1、历城二中2021届高三上学期期中考试数学试题注意事项:1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号填写在答题卡和试卷指定位置上.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在试卷上无效.3考试结束后，将本试卷和答题卡一并收回.一、选择题：本大题共8个小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知全集为集合.则（ ）A B C D2.已知是实数，是纯虚数，则（ ）A B C D3. “”是“对任意的正数”的（ ）A充分不必要条件 B必要不充分条
2、件 C充要条件 D既不充分也不必要条件4. 将名志愿者分配到个不同的奥运场馆参加接待工作，每个场馆至少分配一名志愿者的方案种数为（ ）A B C D5.设，则的大小关系是（ ）A B C D6.我国古代数学著作九章算术有如下问题:“今有金签，长五尺，斩本一尺，重四斤，斩末一尺，重二斤问次一尺各重几何?意思是:“现有一根金塞，一头粗，一头细在粗的一端截下一尺，重四斤:在细的一端截下一尺，重二斤.问依次每一尺各重几斤?根据己知条件，若金蜜由粗到细是均匀变化的，中间三尺的重量为（ ）A斤 B斤 C斤 D斤7.已知函数7.已知函数若关于的方程，无实根，则实数的取值范围为（ ）A B C D8.我国古代
3、人民早在几千年以前就已经发现并应用勾股定理了，勾股定理最早的证明是东汉数学家赵爽在为周髀算经作注时给出的，被后人称为“赵爽弦图”.“赵爽弦图”是数形结合思想的体现，是中国古代数学的图腾，还被用作第届国际数学家大会的会徽如图，大正方形是由个全等的直角三角形和中间的小正方形组成的，若为的中点，则（ ）A B C D二、选择题:本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得3分.9已知函数的最小正周期为，则下列说法正确的有A. B函数在上为增函数C.直线是函数图象的一条对称轴D.点是函数图象的一个对称中心10.甲乙两个
4、质地均匀且完全一样的四面体，每个面都是正三角形，甲四个面上分别标有数字，乙四个面上分别标有数字，同时抛掷这两个四面体一次，记事件为“两个四面体朝下一面的数字之和为奇数”，事件为“甲四面体朝下一面的数字为奇数”，事件为“乙四面体朝下一面的数字为偶数”，则下列结论正确的是A.B. C. D.11.设为正实数，下列命题正确的有A.若，则；B若，则；C.若，则；D.若，则.12.设函数其中表示中的最小者.下列说法正确的有A.函数为偶函数B.当时，有C.当时，D.当时，三、填空题:本题共4小题，每小题5分，共20分.13.的展开式中的常数项是14.若函数，则15.如图，在中，为上一点，且满足，若16.
5、在三棱锥中，侧棱底面，且则该三棱锥的外接球的体积为 四、解答题:本题包括6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17. 在，三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并解决该问题.在中，内角的对边分别是，且满足 若，求的面积；求的取值范围.18. 已知数列的前项和，满足求数列的通项公式；求数列的前项和19. 已知在四棱锥中，是的中点，为的中点，是等边三角形，平面平面.求证:平面；求二面角的余弦值.20. 已知函数.当时，求曲线在处的切线方程；已知时，不等式恒成立，求实数的取值范围.21. 某市质监部门严把食品质量关，在2020年3月15日前夕，根据质量管理考核指标对本地的家食品
6、生产企业进行考核，通过随机抽样抽取其中的家，统计其考核成绩(单位:分），并制成如图频率分布直方图.求这家食品生产企业考核成绩的平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）及中位数（精确到)该市质监部门打算举办食品生产企业质量交流会，并从这家食品生产企业中随机抽取家考核成绩不低于分的企业发言，记抽到的企业中考核成绩在的企业数为，求的分布列与数学期望若该市食品生产企业的考核成绩服从正态分布其中近似为家食品生产企业考核成绩的平均数近似为样本方差为，经计算得，利用该正态分布，估计该市500家食品生产企业质量管理考核成绩高于分的有多少家?（结果保留整数）.附参考数据与公式:，则，.22.已知函数求函
7、数的最大值；令，若既有极大值，又有极小值，求实数的范围；求证:当时，.数学试题答案与评分标准一、选择题123456789101112二、填空题13. 14. 15. 16.三、解答题17.解答:若选，由题意，化简得即，得由余弦定理，得，解得由正弦定理又因为，所以，因为若选，由，得，化简得得，得.以下与选同.若选，由得，即化简得，得.以下与选同.18.【解】当时，当时，得，是以为首项为公比的等比数列得，19. 证明:取的中点为，连结，因为，四边形与四边形均为菱形，为中点，平面平面平面取的中点为，以为空间坐标原点，分别以的方向为轴、轴、轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系.设则，设平面的-法向
8、量.由则.设平面的一法向量由则.二面角的平面角的余弦值为.20. 【答案】解:当时，即曲线在处的切线的斜率为，又，所以所求切线方程为.当时，若不等式恒成立，易知，若，则恒成立，在上单调递增；又，所以当时，符合题意若，由，解得，则当，即时，则当时，在上单调递增，符合题意.当，即时，则当时，单调递减，不符合题意.综上，实数的取值范围是.21解:这家食品生产企业考核成绩的平均数为；（分)，由频率分布直方图得内，解得中位数这家食品生产企业中考核成绩不低于分的企业有家，其中考核成绩在内的企业有家，的可能取值为， ，的分布列为： 由题意得，(家)，估计该市家食品生产企业质量管理考核成绩高于分的有家.22.证明:，在上，函数单调递增，在上，函数单调递减，当时， 既有极大值，又有极小值等价于在区间上有两个不相等的实数根.即解得，求实数的范围由得，当，即，可得，于是，. . .，于是
