1、n次独立重复试验与二项分布考试要求1.了解条件概率的概念，了解两个事件相互独立的概念.2.理解n次独立重复试验的模型及二项分布，并能解决一些简单问题1条件概率条件概率的定义条件概率的性质设A，B为两个事件，且P(A)0，称P(B|A)为在事件A发生的条件下，事件B发生的条件概率(1)0P(B|A)1；(2)如果B和C是两个互斥事件，则P(BC|A)P(B|A)P(C|A)2.事件的相互独立性(1)定义：设A，B为两个事件，如果P(AB)P(A)P(B)，则称事件A与事件B相互独立(2)性质：若事件A与B相互独立，则P(B|A)P(B)，P(A|B)P(A)如果事件A与B相互独立，那么A与，与B
2、，与也相互独立3独立重复试验与二项分布(1)独立重复试验在相同条件下重复做的n次试验称为n次独立重复试验，其中Ai(i1,2，n)是第i次试验结果，则P(A1A2A3An)P(A1)P(A2)P(A3)P(An)(2)二项分布在n次独立重复试验中，用X表示事件A发生的次数，设每次试验中事件A发生的概率为p，则P(Xk)Cpk(1p)nk(k0,1,2，n)，此时称随机变量X服从二项分布，记作XB(n，p)，并称p为成功概率牢记并理解事件中常见词语的含义(1)A，B中至少有一个发生的事件为AB；(2)A，B都发生的事件为AB；(3)A，B都不发生的事件为；(4)A，B恰有一个发生的事件为AB；(
3、5)A，B至多一个发生的事件为AB.一、易错易误辨析(正确的打“”，错误的打“”)(1)相互独立事件就是互斥事件()(2)若事件A，B相互独立，则P(B|A)P(B)()(3)公式P(AB)P(A)P(B)对任意两个事件都成立()(4)二项分布是一个概率分布列，是一个用公式P(Xk)Cpk(1p)nk，k0,1,2，n表示的概率分布列，它表示了n次独立重复试验中事件A发生的次数的概率分布()答案(1)(2)(3)(4)二、教材习题衍生1在5道题中有3道理科题和2道文科题如果不放回地依次抽取2道题，则在第1次抽到文科题的条件下，第2次抽到理科题的概率为()A B C DD根据题意，在第1次抽到文
4、科题后，还剩4道题，其中有3道理科题，则第2次抽到理科题的概率P，故选D2两个实习生每人加工一个零件，加工成一等品的概率分别为和，两个零件中能否被加工成一等品相互独立，则这两个零件中恰好有一个一等品的概率为()A B C DB因为两人加工成一等品的概率分别为和，且相互独立，所以两个零件中恰好有一个一等品的概率P.3如果某一批玉米种子中，每粒发芽的概率均为，那么播下5粒这样的种子，恰有2粒不发芽的概率是()A B C DA用X表示发芽的粒数，则XB，则P(X3)C3，故播下5粒这样的种子，恰有2粒不发芽的概率为.4一批产品的二等品率为0.02，从这批产品中每次随机抽取一件，有放回地抽取100次，
5、X表示抽到的二等品的件数，则X服从二项分布，记作 XB(100,0.02)根据题意，XB(100,0.02) 考点一条件概率 求条件概率的两种方法(1)利用定义，分别求P(A)和P(AB)，得P(B|A)，这是求条件概率的通法(2)借助古典概型概率公式，先求事件A包含的基本事件数n(A)，再求事件A与事件B的交事件中包含的基本事件数n(AB)，得P(B|A).1从1,2,3,4,5中任取2个不同的数，事件A“取到的2个数之和为偶数”，事件B“取到的2个数均为偶数”，则P(B|A)()ABCDB法一(直接法)：P(A)，P(AB).由条件概率计算公式，得P(B|A).法二(缩小样本空间法)：事件
6、A包括的基本事件：(1,3)，(1,5)，(3,5)，(2,4)共4个事件AB发生的结果只有(2,4)一种情形，即n(AB)1.故由古典概型概率P(B|A).2有一批种子的发芽率为0.9，出芽后的幼苗成活率为0.8，在这批种子中，随机抽取一粒，则这粒种子能成长为幼苗的概率为 0.72设“种子发芽”为事件A，“种子成长为幼苗”为事件AB(发芽，又成活为幼苗)出芽后的幼苗成活率为P(B|A)0.8，P(A)0.9，根据条件概率公式得P(AB)P(B|A)P(A)0.80.90.72，即这粒种子能成长为幼苗的概率为0.72.3一个正方形被平均分成9个部分，向大正方形区域随机地投掷一个点(每次都能投中
7、)设投中最左侧3个小正方形区域的事件记为A，投中最上面3个小正方形或正中间的1个小正方形区域的事件记为B，则P(AB) ，P(A|B) .如图，n()9，n(A)3，n(B)4，n(AB)1，P(AB)，P(A|B).点评：判断所求概率为条件概率的主要依据是题目中的“已知”“在前提下(条件下)”等字眼第3题中没有出现上述字眼，但已知事件的发生影响了所求事件的概率，也认为是条件概率问题运用P(AB)P(B|A)P(A)，求条件概率的关键是求出P(A)和P(AB)，要注意结合题目的具体情况进行分析 考点二相互独立事件的概率 求相互独立事件同时发生的概率的方法(1)首先判断几个事件的发生是否相互独立
8、(2)求相互独立事件同时发生的概率的方法主要有：利用相互独立事件的概率乘法公式直接求解正面计算较繁或难以入手时，可从其对立事件入手计算 典例1(1)天气预报在元旦假期甲地的降雨概率是0.2，乙地的降雨概率是0.3.假设在这段时间内两地是否降雨相互之间没有影响，则这两地中恰有一个地方降雨的概率为()A0.2 B0.3 C0.38 D0.56(2)某乒乓球俱乐部派甲、乙、丙三名运动员参加某运动会的单打资格选拔赛，本次选拔赛只有出线和未出线两种情况规定一名运动员出线记1分，未出线记0分假设甲、乙、丙出线的概率分别为，他们出线与未出线是相互独立的求在这次选拔赛中，这三名运动员至少有一名出线的概率；记在
9、这次选拔赛中，甲、乙、丙三名运动员的得分之和为随机变量，求随机变量的分布列(1)C设甲地降雨为事件A，乙地降雨为事件B，则两地恰有一地降雨为AB，P(AB)P(A)P(B)P(A)P()P()P(B)0.20.70.80.30.38.(2)解记“甲出线”为事件A，“乙出线”为事件B，“丙出线”为事件C，“甲、乙、丙至少有一名出线”为事件D，则P(D)1P( )1.由题意可得，的所有可能取值为0,1,2,3，则P(0)P( )；P(1)P( )P( )P( )；P(2)P(AB)P(AC)P(BC)；P(3)P(ABC).所以的分布列为0123P点评：含有“恰好、至多、至少”等关键词的问题，求解
10、的关键在于正确分析所求事件的构成，将其转化为彼此互斥事件的和或相互独立事件的积，然后利用相关公式进行计算(2020全国卷)甲、乙、丙三位同学进行羽毛球比赛，约定赛制如下：累计负两场者被淘汰；比赛前抽签决定首先比赛的两人，另一人轮空；每场比赛的胜者与轮空者进行下一场比赛，负者下一场轮空，直至有一人被淘汰；当一人被淘汰后，剩余的两人继续比赛，直至其中一人被淘汰，另一人最终获胜，比赛结束经抽签，甲、乙首先比赛，丙轮空设每场比赛双方获胜的概率都为.(1)求甲连胜四场的概率；(2)求需要进行第五场比赛的概率；(3)求丙最终获胜的概率解(1)甲连胜四场的概率为.(2)根据赛制，至少需要进行四场比赛，至多需
11、要进行五场比赛比赛四场结束，共有三种情况：甲连胜四场的概率为；乙连胜四场的概率为；丙上场后连胜三场的概率为.所以需要进行第五场比赛的概率为1.(3)丙最终获胜，有两种情况：比赛四场结束且丙最终获胜的概率为；比赛五场结束且丙最终获胜，则从第二场开始的四场比赛按照丙的胜、负、轮空结果有三种情况：胜胜负胜，胜负空胜，负空胜胜，概率分别为，.因此丙最终获胜的概率为. 考点三独立重复试验与二项分布 二项分布的实际应用问题，主要是指与独立重复试验中的概率计算和离散型随机变量的分布列、期望及方差的求解等有关的问题解题的关键如下：定型，“独立”“重复”是二项分布的基本特征，“每次试验事件发生的概率都相等”是二
12、项分布的本质特征判断随机变量是否服从二项分布，要看在一次试验中是否只有两种试验结果，且两种试验结果发生的概率分别为p,1p，还要看是否为n次独立重复试验，随机变量是否为某事件在这n次独立重复试验中发生的次数定参，确定二项分布中的两个参数n和p，即试验发生的次数和试验中事件发生的概率列表，根据离散型随机变量的取值及其对应的概率，列出分布列求值，根据离散型随机变量的期望和方差公式，代入相应数据求值相关公式：已知XB(n，p)，则P(Xk)Cpk(1p)nk(k0,1,2，n)，E(X)np，D(X)np(1p)独立重复试验的概率典例21(1)位于坐标原点的一个质点P按下述规则移动：质点每次移动一个
13、单位，移动的方向为向上或向右，并且向上、向右移动的概率都是.质点P移动五次后位于点(2,3)的概率是 (2)某射手每次射击击中目标的概率是，且各次射击的结果互不影响假设这名射手射击5次，求恰有2次击中目标的概率；假设这名射手射击5次，求有3次连续击中目标，另外2次未击中目标的概率；假设这名射手射击3次，每次射击，击中目标得1分，未击中目标得0分在3次射击中，若有2次连续击中，而另外1次未击中，则额外加1分；若3次全击中，则额外加3分记为射手射击3次后的总分数，求的分布列(1)由于质点每次移动一个单位，移动的方向为向上或向右，移动五次后位于点(2,3)，所以质点P必须向右移动两次，向上移动三次，
14、故其概率为CC.(2)解设X为射手在5次射击中击中目标的次数，则XB.在5次射击中，恰有2次击中目标的概率为P(X2)C.设“第i次射击击中目标”为事件Ai(i1,2,3,4,5)，“射手在5次射击中，有3次连续击中目标，另外2次未击中目标”为事件A，则P(A)P(A1A2A345)P(1A2A3A45)P(12A3A4A5).设“第i次射击击中目标”为事件Ai(i1,2,3)由题意可知，的所有可能取值为0,1,2,3,6.P(0)P(123)；P(1)P(A123)P(1A23)P(12A3)；P(2)P(A12A3)；P(3)P(A1A23)P(1A2A3)；P(6)P(A1A2A3).所
15、以的分布列是01236P点评：在求解过程中，本例(2)中常因注意不到题设条件 “有3次连续击中目标，另外2次未击中目标”，盲目套用公式致误；本例(2)中常因对的取值不明，导致事件概率计算错误 二项分布典例22某食品厂为了检查一条自动包装流水线的生产情况，随机抽取该流水线上的40件产品作为样本称出它们的质量(单位：克)，质量的分组区间为(490,495，(495,500，(510,515由此得到样本的频率分布直方图(如图)(1)根据频率分布直方图，求质量超过505克的产品数量；(2)在上述抽取的40件产品中任取2件，设X为质量超过505克的产品数量，求X的分布列；(3)从该流水线上任取2件产品，
16、设Y为质量超过505克的产品数量，求Y的分布列解(1)质量超过505克的产品的频率为50.0550.010.3，所以质量超过505克的产品数量为400.312(件)(2)质量超过505的产品数量为12件，则质量未超过505克的产品数量为28件，X的取值为0,1,2，X服从超几何分布P(X0)，P(X1)，P(X2)，X的分布列为X012P(3)根据样本估计总体的思想，取一件产品，该产品的质量超过505克的概率为.从流水线上任取2件产品互不影响，该问题可看成2次独立重复试验，质量超过505克的件数Y的可能取值为0,1,2，且YB，P(Yk)C ，所以P(Y0)C，P(Y1)C，P(Y2)C.Y的
17、分布列为Y012P点评：(1)注意随机变量满足二项分布的关键词：视频率为概率；人数很多、数量很大等(2)求概率的过程，就是求排列数与组合数的过程，而在解决具体问题时要做到：分清判断事件的运算即是至少有一个发生，还是同时发生，分别运用相加或相乘事件1袋子中有1个白球和2个红球(1)每次取1个球，不放回，直到取到白球为止，求取球次数X的分布列；(2)每次取1个球，有放回，直到取到白球为止，但抽取次数不超过5次，求取球次数X的分布列；(3)每次取1个球，有放回，共取5次，求取到白球次数X的分布列解(1)X可能取值1,2,3.P(X1)，P(X2)，P(X3).所以X分布列为X123P(2)X可能取值
18、为1,2,3,4,5.P(Xk)，k1,2,3,4，P(X5).故X分布列为X12345P(3)因为XB，P(Xk)C ，k0,1,2,3,4,5.所以X的分布列为X012345P2.某学校用“10分制”调查本校学生对教师教学的满意度，现从学生中随机抽取16名，以茎叶图记录了他们对该校教师教学满意度的分数(以小数点前的一位数字为茎，小数点后的一位数字为叶)：(1)若教学满意度不低于9.5分，则称该生对教师的教学满意度为“极满意”求从这16人中随机选取3人，至少有1人是“极满意”的概率；(2)以这16人的样本数据来估计整个学校的总体数据，若从该校所有学生中(学生人数很多)任选3人，记X表示抽到“极满意”的人数，求X的分布列及数学期望解(1)设Ai表示所抽取的3人中有i个人是“极满意”，至少有1人是“极满意”记为事件A，则P(A)1P(A0)1.(2)X的所有可能取值为0,1,2,3，由已知得XB，P(X0)，P(X1)C，P(X2)C，P(X3).X的分布列为X0123PE(X)3.
