,g(x)=,对任意x1,x2(0,+),若有恒成立，则正数k的取值范围是 .答案 1，+）10.定义在R上的可导函数f(x),已知y=ef(x)的图象如图所示，则y=f(x)的增区间是 .答案 (-,2)11.在弹性限度内，弹簧所受的压缩力F与缩短的距离l按胡克定律F=kl计算.今有一弹簧原长90 cm，每压缩1 cm需0.049 N的压缩力，若把这根弹簧从80 cm压缩至60 cm（在弹性限度内），则外力克
52、服弹簧的弹力所做的功为 J.答案 0.68612.如图所示，曲线y=x2-1及x轴围成图形的面积S为 .答案 13.若函数f(x)=在区间（m,2m+1)上是单调递增函数，则实数m的取值范围是 .答案 （-1，014.已知函数f(x)的导函数为f(x),且满足f(x)=3x2+2xf(2),则f(5)= .答案 6二、解答题(本大题共6小题,共90分)15.（14分）已知函数f(x)=x3-x2+bx+c.(1)若f(x)在（-，+）上是增函数，求b的取值范围;(2)若f(x)在x=1处取得极值，且x-1,2时，f(x)c2恒成立，求c的取值范围.解 （1）f(x)=3x2-x+b,因f(x)
53、在（-，+）上是增函数，则f(x)0.即3x2-x+b0,bx-3x2在（-，+）恒成立.设g(x)=x-3x2.当x=时，g(x)max=,b.(2)由题意知f（1）=0，即3-1+b=0，b=-2.x-1,2时，f(x)c2恒成立，只需f(x)在-1，2上的最大值小于c2即可.因f(x)=3x2-x-2,令f(x)=0,得x=1或x=-.f(1)=-+c,f()=+c,f(-1)=+c,f(2)=2+c.f(x)max=f(2)=2+c,2+cc2.解得c2或c-1，所以c的取值范围为（-，-1）（2，+）.16.（14分）设p:y=(x2-4)(x-a)在(-,-2)和(2,+）上是单调
54、增函数；q:不等式(2t-2)dta的解集为R.如果p与q有且只有一个正确，求a的取值范围.解 命题p:由原式得y=x3-ax2-4x+4a,y=3x2-2ax-4,y的图象为开口向上且过点（0，-4）的抛物线.由条件得f(-2)0且f(2)0,即.-2a2.命题q: (2t-2)dt=(t2-2t)|=x2-2x=(x-1)2-1a,该不等式的解集为R，a-1.当p正确q不正确时，-1a2;当p不正确q正确时，a-2.a的取值范围是（-，-2）-1，2.17.（14分）一列火车在平直的铁轨上匀速行驶，由于遇到紧急情况，火车以速度v(t)=5-t+ (单位：m/s)紧急刹车至停止.求：（1）从
55、开始紧急刹车至火车完全停止所经过的时间；（2）紧急刹车后火车运行的路程比正常运行的路程少了多少米？解 （1）当火车的速度v=0时火车完全停止，即5-t+=0,t2-4t-60=0，解得t=10或t=-6（舍去).即从开始紧急刹车至火车完全停止所经过的时间为10 s.（2）由（1）知，从开始紧急刹车至火车完全停止所经过的时间为10 s,又由火车的速度v(t)=5-t+,得火车正常行驶的速度v=v(0)=60 (m/s).火车正常运行的路程与紧急刹车后火车运行的路程之差为6010-(5-t+)dt=600-5t-+55ln(t+1)|=600-55ln11,即紧急刹车后火车运行的路程比正常运行的路
56、程少了(600-55 ln11)米.18.（16分）已知A（-1，2）为抛物线C：y=2x2上的点，直线l1过点A且与抛物线C相切，直线l2:x=a(a-1)交抛物线C 于点B，交直线l1于点D.（1）求直线l1的方程；（2）求ABD的面积S1；（3）求由抛物线C及直线l1和直线l2所围成的图形面积S2.解 （1）由条件知点A（-1，2）为直线l1与抛物线C的切点，y=4x,直线l1的斜率k=-4,直线l1的方程为y-2=-4(x+1),即4x+y+2=0.(2)点A的坐标为（-1，2），由条件可得点B的坐标为（a，2a2），点D的坐标为（a，-4a-2），ABD的面积S1为S1=|2a2-(
57、-4a-2)|-1-a|=|(a+1)3|=-(a+1)3.(3)直线l1的方程可化为y=-4x-2,S2=2x2-(-4x-2)dx=(2x2+4x+2)dx=2(x3+x2+x)| =-2(a3+a2+a)=-a3-2a2-2a-.19.（16分）如图所示，P是抛物线C：y=x2上一点，直线l过点P并与抛物线C在点P的切线垂直，l与抛物线C相交于另一点Q，当点P在抛物线C上移动时，求线段PQ的中点M的轨迹方程，并求点M到x轴的最短距离.解 设P（x0，y0），则y0=x,过点P的切线斜率k=x0,当x0=0时不合题意，x00.直线l的斜率kl=-=-,直线l的方程为y-x=-(x-x0).
58、此式与y=x2联立消去y得x2+x- x-2=0.设Q（x1,y1）,M(x,y).M是PQ的中点，,消去x0，得y=x2+1(x0)就是所求的轨迹方程.由x0知x20,y=x2+12+1=+1.上式等号仅当x2=,即x=时成立，所以点M到x轴的最短距离是+1.20.（16分）已知函数f(x)=(1+x)2-aln(1+x)2在(-2,-1)上是增函数，在（-，-2）上为减函数.（1）求f(x)的表达式；（2）若当x时，不等式f(x)m恒成立，求实数m的值；（3）是否存在实数b使得关于x的方程f(x)=x2+x+b在区间0，2上恰好有两个相异的实根，若存在，求实数b的取值范围.解 （1）f(x
59、)=2(1+x)-=2,依题意f(x)在(-2,-1)上是增函数，在（-,-2)上为减函数.x=-2时，f（x）有极小值，f（-2）=0.代入方程解得a=1,故f(x)=(1+x)2-ln(1+x)2.(2)由于f(x)=2(1+x)-=,令f(x)=0,得x1=0,x2=-2.（由于x，故x2=-2舍去），易证函数在上单调递减，在0，e-1上单调递增，且f()=+2,f(e-1)=e2-2+2,故当x时，f(x)max=e2-2,因此若使原不等式恒成立只需me2-2即可.（3）若存在实数b使得条件成立，方程f(x)=x2+x+b即为x-b+1-ln(1+x)2=0,令g(x)=x-b+1-ln(1+x)2,则g(x)=1-=,令g(x)0,得x-1或x1,令g(x)0,得-1x1,故g(x)在0，1上单调递减，在1，2上单调递增，要使方程f(x)=x2+x+b在区间0，2上恰好有两个相异的实根，只需g(x)=0在区间0，1和1，2上各有一个实根，于是有2-2ln2b3-2ln3,故存在这样的实数b,当2-2ln2b3-2ln3时满足条件.
