1、2020-2021学年北京市101中学高一（下）期末数学试卷一、选择题（共10小题）.1已知z2i，则z+i（）A22iB4iC2+2iD4+i2下列区间中，函数f（x）7sin（x）单调递增的区间是（）A（0，）B（，）C（，）D（，2）3在ABC中，已知a，b2，B45，则角A（）A30或150B60或120C60D304设平面与平面相交于直线m，直线a在平面内，直线b在平面内，且bm，则“”是“ab”的（）A充分不必要条件B必要不充分条件C充分必要条件D既不充分也不必要条件5在ABC中，C90，AC4，BC3，点P是AB的中点，则（）AB4CD66已知，是两个不同的平面，m，n是两条不同
2、的直线，下列命题中错误的是（）A若m，nm，n，则B若m，n，则nmC若m，n，则nmD若，n，m，nm，则m7若tan2，则（）ABCD8为了解某地农村经济情况，对该地农户家庭年收入进行抽样调查，将农户家庭年收入的调查数据整理得到如下频率分布直方图：根据此频率分布直方图，下面结论中不正确的是（）A该地农户家庭年收入低于4.5万元的农户比率估计为6%B该地农户家庭年收入不低于10.5万元的农户比率估计为10%C估计该地农户家庭年收入的平均值不超过6.5万元D估计该地有一半以上的农户，其家庭年收入介于4.5万元至8.5万元之间9如图，在空间四边形ABCD中，两条对角线AC，BD互相垂直，且长度分
3、别为4和6，平行于这两条对角线的平面与边AB，BC，CD，DA分别相交于与E，F，G，H，记四边形EFGH的面积为y，设x，则（）A函数yf（x）的值域为 （0，4B函数yf（x）的最大值为8C函数yf（x）在（0，）上单调递增D函数yf（x）满足f（x）f（）10有6个相同的球，分别标有数字1，2，3，4，5，6，从中有放回的随机取两次，每次取1个球甲表示事件“第一次取出的球的数字是1”，乙表示事件“第二次取出的球的数字是2”，丙表示事件“两次取出的球的数字之和是8”，丁表示事件“两次取出的球的数字之和是7”，则（）A甲与丙相互独立B甲与丁相互独立C乙与丙相互独立D丙与丁相互独立二、填空题（
4、共6小题）.11设aR，若复数（1+i）（a+i）在复平面内对应的点位于实轴上，则a 12若A为ABC的内角，且，则的值为 13如图，已知PD垂直于正方形ABCD所在的平面，连接PB，PC，PA，AC，BD，则一定互相垂直的平面有 对14已知不等式对于恒成立，则实数m的取值范围是 15中国古代数学名著九章算术中记载：“今有羡除”刘徽注：“羡除，隧道也其所穿地，上平下邪”现有一个羡除如图所示，四边形ABCD，ABFE，CDEF均为等腰梯形，ABCDEF，AB6，CD8，EF10，EF到平面ABCD的距离为3，CD与AB间的距离为10，则这个羡除的体积是 16已知函数f（x）|cosx|sinx给
5、出下列五个说法：f（）；若|f（x1）|f（x2）|，则x1x2+k（kZ）；f（x）在区间，上单调递增；函数f（x）的周期为；f（x）的图象关于点（，0）成中心对称其中正确说法的序号是 三、解答题共4小题解答应写出文字说明、演算步驟或证明过程17在ABC中，c2，C30再从条件、条件、条件这三个条件中选择一个作为已知，使其能够确定唯一的三角形，求：（1）a的值；（2）ABC的面积条件：2ba；条件：b2；条件：A4518为迎接2022年北京冬季奥运会，普及冬奥知识，某地区小学联合开展了“冰雪答题王”冬奥知识竞赛活动现从参加该活动的学生中随机抽取了30名学生，将他们的竞赛成绩（单位：分）用茎叶
6、图记录如图：（）从该地区参加该活动的男生中随机抽取1人，估计该男生的竞赛成绩在90分以上的概率；（）从该地区参加该活动的全体男生中随机抽取2人，全体女生中随机抽取2人，估计这4人中男生竞赛成绩在90分以上的人数比女生竞赛成绩在90分以上的人数多的概率；（）为便于普及冬奥知识，现从该地区某所小学参加冬奥知识竞赛活动的学生中随机选取10名男生、10名女生作为冬奥宣传志愿者记这10名男生竞赛成绩的平均数为1，这10名女生竞赛成绩的平均数为2，能否认为12，说明理由19已知正四棱柱ABCDA1B1C1D1中，M是DD1的中点（）求证：BD1平面AMC；（）求证：ACBD1；（）在线段BB1上是否存在点
7、P，当时，平面A1PC1平面AMC？若存在，求出的值并证明；若不存在，请说明理由20对nN*，定义（1）求a2（x）a1（x）的最小值；（2）nN*，有an（x）A恒成立，求A的最大值；（3）求证：不存在m，nN*，且mn，使得am（x）an（x）为恒定常数参考答案一、选择题（共10小题）.1已知z2i，则z+i（）A22iB4iC2+2iD4+i解：由z2i，得2+i，所以z+i2i+2+i+i4+i故选：D2下列区间中，函数f（x）7sin（x）单调递增的区间是（）A（0，）B（，）C（，）D（，2）解：令，kZ则，kZ当k0时，x，（0，），故选：A3在ABC中，已知a，b2，B45，则
8、角A（）A30或150B60或120C60D30解：a，b2，B45，由正弦定理，得可得sinAA30或150ab，可得AB，A30故选：D4设平面与平面相交于直线m，直线a在平面内，直线b在平面内，且bm，则“”是“ab”的（）A充分不必要条件B必要不充分条件C充分必要条件D既不充分也不必要条件解：bm，当，则由面面垂直的性质可得ab成立，若ab，则不一定成立，故“”是“ab”的充分不必要条件，故选：A5在ABC中，C90，AC4，BC3，点P是AB的中点，则（）AB4CD6解：在ABC中，C90，则0，因为点P是AB的中点，所以（+），所以（+）2+2|2故选：C6已知，是两个不同的平面，
9、m，n是两条不同的直线，下列命题中错误的是（）A若m，nm，n，则B若m，n，则nmC若m，n，则nmD若，n，m，nm，则m解：若m，nm，则n，又n，则，故A正确；若m，n，则nm或n与m异面，故B错误；若m，则m，又n，则nm，故C正确；若，n，m，nm，由平面与平面垂直的性质可得m，故D正确故选：B7若tan2，则（）ABCD解：因为tan2，所以故选：C8为了解某地农村经济情况，对该地农户家庭年收入进行抽样调查，将农户家庭年收入的调查数据整理得到如下频率分布直方图：根据此频率分布直方图，下面结论中不正确的是（）A该地农户家庭年收入低于4.5万元的农户比率估计为6%B该地农户家庭年收入
10、不低于10.5万元的农户比率估计为10%C估计该地农户家庭年收入的平均值不超过6.5万元D估计该地有一半以上的农户，其家庭年收入介于4.5万元至8.5万元之间解：对于A，该地农户家庭年收入低于4.5万元的农户比率为（0.02+0.04）10.066%，故选项A正确；对于B，该地农户家庭年收入不低于10.5万元的农户比率为（0.04+0.023）10.110%，故选项B正确；对于C，估计该地农户家庭年收入的平均值为30.02+40.04+50.1+60.14+70.2+80.2+90.1+100.1+110.04+120.02+130.02+140.027.686.5万元，故选项C错误；对于D，
11、家庭年收入介于4.5万元至8.5万元之间的频率为（0.1+0.14+0.2+0.2）10.640.5，故估计该地有一半以上的农户，其家庭年收入介于4.5万元至8.5万元之间，故选项D正确故选：C9如图，在空间四边形ABCD中，两条对角线AC，BD互相垂直，且长度分别为4和6，平行于这两条对角线的平面与边AB，BC，CD，DA分别相交于与E，F，G，H，记四边形EFGH的面积为y，设x，则（）A函数yf（x）的值域为 （0，4B函数yf（x）的最大值为8C函数yf（x）在（0，）上单调递增D函数yf（x）满足f（x）f（）解：AC平面EFGH，BD平面EFGH，ACEFACHG，BDEHBDFG
12、，则四边形EFGH为平行四边形，两条对角线AC，BD互相垂直，EHEF，则四边形EFGH为矩形，x，由11x，即EH（1x）BD6（1x），同理，则EFxAC4x，则四边形EFGH的面积为yEHEF4x6（1x）24（xx2）24（x）2+6，x（0，1），当x时，函数取得最大值6，故A，B错误函数的对称轴为x，则函数在（0，）上是单调递增函数，故C正确函数的对称轴为x，函数yf（x）满足f（x）f（1x），故D错误故选：C10有6个相同的球，分别标有数字1，2，3，4，5，6，从中有放回的随机取两次，每次取1个球甲表示事件“第一次取出的球的数字是1”，乙表示事件“第二次取出的球的数字是2”，
13、丙表示事件“两次取出的球的数字之和是8”，丁表示事件“两次取出的球的数字之和是7”，则（）A甲与丙相互独立B甲与丁相互独立C乙与丙相互独立D丙与丁相互独立解：由题意可知，两点数和为8的所有可能为：（2，6），（3，5），（4，4），（5，3），（6，2），两点数和为7的所有可能为（1，6），（2，5），（3，4），（4，3），（5，2），（6，1），P（甲），P（乙），P（丙），P（丁），A：P（甲丙）0P（甲）P（丙），B：P（甲丁）P（甲）P（丁），C：P（乙丙）P（乙）P（丙），D：P（丙丁）0P（丙）P（丁），故选：B二、填空题共6小题11设aR，若复数（1+i）（a+i）在复平面内对
14、应的点位于实轴上，则a1解：（1+i）（a+i）a1+（a+1）i，若复数（1+i）（a+i）在复平面内对应的点位于实轴上，则a+10，解得：a1，故答案为：112若A为ABC的内角，且，则的值为 解：A为ABC的内角，且，解得sinA，cosA，故答案为：13如图，已知PD垂直于正方形ABCD所在的平面，连接PB，PC，PA，AC，BD，则一定互相垂直的平面有 7对解：根据题意，因为PD垂直于正方形ABCD所在的平面，PD平面PAD，PD平面PCD，PD平面PBD，所以平面PAD平面ABCD，平面PCD平面ABCD，平面PBD平面ABCD；因为PD平面ABCD，AB平面ABCD，所以ABPD
15、，由于ABAD，ADPDD，所以AB平面PAD，因为AB平面PAB，所以平面PAB平面PAD；又CDAB，所以CD平面PAD，因为CD平面PCD，所以平面PCD平面PAD；因为PD平面ABCD，BC平面ABCD，所以PDBC，因为BCCD，PDCDD，所以BC平面PCD，又BC平面PBC，所以平面PBC平面PCD；因为PD平面ABCD，AC平面ABCD，所以PDAC，又ACBD，PDBDD，所以AC平面PBD，又AC平面PAC，所以平面PAC平面PBD，故一定互相垂直的平面有7对故答案为：714已知不等式对于恒成立，则实数m的取值范围是 （解：令f（x）则f（x）因为，所以，所以，由于不等式对
16、于恒成立可得mf（x）min所以m的取值范围为故答案为：15中国古代数学名著九章算术中记载：“今有羡除”刘徽注：“羡除，隧道也其所穿地，上平下邪”现有一个羡除如图所示，四边形ABCD，ABFE，CDEF均为等腰梯形，ABCDEF，AB6，CD8，EF10，EF到平面ABCD的距离为3，CD与AB间的距离为10，则这个羡除的体积是 120解：连接CE，BE，DB，则VEABCD（6+8）10370VDABEVEABDVEABCD30，VCBEFVDABE50这个羡除的体积VVEABCD+VCBEF70+50120故答案为：12016已知函数f（x）|cosx|sinx给出下列五个说法：f（）；若
17、|f（x1）|f（x2）|，则x1x2+k（kZ）；f（x）在区间，上单调递增；函数f（x）的周期为；f（x）的图象关于点（，0）成中心对称其中正确说法的序号是解：f（）|cos|sin，正确；若|f（x1）|f（x2）|，即|sin2x1|sin2x2|，则x10，x2时也成立，故不正确；在区间，上，f（x）|cosx|sinxsin2x，单调递增，正确；f（x+）f（x），函数f（x）的周期不是，不正确；函数f（x）|cosx|sinx，函数是奇函数，f（x）的图象关于点（0，0）成中心对称，点（，0）不是函数的对称中心，故不正确故答案为：三、解答题共4小题解答应写出文字说明、演算步驟或证
18、明过程17在ABC中，c2，C30再从条件、条件、条件这三个条件中选择一个作为已知，使其能够确定唯一的三角形，求：（1）a的值；（2）ABC的面积条件：2ba；条件：b2；条件：A45解：选条件时，（1）由于：2ba；由于c2，C30，所以cosC，整理得a4；（2）根据题意：b2，所以满足a2b2+c2，故ABC为直角三角形；所以选条件时：b2，由于c2，C30，所以cosC，所以a4，（2）由于c2，所以满足a2b2+c2，故ABC为直角三角形；所以选条件时：由于A45C30，c2，利用正弦定理：，解得a2，（2）在ABC中，sinBsin（A+C）sinAcosC+cosAsinC，所以
19、18为迎接2022年北京冬季奥运会，普及冬奥知识，某地区小学联合开展了“冰雪答题王”冬奥知识竞赛活动现从参加该活动的学生中随机抽取了30名学生，将他们的竞赛成绩（单位：分）用茎叶图记录如图：（）从该地区参加该活动的男生中随机抽取1人，估计该男生的竞赛成绩在90分以上的概率；（）从该地区参加该活动的全体男生中随机抽取2人，全体女生中随机抽取2人，估计这4人中男生竞赛成绩在90分以上的人数比女生竞赛成绩在90分以上的人数多的概率；（）为便于普及冬奥知识，现从该地区某所小学参加冬奥知识竞赛活动的学生中随机选取10名男生、10名女生作为冬奥宣传志愿者记这10名男生竞赛成绩的平均数为1，这10名女生竞赛
20、成绩的平均数为2，能否认为12，说明理由解：（）由茎叶图可知，随机抽取的30名学生中男生有15名，其中竞赛成绩在90分以上的学生有5名，随机抽取的15名男生中竞赛成绩在90分以上的频率为，从该地区参加该活动的男生中随机抽取1人，该男生的竞赛成绩在90分以上的概率估计为（）记Ai（i1，2）表示“第i名男生的竞赛成绩在90分以上”，Bj（j1，2）表示“第j名女生的竞赛成绩在90分以上”，C表示“这4人中男生竞赛成绩在90分以上的人数比女生竞赛成绩在90分以上的人数多”，同（），从该地区参加该活动的女生中随机选1人，该生生竞赛成绩在90分以上的概率估计为，则这4人中男生竞赛成绩在90分以上的人数
21、比女生竞赛成绩在90分以上的人数多的概率为：P（C）P（+）+（1）+（）不能认为12，理由如下：上述10名男生，10名女生的竞赛成绩的数据是随机的，1，2是随机的，无法确定是否有1219已知正四棱柱ABCDA1B1C1D1中，M是DD1的中点（）求证：BD1平面AMC；（）求证：ACBD1；（）在线段BB1上是否存在点P，当时，平面A1PC1平面AMC？若存在，求出的值并证明；若不存在，请说明理由【解答】（本小题满分14分）（）证明：在正四棱柱ABCDA1B1C1D1中，连结BD交AC于N，连结MN因为ABCD为正方形，所以N为BD中点（1分）在DBD1中，因为M为DD1中点，所以BD1MN
22、因为MN平面AMC，BD1不包含于平面AMC，所以BD1平面AMC（）证明因为ABCD为正方形，所以ACBD因为DD1平面ABCD，所以DD1AC因为DD1BDD，所以AC平面BDD1因为BD1平面BDD1，所以ACBD1（）解：当，即点P为线段BB1的中点时，平面A1PC1平面AMC因为AA1CC1，且AA1CC1，所以四边形AA1C1C是平行四边形所以ACA1C1取CC1的中点Q，连结MQ，QB因为M为DD1中点，所以MQAB，且MQAB，所以四边形ABQM是平行四边形所以BQAM同理BQC1P所以AMC1P因为A1C1C1PC1，ACAMA，所以平面A1PC1平面AMC20对nN*，定义
23、（1）求a2（x）a1（x）的最小值；（2）nN*，有an（x）A恒成立，求A的最大值；（3）求证：不存在m，nN*，且mn，使得am（x）an（x）为恒定常数解：（1）a2（x）a1（x）（sin2xcos2x）（sin2xcosx）sin2xcos2x+cosxsin2x（12sin2x）+cosxsin2x+sin2x+cosxsin2x+cosx（1cos2x）+cosxcos2x+cosx，令tcosx，t1，1，则yt2+t，对称轴t1，所以ymax12+1（2）an（sin2xcosnx），因为nN*，1cosnx1，所以an（sin2xcosnx）0，所以A0，所以A的最大值为0（3）证明：令g（x）fm（x）fn（x），下面比较g（x）在x0，处的函数值，有，由cos（n）cos（m），可得m，n均为偶数，进而cos（），cos（）1，1，于是g（）0，考虑到0，于是g（），此时为偶数且为奇数，进而，即3，矛盾，综上所述，不存在符合题意的m，n
