1、第 5 讲 不等式 感悟高考 明确考向(2010山东)若对任意 x0，xx23x1a 恒成立，则a 的取值范围是_解析 axx23x11x1x3对任意 x0 恒成立，设 ux1x3，只需 a1u恒成立即可x0，u5(当且仅当 x1 时取等号)由 u5 知 00 恒成立时，易忽略对对称轴 x3a12a bbb，bcac.(3)加法法则：abacbc.(4)乘法法则：ab，c0acbc.ab，c0acb，cdacbd.(6)同向同正可乘性：ab0，cd0acbd.(7)乘方法则：ab0anbn(nN，n2)(8)开方法则：ab0n an b(nN，n2)2一元二次不等式的解法解一元二次不等式 ax
2、2bxc0(a0)或 ax2bxc000)的图象一元二次方程ax2bxc0(a0)的根有两相异实根x1，x2(x10(a0)的解集x|xx2 或xx1x|xR且 x b2aR不等式 ax2bxc0)的解集x|x1x0(0(1 时，af(x)ag(x)f(x)g(x)；当 0aag(x)f(x)1 时，logaf(x)logag(x)f(x)g(x)且 f(x)0，g(x)0；当 0alogag(x)f(x)0，g(x)0.4几个重要不等式(1)|a|0，a20(aR)(2)a2b22ab(aR)(3)ab2 ab(a0，b0)(4)ab(ab2)2(a，bR)(5)a2b22ab2 ab 2a
3、bab(a0，b0)5不等式的证明基础(1)不等式定义：ab0ab，ab0ab，ab0a0，b0)几个常用不等式：a1a2(a0，当 a1 时等号成立)；2(a2b2)(ab)2(a，bR，当 ab 时等号成立)；|ab|a|b|(ab0 时等号成立)；|ab|a|b|(ab0 时等号成立).热点分类突破 题型一 比较大小与不等式正误的判断例 1(1)设 a、b 是非零实数，若 ab，则下列不等式成立的是()Aa2b2Bab2ba2C.1ab2 1ba2D.ba0，或用特殊值法(2)利用绝对值不等式的性质(2)由绝对值不等式的性质：若(ab)(ab)0，则|ab|ab|(ab)(ab)|2|a
4、|2.若(ab)(ab)0 且 ab，aa2b2 ba2b2，即 1ab2 1a2b，故选 C.方法二 令 a2，b1，符合 ab2，故 A不正确；令 a1，b2，符合 aba2，baab，故 B、D 不正确，故选 C.答案（1）C（2）|ab|ab|2探究提高(1)判断不等式的正误，常利用不等式的性质、基本不等式、函数的单调性和特殊值法、作差法等(2)比较大小常利用：函数的单调性法；图象法；不等式的性质或基本不等式法；作差法；特殊值法；特别强调|ab|a|b|等号成立的充要条件是近年高考的新视角变式训练 1(1)(2009浙江)已知 a，b 是实数，则“a0且 b0”是“ab0 且 ab0”
5、的()A充分而不必要条件B必要而不充分条件C充分必要条件D既不充分也不必要条件(2)设 ab0，则()Aa2abb2 Bb2aba2Ca2b2ab Dabb20 且 b0 时，一定有 ab0 且 ab0.反之，当 ab0 且 ab0 时，一定有 a0，b0.故“a0且 b0”是“ab0 且 ab0”的充要条件题型二 解不等式例 2解关于 x 的不等式 ax2(a1)x10.思维启迪先求出相应方程的根，再就两根的大小进行讨论解 原不等式可化为(x1)(ax1)0.(1)当 a0 时，原不等式化为x11，所以原不等式的解集为x|x1；(2)当 a0，又1a0，x1，所以原不等式的解集为x|x1；(
6、3)当 a0 时，原不等式化为(x1)(x1a)0，对应方程(x1)(x1a)0 的两根为 1 和1a.当 0a1，1x1a；当 a1 时，原不等式可化为(x1)21 时，1a1，1ax1.综上所述：当 a0 时，解集为x|x1；当 a0 时，解集为x|x1；当 0a1 时，解集为x|1x1 时，解集为x|1ax0(0，a0，a0，0，0 时，对两根 x1、x2，分 x1x2，x1x2 进行讨论变式训练 2(2009天津)设 0b(ax)2 的解集中的整数恰有 3 个，则()A1a0 B0a1C1a3 D3a(ax)2，(a21)x22bxb20.又 a10，a1.不等式变形为(a1)xb(a
7、1)xb1，b0，ba10,0 ba11，b1ax ba1，2 ba13，即 2a20，2a2b1，a3，1a0)与AB相交于点D，与椭圆相交于 E、F 两点(1)若求 k 的值；(2)求四边形 AEBF 面积的最大值,6DFED 解(1)依题设得椭圆的方程为x24y21，直线 AB、EF 的方程分别为 x2y2，ykx(k0)如图所示，设 D(x0，kx0)，E(x1，kx1)，F(x2，kx2)，其中 x10，y2y10，故四边形 AEBF 的面积为SSBEFSAEFx22y2(x22y2)2 x224y224x2y2 2(x224y22)2 2，当 x22y2 时，上式取等号所以 S 的
8、最大值为 2 2.题型四 含参不等式恒成立问题例4 实数 a 为何值时，不等式(a21)x2(a1)x10对任意 xR 恒成立？思维启迪 本题的关键是对 a210和a210两种情况进行讨论，体现了分类讨论的思想解 当 a210，即 a1 时，原不等式的解集为 R 的条件是a210，0，解得35a1.当 a210，即 a1 时，若 a1，则原不等式为10，恒成立；若 a1，则原不等式为 2x10，即 x12，不合题意，应舍去综上所述，当350 的恒成立问题时必须对 a0、a0 分类讨论，否则会漏解(2)已知不等式恒成立求参数范围的问题，涉及函数、方程、不等式，综合性强，常利用以下结论解决结论 1
9、：f(x)axb0(a0)在区间m，n上恒成立f(m)0，f(n)0.结论 2：f(x)axb0(a0)在区间m，n上恒成立f(m)0，f(n)0(a0)在区间m，)上恒成立a0，f(m)0.结论 4：f(x)ax2bxc0(a0)在m，n上恒成立b24ac0，或 b2a0，或 b2an，f(n)0.结论 5：f(x)ax2bxc0)在m，n上恒成立f(m)0，f(n)m 对任意 xD 恒成立，则 f(x)minm；若 f(x)m对任意 xD 恒成立，则 f(x)maxm(x21)对满足|m|2 的所有实数都成立，求 x 的取值范围解 不等式变为 m(x21)(2x1)0，即 f(m)m(x2
10、1)(2x1)0 在m|2m2上恒成立，故f(2)0，f(2)0.解得 712x1 32，即 x 的取值范围是712，1 32.题型五 线性规划问题例5 制订投资计划时，不仅要考虑可能获得的盈利，而且要考虑可能出现的亏损某投资人打算投资甲、乙两个项目根据预测，甲、乙项目可能的最大盈利率分别为 100%和 50%，可能的最大亏损率分别为 30%和 10%.投资人计划投资金额不超过 10 万元，要求确保可能的资金亏损不超过 1.8 万元问投资人对甲、乙两个项目各投资多少万元，才能使可能的盈利最大？思维启迪 设此人对甲项目投资 x 万元，对乙项目投资y 万元先结合题意列出关于 x，y 的约束条件，即
11、关于 x，y 的不等式组，然后画出不等式组表示的区域进而求解解 设投资人分别用 x 万元、y 万元投资甲、乙两个项目，由题意知xy10，0.3x0.1y1.8，x0，y0.目标函数 zx0.5y.上述不等式组表示的平面区域如图所示，阴影部分(含边界)即可行域作直线 l0：x0.5y0，并作平行于直线 l0 的一组直线x0.5yz，zR，与可行域相交，其中有一条直线经过可行域上的 M 点，且与直线 x0.5y0 的距离最大，这里 M 点是直线 xy10 和 0.3x0.1y1.8 的交点解方程组xy10，0.3x0.1y1.8，得 x4，y6.此时 z140.567(万元)当 x4，y6 时 z
12、 取得最大值答 投资人用 4 万元投资甲项目、6 万元投资乙项目，才能在确保亏损不超过 1.8 万元的前提下，使可能的盈利最大探究提高(1)线性规划问题一般有三种题型：一是求最值；二是求区域面积；三是确定目标函数中的字母系数的取值范围(2)解决线性规划问题首先要找到可行域，再注意目标函数所表示的几何意义，利用数形结合找到目标函数的最优解(3)对于应用问题，要准确地设出变量，确定可行域和目标函数变式训练 5 (2010山东)设变量 x，y 满足约束条件 xy20，x5y100，xy80，则目标函数 z3x4y 的最大值和最小值分别为()A3，11 B3，11C11，3 D11,3解析 作出可行域
13、如图阴影部分所示，由图可知 z3x4y经过点A时z有最小值，经过点B时z有最大值易求 A(3,5)，B(5,3)z 最大35433，z 最小334511.A规律方法总结 1三个“二次”的关系一元二次不等式解集的端点值是相应一元二次方程的根，也是相应的二次函数图象与 x 轴交点的横坐标，即二次函数的零点2基本不等式的作用二元均值不等式具有将“积式”转化为“和式”或将“和式”转化为“积式”的放缩功能，常常用于比较数(式)的大小或证明不等式或求函数的最值或解决不等式恒成立问题解决问题的关键是弄清分式代数式、函数解析式、不等式的结构特点，选择好利用基本不等式的切入点3建立函数关系，利用基本不等式求最值
14、根据题设条件建立函数的关系式，并创设基本不等式的应用背景，如通过“代换”，“拆项”，“凑项”等技巧，改变原式的结构使其具备基本不等式的应用条件利用基本不等式求最值时要注意“一正、二定、三相等”的条件，三个条件缺一不可4应用基本不等式解决实际问题用基本不等式解决实际问题时，一般都是求某个量的最值，这时，先把要求最值的量表示为某个变量的函数，再利用基本不等式求该函数的最值，求最值时，仍要满足前面所说的三个求最值的要求其思路如图所示知能提升演练 一、选择题1(2010江西)对于实数 a，b，c，“ab”是“ac2bc2”的()A充分不必要条件 B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件解析 a
15、bac2bc2，原因是 c 可能为 0，而若 ac2bc2，则可以推出 ab，故“ab”是“ac2bc2”的必要不充分条件，故选 B.B2已知 0a0 B2ab12Clog2alog2b2 D解析 log2alog2blog2ablog2(ab2)2log2142.C212 abba3设函数 f(x)x24x6，x0 x6，xf(1)的解集是()A(3,1)(3，)B(3,1)(2，)C(1,1)(3，)D(，3)(1,3)解析 原不等式可化为x0 x24x63 或x3，所以原不等式的解集为(3,1)(3，)，故选 A.A4(2010四川)设 ab0，则 a2 1ab1a(ab)的最小值是()
16、A1 B2 C3 D4解析 a2 1ab1a(ab)a2abab 1ab1a(ab)a(ab)1a(ab)ab 1ab224.当且仅当 a(ab)1 且 ab1，即 a 2，b 22 时取等号D5某公司现有资金 90 万元，计划投资甲、乙两个项目，要求对项目甲的投资不小于对项目乙的投资的2 倍，且对每一个项目的投资不能低于 10 万元对项目甲每投资 1 万元可获得 0.6 万元的利润，对项目乙每投资 1 万元可获得 0.4 万元的利润该公司正确规划后，投资这两个项目可获得的最大利润为()A38 万元B48 万元C52 万元D54 万元解析 设对项目甲投资 x 万元，对项目乙投资 y 万元，总利
17、润为 z 万元由题意得xy90，x2y，x10，y10，z0.6x0.4y.如图所示，作出以上不等式组的可行域令直线 l 为 0.6x0.4y0.平移直线 l，当过 C 点时 z 取最大值，最大值为 0.6800.41052(万元)答案 C二、填空题6设集合 Mx|a2x2a24ax10，若 2M，则实数 a的取值范围为_解析 Mx|a2x2a24ax10,2M，a222a242a10 或 a210.由a222a242a10，得2(a3)(a4)2a10，3a0，直线 b2xy10 与 ax(b24)y20 互相垂直，则 ab 的最小值为_解析 k1b2，k2ab24，k1k2 ab2b241
18、，ab2b24，abb4b2 44(b2 时取等号)4 8不等式|x3|x1|a23a 对任意实数 x 恒成立，则实数 a 的取值范围为_解析|x3|x1|4，x3，2x2，3x1，4，x1.|x3|x1|的最大值为 4.要使|x3|x1|a23a 对任意实数 x 恒成立，即 a23a4 恒成立a(，14，)(，14，)三、解答题9如图所示，动物园要围成相同面积的长方形虎笼四间，一面可利用原有的墙，其他各面用钢筋网围成(1)现有可围 36 m 长的钢筋网材料，每间虎笼的长、宽各设计为多少时，可使每间虎笼面积最大？(2)若使每间虎笼面积为 24 m2，则每间虎笼的长、宽各设计为多少时，可使围成四
19、间虎笼的钢筋网总长最小？解 设每间虎笼的长、宽分别为 x m、y m.则 sxy.(1)由题意知：4x6y36，2x3y18.又 2x3y2 6xy，xy(2x3y)22418224272，当且仅当 2x3y9，即 x4.5，y3 时，sxy 最大，每间虎笼的长为 4.5 m，宽为 3 m 时，每间虎笼面积最大(2)由题意知 xy24，4x6y2 24xy48，当且仅当 4x6y 时，取得等号成立由4x6yxy24 得x6，y4，每间虎笼的长为 6 m，宽为 4 m 时，可使钢筋网总长最小10已知函数 f(x)13ax314x2cxd(a，c，dR)满足f(0)0，f(1)0，且 f(x)0
20、在 R 上恒成立(1)求 a，c，d 的值；(2)若 h(x)34x2bxb214，解不等式 f(x)h(x)0，(12)24a(12a)0，即a0，a212a 1160，即a0，(a14)20，解得：a14，c14.(2)ac14.f(x)14x212x14.f(x)h(x)0，即14x212x1434x2bxb2140，即 x2(b12)xb20，即(xb)(x12)12时，解集为(12，b)，当 b12时，解集为(b，12)，当 b12时，解集为.(3)ac14，f(x)14x212x14，g(x)f(x)mx14x2(12m)x14.该函数图象开口向上，且对称轴为 x2m1.假设存在实
21、数 m 使函数 g(x)f(x)mx14x2(12m)x14在区间m，m2上有最小值5.当 m1 时，2m11，m73舍去，故 m3.当1m1 时，m2m1m2，函数 g(x)在区间m,2m1上是递减的，而在区间2m1，m2上是递增的，g(2m1)5.即14(2m1)2(12m)(2m1)145，解得 m1212 21或 m1212 21，均应舍去当 m1 时，2m1m2，函数 g(x)在区间m，m2上递减，g(m2)5，即14(m2)2(12m)(m2)145.解得 m12 2或 m12 2.其中 m12 2应舍去，故 m12 2.综上可得，当 m3 或 m12 2时，函数 g(x)f(x)mx 在区间m，m2上有最小值5.返回
