1、课时作业61最值与范围问题一、选择题1设双曲线1的左、右焦点分别为F1，F2，过F1的直线l交双曲线的左支于A，B两点，则|BF2|AF2|的最小值为()A6B9C11D15解析：由题意，得|BF2|AF2|8|AF1|BF1|8|AB|，显然，|AB|min23，故(|BF2|AF2|)min11.答案：C2已知直线l1：4x3y60和直线l2：x1，抛物线y24x上一动点P到直线l1与直线l2的距离之和的最小值是()A2B3C.D.解析：直线l2：x1为抛物线y24x的准线，由抛物线的定义知，P到l2的距离等于P到抛物线的焦点F(1，0)的距离，故本题转化为在抛物线y24x上找一个点P，使
2、得P到点F(1，0)与直线l1的距离之和最小，最小值为点F(1，0)到直线l1：4x3y60的距离，即d2.答案：A3已知P是椭圆1上的动点(除顶点外)，F1，F2为椭圆的两个焦点，O是坐标原点若M是F1PF2的角平分线上一点，且F1MMP0，则|OM|的取值范围是()A(0，3)B(0，2)C(2，3)D(0，4)解析：延长PF2，交F1M的延长线于点N，由题意可知，|OM|F2N|(|PF1|PF2|)|PF1|4.又|PF1|(42，42)，|OM|(0，2)答案：B4若点O和点F分别为椭圆1的中心和左焦点，且P为椭圆上任意一点，则OPFP的最大值为()A2B3C6D8解析：由题意，F(
3、1，0)，设点P(x0，y0)，则有1，得y3.因为FP(x01，y0)，OP(x0，y0)，所以OPFPx0(x01)yx0(x01)3x03(x02)22.因为2x02，所以当x02时，OPFP取得最大值6.答案：C5若过抛物线y24x的焦点F的直线交抛物线于A，B两点，O是坐标原点，则|AF|BF|的最小值是()A2B.C4D2解析：设直线AB的倾斜角为，不妨设A点在x轴的上方，可得|AF|，|BF|，则|AF|BF|4.答案：C6抛物线y24x的焦点为F，P(x，y)为该抛物线上的动点，且点A(1，0)，则的最小值是()A.B.C.D.解析：依题意知x0，焦点F(1，0)，则|PF|x
4、1，|PA|.当x0时，1；当x0时，1b0)的左、右顶点，若在椭圆上存在异于点A1，A2的点P，使得POPA2，其中O为坐标原点，则椭圆的离心率e的取值范围是_解析：由题设知OPA290，设P(x，y)(x0)，以OA2为直径的圆的方程为y2，与椭圆方程联立，得x2axb20.易知此方程有一实根a，且由题设知，此方程在区间(0，a)上有一实根，由此得0a，化简得01，即01，得e2b0)的离心率为，F是椭圆E的右焦点，直线AF的斜率为，O为坐标原点(1)求E的方程；(2)设过点A的动直线l与E相交于P，Q两点当OPQ的面积最大时，求l的方程解：(1)设F(c，0)，由条件知，得c.又，所以a
5、2，b2a2c21.故E的方程为y21.(2)由lx轴时不合题意，故设l：ykx2，P(x1，y1)，Q(x2，y2)将ykx2代入y21.得(14k2)x216kx120.当16(4k23)0，即k2时，x1，2.从而|PQ|x1x2|.又点O到直线PQ的距离d.所以OPQ的面积SOPQd|PQ|.设t，则t0，SOPQ.因为t4，当且仅当t2，即k时等号成立，且满足0.所以，当OPQ的面积最大时，l的方程为yx2或yx2.11已知中心在坐标原点，焦点在x轴上的椭圆过点P(2，)，且它的离心率e.(1)求椭圆的标准方程；(2)与圆(x1)2y21相切的直线l：ykxt交椭圆于M，N两点，若椭
6、圆上一点C满足OMONOC，求实数的取值范围解：(1)设椭圆的标准方程为1(ab0)，由已知得：解得所以椭圆的标准方程为：1.(2)因为直线l：ykxt与圆(x1)2y21相切，所以12k(t0)，把ykxt代入1并整理得：(34k2)x28ktx(4t224)0，设M(x1，y1)，N(x2，y2)，则有x1x2，y1y2kx1tkx2tk(x1x2)2t，因为OC(x1x2，y1y2)所以C.又因为点C在椭圆上，所以，12.因为t20，所以11，所以020时，令A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1x22(b2)，x1x2b2，y1y2(x1x2)2b2(b2)2b4，因为PAB重心的
7、纵坐标为，所以y1y2yp2，所以yp2，xp1k1k2(y12)(x21)(y22)(x11)x1(b2)(x21)x2(b2)(x11)2x1x2(b1)(x1x2)2(b2)2b22(b1)(b2)2(b2)0所以k1k20.(2)，由16(b1)0，得b1，又l不过P点，则b3.令tb3，则t2且t6.当t，即t2，b23时，的最大值为.2已知椭圆1(ab0)的左、右焦点分别是点F1、F2，其离心率e，点P为椭圆上的一个动点，PF1F2内切圆面积的最大值为.(1)求a、b的值；(2)若A、B、C、D是椭圆上不重合的四个点，且满足F1AF1C，F1BF1D，ACBD0，求|AC|BD|的
8、取值范围解：(1)由题意得，当点P是椭圆的上、下顶点时，PF1F2内切圆面积取最大值，设此时PF1F2内切圆半径为r，则r2，r.此时SPF1F2|F1F2|OP|bc ，又SPF1F2(|F1F2|F1P|F2P|)r(ac)，bc(ac)，e，a2c，b2，a4.(2)F1AF1C，F1BF1D，ACBD0，直线AC与BD垂直相交于点F1，由(1)得椭圆的方程为1，则F1的坐标为(2，0)，当直线AC与BD中有一条直线斜率不存在时，易得|AC|BD|6814，当直线AC的斜率k存在且k0时，其方程为yk(x2)，设A(x1，y1)，C(x2，y2)，联立消去y，得(34k2)x216k2x16k2480，|AC|x1x2|，此时直线BD的方程为y(x2)同理，由，可得|BD|，|AC|BD|，令tk21(k0)，则t1，|AC|BD|，t1，0，|AC|BD|.由可知，|AC|BD|的取值范围是.