1、课时作业61最值与范围问题一、选择题1设双曲线1的左、右焦点分别为F1,F2,过F1的直线l交双曲线的左支于A,B两点,则|BF2|AF2|的最小值为()A6B9C11D15解析:由题意,得|BF2|AF2|8|AF1|BF1|8|AB|,显然,|AB|min23,故(|BF2|AF2|)min11.答案:C2已知直线l1:4x3y60和直线l2:x1,抛物线y24x上一动点P到直线l1与直线l2的距离之和的最小值是()A2B3C.D.解析:直线l2:x1为抛物线y24x的准线,由抛物线的定义知,P到l2的距离等于P到抛物线的焦点F(1,0)的距离,故本题转化为在抛物线y24x上找一个点P,使
2、得P到点F(1,0)与直线l1的距离之和最小,最小值为点F(1,0)到直线l1:4x3y60的距离,即d2.答案:A3已知P是椭圆1上的动点(除顶点外),F1,F2为椭圆的两个焦点,O是坐标原点若M是F1PF2的角平分线上一点,且F1MMP0,则|OM|的取值范围是()A(0,3)B(0,2)C(2,3)D(0,4)解析:延长PF2,交F1M的延长线于点N,由题意可知,|OM|F2N|(|PF1|PF2|)|PF1|4.又|PF1|(42,42),|OM|(0,2)答案:B4若点O和点F分别为椭圆1的中心和左焦点,且P为椭圆上任意一点,则OPFP的最大值为()A2B3C6D8解析:由题意,F(
3、1,0),设点P(x0,y0),则有1,得y3.因为FP(x01,y0),OP(x0,y0),所以OPFPx0(x01)yx0(x01)3x03(x02)22.因为2x02,所以当x02时,OPFP取得最大值6.答案:C5若过抛物线y24x的焦点F的直线交抛物线于A,B两点,O是坐标原点,则|AF|BF|的最小值是()A2B.C4D2解析:设直线AB的倾斜角为,不妨设A点在x轴的上方,可得|AF|,|BF|,则|AF|BF|4.答案:C6抛物线y24x的焦点为F,P(x,y)为该抛物线上的动点,且点A(1,0),则的最小值是()A.B.C.D.解析:依题意知x0,焦点F(1,0),则|PF|x
4、1,|PA|.当x0时,1;当x0时,1b0)的左、右顶点,若在椭圆上存在异于点A1,A2的点P,使得POPA2,其中O为坐标原点,则椭圆的离心率e的取值范围是_解析:由题设知OPA290,设P(x,y)(x0),以OA2为直径的圆的方程为y2,与椭圆方程联立,得x2axb20.易知此方程有一实根a,且由题设知,此方程在区间(0,a)上有一实根,由此得0a,化简得01,即01,得e2b0)的离心率为,F是椭圆E的右焦点,直线AF的斜率为,O为坐标原点(1)求E的方程;(2)设过点A的动直线l与E相交于P,Q两点当OPQ的面积最大时,求l的方程解:(1)设F(c,0),由条件知,得c.又,所以a
5、2,b2a2c21.故E的方程为y21.(2)由lx轴时不合题意,故设l:ykx2,P(x1,y1),Q(x2,y2)将ykx2代入y21.得(14k2)x216kx120.当16(4k23)0,即k2时,x1,2.从而|PQ|x1x2|.又点O到直线PQ的距离d.所以OPQ的面积SOPQd|PQ|.设t,则t0,SOPQ.因为t4,当且仅当t2,即k时等号成立,且满足0.所以,当OPQ的面积最大时,l的方程为yx2或yx2.11已知中心在坐标原点,焦点在x轴上的椭圆过点P(2,),且它的离心率e.(1)求椭圆的标准方程;(2)与圆(x1)2y21相切的直线l:ykxt交椭圆于M,N两点,若椭
6、圆上一点C满足OMONOC,求实数的取值范围解:(1)设椭圆的标准方程为1(ab0),由已知得:解得所以椭圆的标准方程为:1.(2)因为直线l:ykxt与圆(x1)2y21相切,所以12k(t0),把ykxt代入1并整理得:(34k2)x28ktx(4t224)0,设M(x1,y1),N(x2,y2),则有x1x2,y1y2kx1tkx2tk(x1x2)2t,因为OC(x1x2,y1y2)所以C.又因为点C在椭圆上,所以,12.因为t20,所以11,所以020时,令A(x1,y1),B(x2,y2),则x1x22(b2),x1x2b2,y1y2(x1x2)2b2(b2)2b4,因为PAB重心的
7、纵坐标为,所以y1y2yp2,所以yp2,xp1k1k2(y12)(x21)(y22)(x11)x1(b2)(x21)x2(b2)(x11)2x1x2(b1)(x1x2)2(b2)2b22(b1)(b2)2(b2)0所以k1k20.(2),由16(b1)0,得b1,又l不过P点,则b3.令tb3,则t2且t6.当t,即t2,b23时,的最大值为.2已知椭圆1(ab0)的左、右焦点分别是点F1、F2,其离心率e,点P为椭圆上的一个动点,PF1F2内切圆面积的最大值为.(1)求a、b的值;(2)若A、B、C、D是椭圆上不重合的四个点,且满足F1AF1C,F1BF1D,ACBD0,求|AC|BD|的
8、取值范围解:(1)由题意得,当点P是椭圆的上、下顶点时,PF1F2内切圆面积取最大值,设此时PF1F2内切圆半径为r,则r2,r.此时SPF1F2|F1F2|OP|bc ,又SPF1F2(|F1F2|F1P|F2P|)r(ac),bc(ac),e,a2c,b2,a4.(2)F1AF1C,F1BF1D,ACBD0,直线AC与BD垂直相交于点F1,由(1)得椭圆的方程为1,则F1的坐标为(2,0),当直线AC与BD中有一条直线斜率不存在时,易得|AC|BD|6814,当直线AC的斜率k存在且k0时,其方程为yk(x2),设A(x1,y1),C(x2,y2),联立消去y,得(34k2)x216k2x16k2480,|AC|x1x2|,此时直线BD的方程为y(x2)同理,由,可得|BD|,|AC|BD|,令tk21(k0),则t1,|AC|BD|,t1,0,|AC|BD|.由可知,|AC|BD|的取值范围是.