1、第二章 函数、导数及其应用第6节 二次函数与幂函数考纲了然于胸1了解幂函数的概念2结合函数 yx，yx2，yx3，y1x，yx12 的图象，了解它们的变化情况3理解并掌握二次函数的定义、图象及性质4能用二次函数、方程、不等式之间的关系解决简单问题要点梳理 1二次函数(1)定义函数_叫做二次函数(2)表示形式一般式：y_；顶点式：y_，其中_为抛物线顶点坐标；零点式：ya(xx1)(xx2)(a0)，其中x1、x2是抛物线与x轴交点的横坐标yax2bxc(a0)ax2bxc(a0)a(xh)2k(a0)(h，k)(3)图象与性质2.幂函数(1)幂函数的概念形如_的函数称为幂函数，其中x是_，为_
2、.自变量常数yx(R)(2)常见幂函数的图象与性质质疑探究：幂函数图象均过定点(1,1)吗？提示：是，根据定义 yx，当 x1 时 y1，无论 为何值，11.1.小题查验1给出下列命题：函数 y2x 是幂函数如果幂函数的图象与坐标轴相交，则交点一定是原点当 n0 时，幂函数 yxn 是定义域上的减函数二次函数yax2bxc，xm，n的最值一定是4acb24a.关于 x 的不等式 ax2bxc0 恒成立的充要条件是a0，b24ac0.其中正确的是()ABCD解析 错误，不符合幂函数的定义正确，因若相交，则 x0 得 y0；若 y0，则得 x0.错误，幂函数 yx1 在定义域上不单调错误，当 b2
3、am，n时，二次函数的最值，在区间端点达到，而非4acb24a.错误，由 ax2bxc0 恒成立不一定有a0，b24ac0，因为 a 可以为 0.答案 B2下面给出 4 个幂函数的图象，则图象与函数的大致对应是()Ayx13，yx2，yx12，yx1Byx3，yx2，yx12，yx1Cyx2，yx3，yx12，yx1Dyx13，yx12，yx2，yx1解析 图象对应的幂函数的幂指数必然大于 1，排除A，D.图象中幂函数是偶函数，幂指数必为正偶数，排除 C.故选 B.答案 B3(2016昆明模拟)设函数 f(x)ax2bxc(a，b，cR)，若 ac，则函数 f(x)的图象不可能是()解析 由
4、A，B，C，D 四个选项知，图象与 x 轴均有交点，记两个交点的横坐标分别为 x1，x2，若只有一个交点，则x1x2，由于 ac，所以 x1x2ca1，比较四个选项，可知选项D 的 x11，x21，所以 D 不满足故选 D.答案 D4若幂函数的图象不经过原点，则实数 m 的值为_解析 由m23m31m2m20，解得 m1 或 2.经检验 m1 或 2 都适合答案 1 或 25函数 y2x26x3，x1,1，则 y 的最小值是_解析 函数 y2x26x3 的图象的对称轴为 x321，函数 y2x26x3 在 x1,1上为单调递减函数，ymin2631.答案 1考点一 幂函数的图象与性质(基础型考
5、点自主练透)方法链接幂函数的图象特征(1)对于幂函数图象的掌握只要抓住在第一象限内三条线分第一象限为六个区域，即 x1，y1，yx 分区域根据 a0,0a1，a1，a1 的取值确定位置后，其余象限部分由奇偶性决定(2)在比较幂值的大小时，必须结合幂值的特点，选择适当的函数，借助其单调性进行比较题组集训1幂函数 yf(x)的图象过点(4,2)，则幂函数 yf(x)的图象是()解析 选 C 令 f(x)xa，则 4a2，a12，f(x)x12.答案 C2已知幂函数 f(x)(n22n2)xn23n(nZ)的图象关于y 轴对称，且在(0，)上是减函数，则 n 的值为()A3 B1C2 D1 或 2解
6、析 选 B 由于 f(x)为幂函数，所以 n22n21，解得 n1 或 n3，经检验只有 n1 适合题意，故选 B.答案 B3(2015山西太原模拟)当 0 x1 时，f(x)x2，g(x)x12，h(x)x2，则 f(x)，g(x)，h(x)的大小关系是_解析 分别作出 f(x)，g(x)，h(x)的图象，如图所示可知 h(x)g(x)f(x)答案 h(x)(x)f(x)4(2016江西临川模拟)已知幂函数(mN*)的图象与 x 轴、y 轴无交点且关于原点对称，则 m_.解析 由题意知 m22m3 为奇数且 m22m30，由m22m30 解得1m3，又 mN*，m1,2.当 m1 时，m22
7、m34(舍去)；当 m2 时，m22m33，m2.答案 25(2016安庆三模)若(a1)13(32a)13，则实数 a 的取值范围是_解析 不等式(a1)13(32a)13 等价于 a132a0 或 32aa10 或 a1032a.解得 a1 或23a32.答案(，1)23，32考点二 求二次函数的解析式(重点型考点师生共研)【例】已知二次函数 f(x)满足 f(2)1，f(1)1，且 f(x)的最大值是 8，试确定此二次函数的解析式解 法一(利用一般式)：设 f(x)ax2bxc(a0)由题意得4a2bc1，abc1，4acb24a8，解得a4，b4，c7.所求二次函数的解析式为 f(x)
8、4x24x7.法二(利用顶点式)：设 f(x)a(xm)2n.f(2)f(1)，抛物线的对称轴为 x21212.m12.又根据题意函数有最大值 8，n8.yf(x)ax1228.f(2)1，a212281，解得 a4，f(x)4x12284x24x7.法三(利用零点式)：由已知 f(x)10 两根为 x12，x21，故可设 f(x)1a(x2)(x1)，即 f(x)ax2ax2a1.又函数有最大值 ymax8，即4a2a1a24a8.解得 a4 或 a0(舍)所求函数的解析式为 f(x)4x24x7.【名师说“法”】二次函数解析式的求法根据已知条件确定二次函数解析式，一般用待定系数法，选择规律
9、如下：(1)已知三个点坐标，宜选用一般式；(2)已知顶点坐标、对称轴、最大(小)值等，宜选用顶点式；(3)已知图象与x轴两交点坐标，宜选用零点式跟踪训练已知二次函数 f(x)的图象经过点(4,3)，它在 x 轴上截得的线段长为 2，并且对任意 xR，都有 f(2x)f(2x)，求 f(x)的解析式解 f(2x)f(2x)对 xR 恒成立，f(x)的对称轴为 x2.又f(x)图象被 x 轴截得的线段长为 2，f(x)0 的两根为 1 和 3.设 f(x)的解析式为 f(x)a(x1)(x3)(a0)又f(x)的图象过点(4,3)，3a3，a1.所求 f(x)的解析式为 f(x)(x1)(x3)，
10、即 f(x)x24x3.考点三 二次函数的图象与性质(高频型考点全面发掘)考情聚焦二次函数的图象与性质与一元二次方程、一元二次不等式等知识交汇命题是高考考查频率非常高的一个热点，考查求解一元二次不等式、一元二次不等式恒成立及一元二次方程根的分布等问题归纳起来常见的命题角度有：(1)二次函数的最值问题；(2)二次函数中恒成立问题；(3)二次函数的零点问题角度一 二次函数的最值问题1已知函数 f(x)x22ax1a 在 x0,1时，有最大值 2，求 a 的值解 函数 f(x)x22ax1a(xa)2a2a1，对称轴方程为 xa.当 a0 时，f(x)maxf(0)1a，1a2，a1.当 0a1 时
11、，f(x)maxa2a1，a2a12，a2a10，a1 52(舍去)当 a1 时，f(x)maxf(1)a，a2.综上可知，a1 或 a2.2设函数 yx22x，x2，a，若函数的最小值为 g(a)，求 g(a)解 函数 yx22x(x1)21，对称轴为直线 x1，x1 不一定在区间2，a内，应进行讨论当2a1 时，函数在2，a上单调递减，则当 xa时，y 取得最小值，即 ymina22a；当 a1 时，函数在2,1上单调递减，在1，a上单调递增，则当 x1 时，y 取得最小值，即 ymin1.综上，g(a)a22a，2a1，1，a1.角度二 二次函数中恒成立问题3已知 a 是实数，函数 f(
12、x)2ax22x3 在 x1,1上恒小于零，求实数 a 的取值范围解 2ax22x30 在1,1上恒成立当 x0 时，适合；当 x0 时，a321x13216，因为1x(，11，)，当 x1 时，右边取最小值12，所以 a12.综上，实数 a 的取值范围是，12.角度三 二次函数的零点问题4已知关于 x 的二次函数 f(x)x2(2t1)x12t.(1)求证：对于任意 tR，方程 f(x)1 必有实数根；(2)若12t34，求证：函数 f(x)在区间(1,0)及0，12 上各有一个零点证明(1)f(x)x2(2t1)x12t，f(x)1(x2t)(x1)0，(*)x1 是方程(*)的根，即 f
13、(1)1.因此 x1 是 f(x)1 的实根，即 f(x)1 必有实根(2)当12t34时，f(1)34t0，f(0)12t212t 0，f12 1412(2t1)12t34t0.又函数(x)的图象连续不间断因此 f(x)在区间(1,0)及0，12 上各有一个零点通关锦囊二次函数图象与性质问题解题策略1对于二次项系数含参数的二次函数、方程、不等式问题，应对参数分类讨论，分类讨论的标准就是二次项系数与 0 的关系2当二次函数的对称轴不确定时，应分类讨论，分类讨论的标准就是对称轴在区间的左、中、右三种情况3求解过程中，求出的参数的值或范围并不一定符合题意，因此要检验结果是否符合要求题组集训1求函数
14、 f(x)x(xa)在 x1,1上的最大值解 函数 f(x)xa22a24 的图象的对称轴为 xa2，应分a21，1a21，a21，即 a2，2a2 和 a2三种情形讨论(1)当 a2 时，由图(1)可知 f(x)在1,1上的最大值为f(1)1aa(a1)；(2)当2a2 时，由图(2)可知 f(x)在1,1上的最大值为 fa2 a24，(3)当 a2 时，由图(3)可知 f(x)在1,1上的最大值为 f(1)a1.综上可知，f(x)maxa1，a2a24，2a2a1，a2.2设函数 f(x)ax22x2，对于满足 1x4 的一切 x值，都有 f(x)0，求实数 a 的取值范围解 当 a0 时
15、，f(x)ax1a221a，由 x(1,4)，f(x)0 得：1a1，f1a220或11a4，f1a 21a0或1a4，f416a820.所以a1，a0或14a12或a14，a38.所以 a1 或12a1 或，即 a12.当 a0 时，f1a220，f416a820，解得 a；当 a0 时，f(x)2x2，f(1)0，f(4)6，所以不合题意综上可得，实数 a 的取值范围是 a12.思想方法 6 分类讨论思想在二次函数问题中的应用典例 若f(x)4x24ax4aa2在区间0,1内有最大值5，则 a_.分析 已知的二次函数对称轴随参数 a 的变化而变化，根据对称轴在已知区间的左侧、内部、右侧，利
16、用函数的单调性和最值点分类求解解析 对称轴 xa2.当a20，即 a0 时，f(x)在0,1上是减函数，则 f(x)maxf(0)4aa25，解得 a1 或 a5，而 a0，所以 a5；当a21，即 a2 时，f(x)在0,1上是增函数，则 f(x)maxf(1)4a25，得 a1 或 a1，而 a2，即 a 不存在；当 0a21，即 0a2 时，则 f(x)maxfa2 4a5，a54，满足 0a2.综上所述 a5 或54.答案 5 或54方法点睛 二次函数是单峰函数(在定义域上只有一个最值点的函数)，x b2a为其最值点，在其两侧二次函数具有相反的单调性，当已知二次函数在某区间上的最值求参
17、数时，要根据对称轴与已知区间的位置关系进行分类讨论确定各种情况最值，建立方程求解参数最后要把各种情况下的求解结果整合为一个总的结论即时突破 已知函数 f(x)x22tx1，在区间2,5上单调且有最大值为 8，则实数 t 的值为_解析 函数 f(x)x22tx1 图象的对称轴是 xt，函数在区间2,5上单调，故 t2 或 t5.若 t2，则函数 f(x)在区间2,5上是增函数，故 f(x)maxf(5)2510t18，解得 t95；若 t5，函数 f(x)在区间2,5上是减函数，此时 f(x)maxf(2)44t18，解得 t34，与 t5 矛盾综上所述，t95.答案 95课堂小结【方法与技巧】
18、1二次函数、二次方程、二次不等式间相互转化的一般规律：(1)在研究一元二次方程根的分布问题时，常借助于二次函数的图象数形结合来解，一般从开口方向；对称轴位置；判别式；端点函数值符号四个方面分析(2)在研究一元二次不等式的有关问题时，一般需借助于二次函数的图象、性质求解2与二次函数有关的不等式恒成立问题(1)ax2bxc0，a0 恒成立的充要条件是a0b24ac0(2)ax2bxc0，a0 恒成立的充要条件是a0b24ac03幂函数 yx(R)，其中 为常数，其本质特征是以幂的底 x 为自变量，指数 为常数【失误与防范】1对于函数yax2bxc，要认为它是二次函数，就必须满足a0，当题目条件中未说明a0时，就要讨论a0和a0两种情况2幂函数的图象一定会出现在第一象限内，一定不会出现在第四象限，至于是否出现在第二、三象限内，要看函数的奇偶性；幂函数的图象最多只能同时出现在两个象限内；如果幂函数图象与坐标轴相交，则交点一定是原点课时活页作业(九)点击图标进入 谢谢观看！
