1、2.3.2 圆的一般方程必备知识自主学习导思1.方程x2+y2+Dx+Ey+F=0表示什么图形?2.圆的一般方程有什么特点?1.方程 x2y2DxEyF0 表示的图形将方程左边配方，并将常数项移到右边得2Dx2（）2Ey2（）D2E24F4.(1)当 D2E24F0 时，表示圆心为D2，E2，半径为 D2E24F2的圆；(2)当 D2E24F0 时，表示点D2，E2；(3)当 D2E24F0 时，方程 x2y2DxEyF0 称为圆的一般方程(2)本质：圆的方程的另一种表示形式，更具有方程特征(1)圆的一般方程特点 提示：x2 和 y2 系数相等，都为 1；没有 xy 项(2)点 P(x0，y0
2、)与圆 x2y2DxEyF0 的位置关系怎么判断？提示：圆内：x20 y20 Dx0Ey0F0.1辨析记忆(对的打“”，错的打“”).(1)圆的标准方程与一般方程可以互化()(2)方程 2x22y23x0 不是圆的一般方程()(3)方程 x2y2xy10 表示圆()提示：(1).圆的标准方程与一般方程可以互化(2).方程 2x22y23x0 即 x2y232 x0，是圆的一般方程(3).因为(1)2124120，所以方程不表示任何图形 2方程 x2y24x4y10k0 表示圆，则 k 的取值范围是()Ak2 Ck2 Dk2【解析】选 B.若方程表示圆，则()42424()10k0，解得 k2.
3、3(教材二次开发：例题改编)已知圆的方程 x2y22ax90 圆心坐标为()5，0，则它的半径为()A3 B 5 C5 D4【解析】选 D.由题得2a2 5，所以 a5，所以圆的半径为 1020249282 4.关键能力合作学习类型一 二元二次方程与圆的关系(数学运算，数学抽象)1方程 2x22y24x8y100 表示的图形是()A一个点B一个圆C一条直线D不存在2方程 x2y2ax2ay2a2a10 表示圆，则 a 的范围是()Aa23B23 a2C2a0 D2a0，所以 3a24a40，所以(a2)(3a2)0，所以2a0.可以通过配方把圆的一般方程化成标准方程【补偿训练】圆 2x22y2
4、4ax12ay16a20()a0的周长等于()A2 2 a B2 2 aC2a2D 2 a【解析】选 B.原方程配方得()xa2()y3a22a2.因为 a0)，则254D3EF0，295D2EF0，1DF0，解得D6，E2，F5，因此其外接圆的一般方程为 x2y26x2y50.方法二：(几何法)AB 的垂直平分线方程 y52 x92，即 yx2；AC 的垂直平分线方程 y32 x52，即 yx4.由yx2，yx4，得圆心(3，1)，半径（43）2（31）2 5.所以圆的方程为(x3)2(y1)25，即 x2y26x2y50.方法三：(几何法)因为 AB，AC 的斜率，满足 kABkAC324
5、5 3041 1，所以 ABAC，ABC为直角三角形所以 BC 为外接圆的直径外接圆圆心(3，1)，半径为12 BC12（51）2（20）2 5，所以圆的方程为(x3)2(y1)25，即 x2y26x2y50.求圆的方程的两种方法(1)几何法：根据圆的几何性质，直接求出圆心坐标和半径，进而写出方程(2)待定系数法：根据题意，选择标准方程或一般方程；根据条件列出关于 a，b，r 或 D，E，F 的方程组；解出 a，b，r 或 D，E，F，代入标准方程或一般方程 求圆心在直线 x2y30 上，且过点 A(2，3)，B(2，5)的圆的方程【解析】方法一：(几何法)设点 C 为圆心，因为点 C 在直线
6、 x2y30 上，所以可设点 C 的坐标为(2a3，a).又该圆经过 A，B 两点，所以|CA|CB|，即（2a32）2（a3）2 （2a32）2（a5）2，解得 a2，所以圆心 C 的坐标为(1，2)，半径 r 10，故所求圆的方程为(x1)2(y2)210.方法二：(待定系数法)设所求圆的标准方程为(xa)2(yb)2r2，由题意得（2a）2（3b）2r2，（2a）2（5b）2r2，a2b30，解得 a1，b2，r210，故所求圆的方程为(x1)2(y2)210.【拓展延伸】确定圆心位置的方法(1)圆心在过切点且与切线垂直的直线上(2)圆心在圆的任意弦的垂直平分线上(3)两圆相切时，切点与
7、两圆圆心共线【拓展训练】已知以点 P 为圆心的圆经过点 A(1，0)和 B(3，4)，线段 AB 的垂直平分线交圆P 于点 C，D，且|CD|4 10.(1)求直线 CD 的方程；(2)求圆 P 的方程【证明】(1)由题意知直线 AB 的斜率 k1，中点坐标为(1，2).则直线 CD 的方程为 y2(x1)，即 xy30.(2)设圆心 P(a，b)，由点 P 在 CD 上得 ab30.又因为直径|CD|4 10，所以|PA|2 10，所以(a1)2b240.由解得a3，b6或a5，b2.所以圆心 P(3，6)或 P(5，2).所以圆 P 的方程为(x3)2(y6)240 或(x5)2(y2)2
8、40.类型三 求动点的轨迹方程(数学运算、逻辑推理)角度 1 直接法 【典例】公元前 3 世纪，古希腊数学家阿波罗尼斯在平面轨迹一书中，曾研究了众多的平面轨迹问题，其中有如下结果：平面内到两定点距离之比等于已知数的动点轨迹为直线或圆后世把这种圆称之为阿波罗尼斯圆已知直角坐标系中 A()2，0，B()2，0，则满足|PA 2|PB 的点 P 的轨迹的圆心为_，面积为_【思路导引】设点 P(x，y)，然后代入|PA 2|PB，化简即可求出圆的方程【解析】设点 P(x，y)，代入|PA 2|PB 得（x2）2y2 2（x2）2y2，整理得 3x23y220 x120.配方得210 x3（）y2649
9、.所以点 P 的轨迹的圆心为103，0，半径为83.圆的面积为649.答案：103，0 649 在【典例】条件下，求 ABP 面积的最大值【解析】当 PC 垂直 x 轴时，面积最大为12 483 163.角度 2 定义法及代入法 【典例】设定点 M()3，4，动点 N 在圆 x2y24 上运动，以 OM，ON 为两边作平行四边形 MONP，求点 P 的轨迹【思路导引】方法一：由平行四边形性质可知|MP|ON|2，满足圆的定义，注意去掉不满足条件的点；方法二：根据对角线互相平分，利用代入法可求出轨迹方程【解析】方法一：(定义法)|MP|ON|2，所以动点 P 在以 M 为圆心，半径为 2的圆上又
10、因为四边形 MONP 为平行四边形，所以 O，M，P 不共线当点 P 在直线 OM 上时有 x95，y125 或 x215，y285.因此所求轨迹为圆()x32()y424，除去点95，125和点215，285.方法二：(代入法)如图所示，设 P()x，y，N()x0，y0，则线段 OP 的中点坐标为x2，y2，线段 MN 的中点坐标为x032，y042.由于平行四边形的对角线互相平分，故x2 x032，y2 y042，从而x0 x3，y0y4，又点 N()x3，y4在圆上，故()x32()y424.当点 P 在直线 OM 上时，有 x95，y125 或 x215，y285.因此所求轨迹为圆(
11、)x32()y424，除去点95，125和点215，285.求解与圆有关的轨迹问题方法(1)直接法：直接根据题目提供的条件列出方程(2)定义法：根据圆、直线等定义列方程(3)几何法：利用圆的几何性质列方程(4)代入法：找到要求点与已知点的关系，代入已知点满足的关系式等 1在 ABC 中，若点 B，C 的坐标分别是()2，0和()2，0，中线 AD 的长是3，则点 A 的轨迹方程是()Ax2y23 Bx2y24Cx2y29()y0Dx2y29()x0【解析】选 C.由|AD|3 知点 A 在以 D 为圆心，半径为 3 的圆上，不包括圆与 x轴的交点所以轨迹方程为 x2y29(y0).2已知圆 O
12、：x2y24 及一点 P(1，0)，Q 在圆 O 上运动一周，PQ 的中点 M形成轨迹 C，则轨迹 C 的方程为_【解析】设 M(x，y)，则 Q(2x1，2y)，因为 Q 在圆 x2y24 上，所以(2x1)24y24，即21x2（）y21.所以轨迹 C 的方程是21x2（）y21.答案：21x2（）y21 3已知坐标平面上动点 M()x，y与两个定点 P()26，1，Q()2，1，且|MP 5|MQ.求点 M 的轨迹方程，并说明轨迹是什么图形【解析】由题意得()x26 2()y1 25()x2 2()y1 2整理得 x2y22x2y230，所以点 M 的轨迹方程是()x12()y1225.
13、轨迹是以()1，1为圆心，5 为半径的圆 课堂检测素养达标1由方程 x2y2x()m1y12 m20 所确定的圆的最大面积是()A 32 B34 C3 D不存在【解析】选 B.由已知得 r1()m1 22m2212()m1 23.所以当 m1 时，半径 r 取得最大值 32，此时最大面积是34.2(教材二次开发：练习改编)圆心在 y 轴上，且过点()3，1的圆与 x 轴相切，则该圆的方程是()Ax2y2y0 Bx2y210y0Cx2y2x0 Dx2y210 x0【解析】选 B.设圆心坐标为(0，r)，半径为 r，则（30）2（1r）2 r，解得 r5.所求圆的方程为 x2(y5)225，即 x2y210y0.3原点 O 与圆：x2y22ax2y2a 1（）0()0a0，故原点 O 在圆外答案：原点 O 在圆外4已知 ABC 的三个顶点分别为 A()1，5，B()2，2，C()5，5，则其外接圆的方程为_【解析】设所求圆的方程为 x2y2DxEyF0，(D2E24F0)，由题意可得D5EF260，2D2EF80，5D5EF500，解得D4，E2，F20.故圆的方程为 x2y24x2y200.答案：x2y24x2y200
