1、直线与圆、圆与圆的位置关系考试要求1.能根据给定直线、圆的方程判断直线与圆的位置关系；能根据给定两个圆的方程判断两圆的位置关系.2.能用直线和圆的方程解决一些简单的问题.3.初步了解用代数方法处理几何问题的思想1直线与圆的位置关系及常用的两种判断方法(1)三种位置关系：相交、相切、相离(2)两种判断方法：2圆与圆的位置关系设圆O1：(xa1)2(yb1)2r(r10)，圆O2：(xa2)2(yb2)2r(r20)位置关系几何法：圆心距d与r1，r2的关系代数法：两圆方程联立组成方程组的解的情况外离dr1r2无解外切dr1r2一组实数解相交|r1r2|dr1r2两组不同的实数解内切d|r1r2|
2、(r1r2)一组实数解内含0d|r1r2|(r1r2)无解1当两圆相交(切)时，两圆方程(x2，y2项的系数相同)相减便可得公共弦(公切线)所在的直线方程2直线与圆相交时，弦心距d，半径r，弦长的一半l满足关系式.3圆的切线方程常用结论(1)过圆x2y2r2上一点P(x0，y0)的圆的切线方程为x0xy0yr2.(2)过圆(xa)2(yb)2r2上一点P(x0，y0)的圆的切线方程为(x0a)(xa)(y0b)(yb)r2.(3)过圆x2y2r2外一点M(x0，y0)作圆的两条切线，则两切点所在直线方程为x0xy0yr2.一、易错易误辨析(正确的打“”，错误的打“”)(1)如果两个圆的方程组成
3、的方程组只有一组实数解，则两圆外切()(2)如果两圆的圆心距小于两圆的半径之和，则两圆相交()(3)从两圆的方程中消掉二次项后得到的二元一次方程是两圆的公共弦所在的直线方程()(4)过圆O：x2y2r2外一点P(x0，y0)作圆的两条切线，切点分别为A，B，则O，P，A，B四点共圆且直线AB的方程是x0xy0yr2.()答案(1)(2)(3)(4)二、教材习题衍生1若直线xy10与圆(xa)2y22有公共点，则实数a的取值范围是()A3，1B1,3C3,1D(，31，)C由题意可得，圆的圆心为(a,0)，半径为，即|a1|2，解得3a1.2圆(x2)2y24与圆(x2)2(y1)29的位置关系
4、为()A内切B相交 C外切D相离B两圆圆心分别为(2,0)，(2,1)，半径分别为2和3，圆心距d.32d0，所以直线l与圆相交法二：(几何法)圆心(0,1)到直线l的距离d1r或dr建立关于参数的等式或不等式求解；(2)圆上的点到直线距离为定值的动点个数问题多借助图形，转化为点到直线的距离求解如图1，若圆上恰有一点到直线的距离为t，则需满足drt.如图2，若圆上恰有三点到直线的距离为t，则需满足drt. 图1图2由图可知，若圆上恰有两个点到直线的距离为t，则需满足rtdrt.若圆上恰有四点到直线的距离为t，则需满足drt.1已知点M(a，b)在圆O：x2y21外，则直线axby1与圆O的位置
5、关系是()A相切B相交 C相离D不确定B因为M(a，b)在圆O：x2y21外，所以a2b21，而圆心O到直线axby1的距离d1，所以直线与圆相交2若直线l：xym与曲线C：y有且只有两个公共点，则m的取值范围是_1，)画出图像如图，当直线l经过点A，B时，m1，此时直线l与曲线y有两个公共点；当直线l与曲线相切时，m，因此当1m时，直线l：xym与曲线y有且只有两个公共点 考点二圆与圆的位置关系 几何法判断圆与圆的位置步骤(1)确定两圆的圆心坐标和半径长(2)利用平面内两点间的距离公式求出圆心距d和r1r2，|r1r2|的值(3)比较d，r1r2，|r1r2|的大小，写出结论典例2已知两圆x
6、2y22x6y10和x2y210x12ym0.求(1)m取何值时两圆外切？(2)m取何值时两圆内切，此时公切线方程是什么？(3)求m45时两圆的公共弦所在直线的方程和公共弦的长解两圆的标准方程分别为(x1)2(y3)211，(x5)2(y6)261m，圆心分别为M(1,3)，N(5,6)，半径分别为和.(1)当两圆外切时，.解得m2510.(2)法一：(作差法)由两式相减得8x6y1m0.又两圆相内切，5，m2510.所求公切线方程为4x3y5130.法二：(直接法)当两圆内切时，两圆圆心间距离等于两圆半径之差的绝对值故有5，解得m2510.因为kMN，所以两圆公切线的斜率是.设切线方程为yx
7、b，则有.解得b.容易验证，当b时，直线与圆x2y210x12ym0相交，舍去故所求公切线方程为yx，即4x3y5130.(3)两圆的公共弦所在直线的方程为(x2y22x6y1)(x2y210x12y45)0，即4x3y230.由圆的半径、弦长、弦心距间的关系，不难求得公共弦的长为22.点评：求两圆的公共弦长，常选其中一圆，由弦心距d，半径长，半径r构成直角三角形，利用勾股定理求解1已知圆M：x2y22ay0(a0)截直线xy0所得线段的长度是2，则圆M与圆N：(x1)2(y1)21的位置关系是()A内切B相交 C外切D相离B由题意得圆M的标准方程为x2(ya)2a2，圆心(0，a)到直线xy
8、0的距离d，所以22，解得a2，圆M，圆N的圆心距|MN|小于两圆半径之和3，大于两圆半径之差1，故两圆相交2(2020南通模拟)已知点A(0,2)，O(0,0)，若圆C：(xa)2(ya2)21上存在点M，使3，则圆心C的横坐标a的取值范围为_0,3设M(x，y)，因为A(0,2)，O(0,0)，所以(x,2y)，(x，y)因为3，所以(x)(x)(2y)(y)3，化简得：x2(y1)24，所以M点的轨迹是以(0,1)为圆心，2为半径的圆因为M在C：(xa)2(ya2)21上，所以两圆必须相交或相切所以13，解得0a3.所以圆心C的横坐标a的取值范围为0,3 考点三直线、圆的综合问题 几何法
9、解决直线与圆的综合问题(1)处理直线与圆的弦长问题时多用几何法，即弦长的一半、弦心距、半径构成直角三角形(2)圆的切线问题的处理要抓住圆心到直线的距离等于半径，从而建立关系解决问题切线问题典例31已知点P(1,2)，点M(3,1)，圆C：(x1)2(y2)24.(1)求过点P的圆C的切线方程；(2)求过点M的圆C的切线方程，并求出切线长解由题意得圆心C(1,2)，半径r2.(1)(11)2(22)24，点P在圆C上又kPC1，切线的斜率k1.过点P的圆C的切线方程是y(2)x(1)，即xy120.(2)(31)2(12)254，点M在圆C外部当过点M的直线斜率不存在时，直线方程为x3，即x30
10、.又点C(1,2)到直线x30的距离d312r，即此时满足题意，所以直线x3是圆的切线当切线的斜率存在时，设切线方程为y1k(x3)，即kxy13k0，则圆心C到切线的距离dr2，解得k.切线方程为y1(x3)，即3x4y50.综上可得，过点M的圆C的切线方程为x30或3x4y50.|MC|，过点M的圆C的切线长为1.点评：(1)已知切点常用“圆心与切点的连线垂直于切线”这个条件求解，也可利用向量法求解：如图O是圆心，A是切点，P是切线l上任意一点，则0.(2)过圆外一点(x0，y0)的圆的切线方程的求法：当斜率存在时，设为k，则切线方程为yy0k(xx0)，即kxyy0kx00，由圆心到直线
11、的距离等于半径，即可得出切线方程提醒：过圆上一点有且只有一条切线，过圆外一点，一定有两条切线弦长问题典例32(1)设圆x2y22x2y20的圆心为C，直线l过(0,3)，且与圆C交于A，B两点，若|AB|2，则直线l的方程为()A3x4y120或4x3y90B3x4y120或x0C4x3y90或x0D3x4y120或4x3y90(2)(2016全国卷)已知直线l：mxy3m0与圆x2y212交于A，B两点，过A，B分别作l的垂线与x轴交于C，D两点若|AB|2，则|CD|_.(1)B(2)4(1)当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为x0，联立方程得得或|AB|2，符合题意当直线l的斜率存在时
12、，设直线l的方程为ykx3，圆x2y22x2y20，即(x1)2(y1)24，其圆心为C(1,1)，圆的半径r2，圆心C(1,1)到直线ykx3的距离d，d22r2，34，解得k，直线l的方程为yx3，即3x4y120.综上，直线l的方程为3x4y120或x0.故选B.(2)由直线l：mxy3m0知其过定点(3，)，圆心O到直线l的距离为d.由|AB|2得2()212，解得m.又直线l的斜率为m，所以直线l的倾斜角.画出符合题意的图形如图所示，过点C作CEBD，则DCE.在RtCDE中，可得|CD|24.点评：求圆的弦长问题，注意应用圆的性质解题，即用圆心与弦中点连线与弦垂直的性质，可以用勾股
13、定理或斜率之积为1列方程来简化运算提醒：对于已知弦长求直线方程的问题，若弦是直径有且只有一条，否则一定有两条常因漏掉直线斜率不存在的情形致误，如本例(1)探索性问题典例33已知直线l：4x3y100，半径为2的圆C与l相切，圆心C在x轴上且在直线l的右上方(1)求圆C的方程；(2)过点M(1,0)的直线与圆C交于A，B两点(A在x轴上方)，问在x轴正半轴上是否存在定点N，使得x轴平分ANB？若存在，请求出点N的坐标；若不存在，请说明理由解(1)设圆心C(a,0)，则2a0或a5(舍)所以圆C：x2y24.(2)当直线ABx轴时，x轴平分ANB.当直线AB的斜率存在时，设直线AB的方程为yk(x
14、1)，N(t,0)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，由 得，(k21)x22k2xk240，所以x1x2，x1x2.若x轴平分ANB，则kANkBN002x1x2(t1)(x1x2)2t02t0t4，所以当点N为(4,0)时，能使得ANMBNM总成立点评：本例是探索性问题，求解的关键是把几何问题代数化，即先把条件“x轴平分ANB”等价转化为“直线斜率的关系：kANkBN”，然后借助方程思想求解1由直线yx1上的动点P向圆C：(x3)2y21引切线，则切线长的最小值为()A1B2 C.D3C如图，切线长|PM|，显然当|PC|为C到直线yx1的距离即2时，|PM|最小为，故选C.2(2020
15、长春模拟)已知在圆x2y24x2y0内，过点E(1,0)的最长弦和最短弦分别是AC和BD，则四边形ABCD的面积为()A3B6 C4D2D将圆的方程化为标准方程得(x2)2(y1)25，圆心坐标为F(2，1)，半径r，如图，显然过点E的最长弦为过点E的直径，即|AC|2，而过点E的最短弦为垂直于EF的弦，|EF|，|BD|22，S四边形ABCD|AC|BD|2.3已知圆O：x2y22，直线l：ykx2.(1)若直线l与圆O相切，求k的值；(2)若直线l与圆O交于不同的两点A，B，当AOB为锐角时，求k的取值范围；(3)若k，P是直线l上的动点，过P作圆O的两条切线PC，PD，切点为C，D，探究
16、：直线CD是否过定点解(1)圆O：x2y22，直线l：ykx2，直线l与圆O相切，圆心O(0,0)到直线l的距离等于半径r，即d，解得k1.(2)设A，B的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，将直线l：ykx2代入x2y22，整理得(1k2)x24kx20，x1x2，x1x2，(4k)28(1k2)0，即k21，当AOB为锐角时，x1x2y1y2x1x2(kx12)(kx22)(1k2)x1x22k(x1x2)4 0，解得k23，又k21，k1或1k.故k的取值范围为(，1)(1， )(3)由题意知O，P，C，D四点共圆且在以OP为直径的圆上设P，以OP为直径的圆的方程为x(xt)y0，x2txy2y0，又C，D在圆O：x2y22上，两圆作差得lCD：txy20，即t2y20，由得直线CD过定点.
