1、2022-2023第一学期期末测试高二数学一、选择题；本题共8小题，每小题5分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1已知长方体中，若棱上存在点，使得，则的取值范围是（）ABCD2已知数列中，则数列的前项和ABCD3已知函数，则（）A2B2C4D44如图，已知正方体棱长为，点在棱上，且，在侧面内作边长为的正方形，是侧面内一动点，且点到平面距离等于线段的长，则当点在侧面运动时，的最小值是（）ABCD5设F是双曲线的右焦点，过点F向C的一条渐近线引垂线，垂足为A，交另一条渐近线于点B，若，则双曲线C的离心率是（）AB2CD6数列an，bn满足，anb，且a1b11，且bn的前
2、n项和为，记，nN*，数列cn的前n项和为Sn，则Sn的最小值为（）ABCD-17已知点是抛物线上一点，是抛物线的焦点，是圆的圆心，则的最小值为（）公众号高中僧试题下载A7B6C5D48在中，已知，是边上一点，且，则面积的最大值为（）ABCD二、选择题；本题共4小题，每小题5分，共20分在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分9已知直线l：0，则下列结论正确的是（）A直线l的倾斜角是B若直线m：0，则lmC点到直线l的距离是2D过与直线l平行的直线方程是10若数列满足，则称数列为斐波那契数列，又称黄金分割数列.在现代物理准晶体结构，化学等领域，
3、斐波那契数列都有直接的应用.则下列结论成立的是（）ABCD11在平面直角坐标系中，椭圆上存在点，使得，其中、分别为椭圆的左、右焦点，则该椭圆的离心率可能为（ ）ABCD12在直四棱柱中中，底面为菱形，为中点，点满足.下列结论正确的是（）A若，则四面体的体积为定值B若平面，则的最小值为C若的外心为，则为定值2D若，则点的轨迹长度为三、填空题；本题共4小题，每小题5分，共20分13已知空间三点，在一条直线上，则实数的值是_14如图，是可导函数,直线l是曲线在处的切线，令，则_.15已知椭圆的右顶点为，经过原点的直线交椭圆于、两点，若，则椭圆的离心率为_.16对于正整数n，设是关于x的方程：的实根，
4、记，其中表示不超过x的最大整数，则_；若，为的前n项和，则_四、解答题；本题共6个小题，共70分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤17已知点P在曲线上，为曲线在点P处的切线的倾斜角，求的取值范围18已知函数.（1）求不等式的解集；（2）若的最小值为，且实数，满足，求的最小值.19如图，在直三棱柱中，点是的中点（1）求证：直线BA1平面（2）求平面与平面所成的锐二面角的余弦值20某少数民族的刺绣有着悠久的历史，图中（1）、（2）、（3）、（4）为她们刺锈最简单的四个图案，这些图案都是由小正方向构成，小正方形数越多刺锈越漂亮，向按同样的规律刺锈（小正方形的摆放规律相同），设第个图形包含个小正方
5、形(1)求的值(2)求出的表达式(3)求证：当时，21已知椭圆的左右焦点分别为，双曲线与共焦点，点在双曲线上（1）求双曲线的方程：（2）已知点P在双曲线上，且，求的面积22已知函数，(1)当时，求函数在点处的切线方程；(2)设，若，都有，求实数的取值范围参考答案1C建立空间直角坐标系，设，求出、，利用，求出的范围解：如图建立坐标系，设，则，即，所以，当时，所以，所以故选：C2B根据递推关系式构造等比数列，再根据等比数列通项公式得，即得数列的通项公式，最后根据分组求和法求结果并选择.因为，所以，即，则数列是首项为，公比为2的等比数列，其通项公式为，所以，分组求和可得数列的前项和 故选B形如的递推
6、关系式，利用待定系数法可化为 ，当时，数列是等比数列；由，两式相减，得当时，数列是公比为的等比数列3D先求导，求得得到求解.解：，则，解得，所以，故故选：D4B建立空间直角坐标系，根据在内可设出点坐标，作，连接，可得，作，根据空间中两点间距离公式，再根据二次函数的性质，即可求得的范围，即得最小值.根据题意，以D为原点建立空间直角坐标系，如图所示，作，交于M，连接，则，作，交于N，则即为点P到平面距离.设,则，点到平面距离等于线段的长，由两点间距离公式可得，化简得，则，可得，即.在中，所以（当且仅当时取等号）.故选: B.关键点点睛：本题的解题关键在于建立空间直角坐标系，利用坐标运算，将几何问题
7、转化成代数问题，通过计算二次函数的最小值来突破难点.5C设一渐近线的方程为，设，由，求得点的坐标，再由，斜率之积等于，求出，代入进行运算解：由题意得右焦点，设一渐近线的方程为，则另一渐近线的方程为，设， 由可得，斜率之积等于，即，故选：C本题考查双曲线的标准方程，以及双曲线的简单性质的应用，求得点的坐标是解题的关键，属于中档题6C先求出bnn，an=n2，从而得到，判断出，当时，.即可求出Sn的最小值.记bn的前n项和为，所以，所以，所以.因为，所以，所以bn为b11，公差d=1的等差数列，所以bnn. anb=n2.所以.数列cn的前n项和为Sn，要使Sn最小，只需把所有的负项都加完.因为，
8、所以，当时，.所以Sn的最小值为.故选：C7B设抛物线的准线方程为，过作的垂线，垂足为，进而转化为求的最小值，在根据几何知识得当，在一条直线上时有最小值解：设抛物线的准线方程为，为圆的圆心，所以的坐标为，过作的垂线，垂足为，根据抛物线的定义可知，所以问题求的最小值，就转化为求的最小值，由平面几何的知识可知，当，在一条直线上时，此时，有最小值，最小值为，故选：B8B设.由题意.则，两端平方，根据数量积运算和基本不等式可得，当且仅当时，等号成立.再由三角形面积公式可求面积的最大值设.由题意，.则，即，当且仅当，即时，等号成立.，面积的最大值为.故选：.本题考查利用向量求三角形的面积，考查基本不等式
9、，属于中档题.9BCD对A，根据斜率判断即可；对B，根据直线垂直斜率之积为-1求解即可；对C，根据点到线的距离公式求解即可；对D，先求得的斜率，再根据点斜式求解即可对A，直线l：0，直线的斜率为：所以直线的倾斜角为：所以A不正确；对B，直线m：0的斜率为：因为，故两条直线垂直，所以B正确；对C，点到直线l的距离是：2，所以C正确；对D，的斜率为，故过与直线l平行的直线方程是，化简得正确，所以D正确；故选：BCD10ABC根据斐波那契数列的定义计算，判断A，由递推公式判断BCD由题意，A正确；,B正确；，又，所以，C正确；，D错故选：ABC关键点点睛：本题考查数列的递推公式，解题关键是利用递推公
10、式求数列的项，对数列的项进行变形如BD在变形以最后一项时要注意是哪一项11AB根据椭圆的定义结合已知条件求出，再根据椭圆的几何性质即可解出.由椭圆定义，由椭圆的几何性质，又e1，.故选：AB.12ABD对于A，取的中点分别为，由条件确定的轨迹，结合锥体体积公式判断A，对于B，由条件确定的轨迹为，将原问题转化为平面上两点间的距离最小问题求解；对于C，由三角形外心的性质和向量数量积的性质可判断，对于D，由条件确定点的轨迹为圆弧，利用弧长公式求轨迹长度即可判断.对于A，取的中点分别为，连接，则，因为，所以，所以三点共线，所以点在，因为，所以,平面，平面，所以平面，所以点到平面的距离为定值，因为的面积
11、为定值，所以四面体的体积为定值，所以A正确，对于B，因为，因为平面，平面，所以平面，又平面，平面，所以平面平面，取的中点，连接，则，所以，所以四点共面，所以平面平面，平面平面,平面平面,所以，又，所以，所以点的轨迹为线段，翻折平面，使其与五边形在同一平面，如图，则，当且仅当三点共线时等号成立，所以的最小值为，因为，所以，所以，在中，所以，所以，所以，在中，所以，所以，即的最小值为，所以B正确，对于C，若的外心为，过作于，因为，所以，所以C错误，对于D，过作，垂足为，因为平面，平面，所以，因为，平面，所以平面，因为平面，所以，又在中，所以， 在中，所以，则在以为圆心，2为半径的圆上运动，在上取点
12、，使得，则，所以点的轨迹为圆弧，因为，所以，则圆弧等于，所以D正确，故选：ABD.本题解决的关键在于根据所给条件结合线面位置关系确定点的轨迹，再结合锥体体积公式，空间图形与平面图形的转化解决问题.13先计算、的坐标，利用空间向量共线定理即可求解.因为，所以，因为空间三点，在一条直线上，所以，即解得，所以实数的值是，故答案为：.14根据导数的几何意义，结合函数图像，确定的值，根据，对求导，即可求解.由图像可知，切线过、，求导故答案为：导数的几何意义：函数在某一点处的导数等于在这一点处的切线的斜率.15设点在第一象限，由对称性可知，利用锐角三角函数的定义可得出，从而可求出点的坐标，并将点的坐标代入
13、椭圆的方程，可得出与的等量关系，即可求出椭圆的离心率.不妨设点在第一象限，为坐标原点，由对称性可得，则在中，故，设点，则，即点，将点的坐标代入椭圆的方程得，可得，设椭圆的焦距为，则椭圆的离心率为.故答案为：.本题考查椭圆离心率的计算，解题的关键就是求出椭圆上的某一点，通过将点的坐标代入椭圆方程来求出椭圆的离心率，考查运算求解能力，属于中等题.16 1 506当时，化简方程，通过构造函数的方法，找到函数零点的范围，进而可求得，令，化简方程，通过构造函数的方法，找到函数零点的范围，即得的范围，分类讨论为奇数和偶数时的，从而可得出答案.解：当时，即，令，因为函数在上都是增函数，所以函数在上都是增函数
14、，又，所以函数在存在唯一零点，即，则，所以，方程，即为，即为，令，则，则有，令，则函数在上递增，因为，所以，使得，当时，则，当时，则，当时，所以.故答案为：1；506.本题考查了方程的根与函数的零点的问题，考查了数列新定义及数列求和的问题，综合性很强，对逻辑推理能力和数据分析能力要求很高，考查了分类讨论思想，难度很大.17由题，求出，结合均值不等式讨论的值域，即可求得的范围，即可进一步求得的取值范围函数的导数为因为，所以，所以，即；因为，所以，即18（1）或 ；（2）.（1）先将函数解析式化为，分别讨论，三种情况，即可得出结果；（2）先由（1）得到，得出3a4b5=0，根据的几何意义，即可求出
15、结果.本题考查绝对值不等式的解法和点到直线的距离公式，考查分类讨论思想和转化思想.（1）.由，可得，或，或，解得或或.所以不等式的解集为或 （2）由（1）易求得，即.所以，即.表示点与点的距离的平方.又点在直线上.因为点到直线的距离，所以的最小值为.本题考查绝对值不等式的解法和点到直线的距离公式，考查分类讨论思想和转化思想,属于中档题.19（1）证明见详解；（2）（1）以为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，求出向量的坐标和平面的一个法向量，由数量积为零即可证明结论；（2）首先求得平面ADC1与平面ABA1的法向量，利用法向量的夹角求得二面角（1）依题意得，以为坐标原点，建立如图所示的空间
16、直角坐标系Axyz，则A(0,0,0)，B(2,0,0)，C(0，2,0)，D(1,1,0)，A1(0,0,4)，C1(0,2,4)，所以(2,0，4), 设平面ADC1的法向量为，因为(1,1,0)，(0,2,4)，所以0，0，即xy0且y2z0，取z1，得x2，y2，所以，(2，2,1)是平面ADC1的一个法向量,因为，且平面所以；（2）取平面ABA1的一个法向量为，设平面ADC1与平面ABA1所成二面角的大小为，由|cos|，因此平面与平面所成的锐二面角的余弦值为本题的核心在考查空间向量的应用，需要注意以下问题：(1)一是两平面的法向量的夹角不一定是所求的二面角，二是利用方程思想进行向量
17、运算，要认真细心，准确计算；(2)设分别为平面，的法向量，则二面角与互补或相等，求解时一定要注意结合实际图形判断所求角是锐角还是钝角20(1)61；(2)；(3)见解析（1）根据列举法找规律，得到的值；（2）同样根据列举法找规律 ，根据累加法得到的表达式；（3）根据（2）的结果，代入可得，利用累加法求和，再根据数列的单调性证明不等式.（1），.（2），由上式规律得出（3）证明：当时，.，命题成立.21（1）；（2）（1）首先求焦点坐标，再利用双曲线的定义，求双曲线方程；（2）结合余弦定理和双曲线的定义，求.（1）由椭圆方程可知，, ，双曲线的方程；（2）设点在双曲线的右支上，并且设，变形为，22(1)(2)（1）先求导，再求出与，再由点斜式求解即可；（2），都有，则成立，用导数法分别研究即可求解(1)当时，切点为，切线斜率，切线方程为(2)，当时，单调递增，令，在上单调递增，且，使得，即，也即令，显然时，单调递增，即当时，单调递减，当时，单调递增，都有，得，故实数的取值范围为
