1、1.1集合的概念与表示第1课时集合的概念课后训练巩固提升一、A组1.下列各组对象,能组成集合的有()对环境污染不太大的废水;中国古典文学中的四大名著;所有学习好的同学;方程x(x2-2x-3)=0的所有实数根.A.B.C.D.解析:“对环境污染不太大的废水”没有明确的标准;中四大名著指的是水浒传三国演义西游记红楼梦,对象明确,故能组成集合;“所有学习好的同学”没有明确的标准;中的对象满足确定性、互异性、无序性.答案:C2.给出下列关系:12R;2R;|-3|N;|-3|Q.其中正确的个数为()A.1B.2C.3D.4解析:正确.答案:B3.已知集合A=2,4,x2+x,若6A,则x等于()A.
2、2B.-3C.6D.2或-3解析:因为6A,则有x2+x=6,解得x=-3,或x=2.答案:D4.集合M是由大于-2且小于1的实数组成的,则下列关系式正确的是()A.5MB.0MC.1MD.-2M解析:由题知,M=x|-2x1.故5M,0M,1M,-2M.因而D正确.答案:D5.若集合a,b,c中的元素是ABC的三边长,则ABC一定不是()A.锐角三角形B.等腰三角形C.钝角三角形D.直角三角形解析:根据集合中元素的互异性,可知三角形的三边长不相等,故选B.答案:B6.仅由英文字母“b”“e”“e”组成的集合含有个元素.解析:因为集合中元素具有互异性,故由英文字母“b”“e”“e”组成的集合只
3、含有“b”“e”两个元素.答案:27.集合M中的元素y满足y=1-x2,且yN,若aM,则a=.解析:由y=1-x2,且yN知,y=0或1,所以集合M含0和1两个元素,又aM,所以a=0或1.答案:0或18.已知集合A含有两个元素2a+1和3a-1,若-1A,试求实数a的值.解:-1A,-1=2a+1或-1=3a-1.若-1=2a+1,则a=-1.此时集合A中含有两个元素-1,-4,符合题意;若-1=3a-1,则a=0.此时集合A中含有两个元素1,-1,符合题意.综上所述,a=-1或a=0.9.若集合M具有下列性质:0M,1M;若x,yM,则(x-y)M,且x0时,1xM,则称集合M为“好集”
4、.(1)分别判断集合P=-1,0,1,有理数集Q是不是“好集”,并说明理由.(2)设集合A是“好集”,求证:若x,y都在A中,则(x+y)A.(1)解:集合P不是“好集”.理由是:假设P是“好集”,因为-1P,1P,所以-1-1=-2P,这与-2P矛盾.有理数集Q是“好集”.因为0Q,1Q,对任意的x,yQ,有(x-y)Q,且x0时,1xQ,所以有理数集Q是“好集”.(2)证明:因为集合A是“好集”,所以0A.若x,yA,则(0-y)A,即-yA.所以x-(-y)A,即(x+y)A.二、B组1.给出下列三个命题:集合N中最小的数是1;若-aN,则aN;若aN,bN,则a+b的最小值是2.其中正
5、确命题的个数是()A.0B.1C.2D.3解析:因为自然数集中最小的数是0,而不是1,故错误;中取a=2,-2N,且2N,故错误;对于,当a=0,b=0时,a+b取最小值0,故选A.答案:A2.由a,a,b,b,a2,b2组成集合A,则集合A中的元素最多有()A.6个B.5个C.4个D.3个解析:根据集合中元素的互异性可知,集合A中的元素最多有4个,故选C.答案:C3.已知集合A中含1和a2+a+1两个元素,且3A,则a3等于()A.0B.1C.-8D.1或-8解析:3A,a2+a+1=3,即a2+a-2=0,即(a+2)(a-1)=0,解得a=-2,或a=1.当a=1时,a3=1;当a=-2
6、时,a3=-8.综上,a3=1或a3=-8.答案:D4.设P,Q为两个非空实数集合,P中含有0,2,5三个元素,Q中含有1,2,6三个元素,定义集合P+Q中的元素是a+b,其中aP,bQ,则P+Q中元素的个数是.解析:由于aP,bQ,则a+b的取值分别为1,2,3,4,6,6,7,8,11,故集合P+Q中有8个元素.答案:85.如果具有下述性质的x都是集合M中的元素,其中:x=a+b2(a,bQ),则下列元素不属于集合M的有个.x=0,x=2,x=3-22,x=13-22,x=6-42+6+42.解析:当x=0时,a=b=0Q,故xM;当x=2时,a=0Q,b=1Q,故xM;当x=3-22时,
7、a=3Q,b=-2Q,故xM;x=13-22=3+22,此时a=3Q,b=2Q,故xM;x=6-42+6+42=2-2+2+2=4,此时a=4Q,b=0Q,故xM.故不属于集合M的元素只有1个.答案:16.设xR,集合A中含有三个元素3,x,x2-2x,(1)求元素x应满足的条件;(2)若-2A,求实数x.解:(1)由集合元素的互异性,可得x3,x2-2xx,x2-2x3,解得x-1且x0且x3.(2)若-2A,则x=-2或x2-2x=-2.由于方程x2-2x+2=0无解,所以x=-2.7.数集A满足条件:若aA,则11-aA(a1).(1)若2A,试求出A中其他所有元素;(2)自己设计一个数
8、属于A,然后求出A中其他所有元素;(3)从上面的解答过程中,你能悟出什么道理?并证明你悟出的“道理”.解:(1)因为2A,则11-2A,即-1A,则11+1A,即12A,则11-12A,即2A,所以A中其他所有元素为-1,12.(2)如:若3A,则A中其他所有元素为-12,23.(3)分析以上结果可以得出:A中只能有3个元素,它们分别是a,11-a,a-1a,且三个数的乘积为-1.证明如下:若aA,a1,则有11-aA,且11-a1,所以又有11-11-a=a-1aA且a-1a1,进而有11-a-1a=aA.又因为a11-a(因为若a=11-a,则a2-a+1=0,而方程a2-a+1=0无解),所以11-aa-1a,同理aa-1a,所以A中只能有3个元素,它们分别是a,11-a,a-1a,又a1,且a0(因为若a=0,则11-a=1A,与1A矛盾),所以集合A中三个数的乘积是-1.
