1、第6讲 填空题的解题方法 第一编 讲方法题型特点解读 填空题不像解答题能分步得分，因此要保证填写的结果正确，否则前功尽弃解题时，要合理地分析和判断，要求推理、运算的每个步骤都正确无误，还要求将答案表达得准确、完整合情推理、优化思路、少算多思是快速、准确解答填空题的基本要求方法1巧妙计算法对于计算型的试题，多通过直接计算求解结果，这是解决填空题的基本方法，即直接从题设条件出发，利用有关性质或结论等，通过巧妙的变形，简化计算过程，直接得到结果要善于透过现象抓本质，有意识地采取灵活、简捷的解法例1(1)(2019高三第三次全国大联考)在ABC中，已知AB3，BC2，若cos(CA)12，则sinB_
2、.解析 在线段AB上取点D，使得CDAD，设ADx，则BD3x，因为cos(CA)12，即cosBCD12，答案 5 314所以在BCD中，由余弦定理可得(3x)2x244x12，解得x54，在BCD中，由正弦定理可得 CDsinBBDsinBCD，因为CD54，BD3x74，sinBCD 32，所以sinB5 314.(2)(2019大连市模拟)已知函数yf(x)是定义域为R的偶函数，且f(x)在0，)上单调递增，则不等式f(2x1)f(x2)的解集为_解析 函数yf(x)是定义域为R的偶函数，f(2x1)f(x2)可转化为f(|2x1|)f(|x2|)，又f(x)在0，)上单调递增，f(2
3、x1)f(x2)|2x1|x2|，两边平方解得x(，1)(1，)，故f(2x1)f(x2)的解集为x(，1)(1，)答案(，1)(1，)直接法是解决计算型填空题最常用的方法，在计算过程中我们要根据题目的要求灵活处理，多角度思考问题，注意一些解题规律和解题技巧的灵活运用，将计算过程简化从而得到结果，这是快速、准确地解决数学填空题的关键1(2019长春市高三质量监测)某学校要将4名实习教师分配到3个班级，每个班级至少要分配1名实习教师，则不同的分配方案有_种解析 因为某学校要将4名实习教师分配到3个班级，每个班级至少要分配1名实习教师，所以有1个班级一定会安排2名教师，答案 36故第一步：先安排2
4、名教师到1个班级实习，有C24C136318种，第二步：将剩下的2名教师安排到相应的2个班级实习，有A 22 2种，根据分步乘法计数原理得这个问题的分配方案共有18236种2设为锐角，若cos6 35，则sin 12 _.解析 为锐角，66，23，sin6 1cos26 45.sin 12 sin6 4sin6 cos4cos6 sin445 22 35 22 210.答案 210方法2特殊值代入法当填空题已知条件中含有某些不确定的量，但结论唯一或题设条件中提供的信息暗示答案是一个定值时，可以从题中变化的不定量中选取符合条件的恰当特殊值(特殊函数、特殊角、特殊数列、特殊位置、特殊点、特殊方程、
5、特殊模型等)进行处理，从而得出探求的结论例2(1)已知函数f(x)的定义域为R，f(1)2，且对任意的xR，f(x)2，则f(x)2x4的解集为_解析 解法一：(特殊函数法)令f(x)3x5，则由3x52x4，得x1.解法二：令函数g(x)f(x)2x4，则g(x)f(x)20，因此g(x)在R上为增函数又g(1)f(1)242240，所以原不等式可化为g(x)g(1)，由g(x)的单调性可得x1.答案(1，)(2)如图所示，在ABC中，AO是BC边上的中线，K为AO上一点，且 AO2AK，经过K的直线分别交直线AB，AC于不同的两点M，N.若AB mAM，AC nAN，则mn_.答案 4解析
6、 当过点K的直线与BC平行时，MN就是ABC的一条中位线(AO2AK，K是AO的中点)，这时由于有ABmAM，AC nAN，因此mn2，故mn4.求值或比较大小关系等问题均可利用取特殊值代入求解，但要注意此种方法仅限于求解结论只有一种的填空题，对于开放性的问题或者多种答案的填空题，不能使用该种方法求解为保证答案的正确性，在利用此方法时，一般应多取几个特例1(2019温州高三2月高考适应性测试)若x6a0a1(x1)a5(x1)5a6(x1)6，则a0a1a2a3a4a5a6_，a5_.解析 令x0，得0a0a1a2a3a4a5a6；又x6(x1)16a0a1(x1)a5(x1)5a6(x1)6
7、，将x1视为一个整体，则a5为二项式展开式中(x1)5的系数，展开式的通项公式为Tr1Cr6(x1)6r(1)r，令r1，则(x1)5的系数的值为C16(1)16.答案 0 62在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若a，b，c成等差数列，则 cosAcosC1cosAcosC_.解析 解法一：(取特殊值)a3，b4，c5，则cosA45，cosC0，cosAcosC1cosAcosC45.解法二：(取特殊角)ABC3，cosAcosC12，cosAcosC1cosAcosC45.答案 45方法3推理法对于概念与性质的判断等类型的题目，应按照相关的定义、性质、定理等进行合乎逻辑的推
8、演和判断，有时涉及多选型的问题，尤其是新定义问题，必须进行严密的逻辑推理才能得到正确的结果例3(1)(2019洛阳市高三第三次统考)甲、乙、丙三位同学，其中一位是班长，一位是团支书，一位是学习委员，已知丙比学习委员的年龄大，甲与团支书的年龄不同，团支书比乙的年龄小，据此推断班长是_解析 根据甲与团支书的年龄不同，团支书比乙年龄小，得到丙是团支书丙比学习委员的年龄大，甲与团支书的年龄不同，团支书比乙年龄小，得到年龄从大到小是乙丙学习委员，由此得到乙不是学习委员，故乙是班长答案 乙(2)(2019衡水市全国普通高中高三大联考)现有一场专家报告会，张老师带甲、乙、丙、丁四位同学参加，其中有一个特殊位
9、置可与专家近距离交流，张老师看出每个同学都想去坐这个位置，因此给出一个问题，谁能猜对，谁去坐这个位置问题如下：某班10位同学参加一次全年级的高二数学竞赛，最后一道题只有6名同学A，B，C，D，E，F尝试做了，并且这6人中只有1人答对了听完后，四个同学给出猜测如下：甲猜：D或E答对了；乙猜：C不可能答对；丙猜：A，B，F当中必有1人答对了；丁猜：D，E，F都不可能答对，在他们回答完后，张老师说四人中只有1人猜对，则张老师把特殊位置给了_答案 丁解析 若同学A做对了，则乙、丙、丁猜对了，与题设矛盾，故不符合题意；若同学B做对了，则乙、丙、丁猜对了，与题设矛盾，故不符合题意；若同学C做对了，则丁猜对
10、了，与题设相符，故满足题意；若同学D做对了，则甲、乙猜对了，与题设矛盾，故不符合题意；若同学E做对了，则甲、乙猜对了，与题设矛盾，故不符合题意；若同学F做对了，则乙、丙猜对了，与题设矛盾，故不符合题意综上可知，同学C做对了，丁猜对了故张老师把特殊位置给了丁推理法讲究“推之有理，推之有据”，在推理的过程中要严格按照定义的法则和相关的定理进行，归纳推理和类比推理也要依据自身的推理法则，不能妄加推测1(2019延安市模拟)甲、乙、丙三位教师分别在延安、咸阳、宝鸡的三所中学里教不同的学科A，B，C，已知：甲不在延安工作，乙不在咸阳工作；在延安工作的教师不教C学科；在咸阳工作的教师教A学科；乙不教B学科
11、可以判断乙工作的地方和教的学科分别是_、_.答案 宝鸡 C解析 由得在咸阳工作的教师教A学科；又由得乙不在咸阳工作，所以乙不教A学科；由得乙不教B学科，结合乙不教A学科，可得乙必教C学科，由得乙不在延安工作，由得乙不在咸阳工作；所以乙在宝鸡工作，综上，乙工作的地方和教的学科分别是宝鸡和C学科2求“方程1213x513x1的解”有如下解题思路：设函数f(x)1213x513x，则函数f(x)在R上单调递减，且f(2)1，所以原方程有唯一解x2.类比上述解题思路，方程x6x2(2x)32x的解集为_答案 1，2解析 类比上述解题思路，设f(x)x3x，由于f(x)3x210，所以函数f(x)x3x
12、在R上单调递增，又x6x2(2x)32x，即(x2)3x2(2x)32x，所以x22x，解得x1或x2，所以方程x6x2(2x)32x的解集为1，2方法4图象分析法对于一些含有几何背景的填空题，若能数中思形，以形助数，通过数形结合，往往能迅速作出判断，简捷地解决问题韦恩图、三角函数线、函数的图象及方程的曲线等，都是常用的图形例4(1)若函数f(x)xln xa有两个零点，则实数a的取值范围为_答案 1e，0解析 令g(x)xln x，h(x)a，则问题可转化成函数g(x)与h(x)的图象有两个交点由g(x)ln x1，令g(x)0，即ln x1，可解得0 x1e；令g(x)0，即ln x1，可
13、解得x1e，所以当0 x1e时，函数g(x)单调递减；当x1e时，函数g(x)单调递增由此可知当x 1e 时，g(x)min 1e.作出函数g(x)和h(x)的简图，如图，据图可得1ea0.(2)(2019蚌埠市高三教学质量检查)已知函数f(x)exax1，g(x)ln xaxa，若对任意x1，e，均有f(x)g(x)0，则实数a的最小值为_解析 由f(x)exax10，得exax1，设m(x)ex，yax1，则直线yax1过定点(0,1)，答案 1当x1时，m(1)e，即B(1，e)；当xe时，m(e)ee，即C(e，ee)当直线yax1经过点B时，ea1，即ae1；当直线yax1经过点C时
14、，eeae1，即aee1e.由g(x)ln xaxa0，得ln xaxa，设h(x)ln x，yaxaa(x1)过定点(1,0)，则h(x)1x，h(1)1，即过点(1,0)的切线斜率k1，当xe时，h(e)ln e1，即D(e，1)当直线ya(x1)经过点D时，1a(e1)，即a 1e1，当ae1时，ax1ex，即此时f(x)0，要使对任意x1，e，均有f(x)g(x)0，则g(x)0，即ln xaxa0，则ln xaxa，则此时a1，此时1ae1；当a ee1e时，ax1ex，即此时f(x)0，要使对任意x1，e，均有f(x)g(x)0，则g(x)0，即ln xaxa0，则ln xaxa，
15、则此时a 1e1，此时要求aee1e且a 1e1，此时a无解；当e1ae11，则对x1，e，均有g(x)0，但f(x)可取正值也可取负值，不满足对任意x1，e，均有f(x)g(x)0.综上，满足条件的a的取值范围是1ae1，则实数a的最小值为1.图象分析法的实质就是数形结合思想方法在解决填空题中的应用，利用形的直观性结合所学知识便可得到相应的结论，这也是高考命题的热点运用这种方法的关键是正确把握各种式子与几何图形中变量之间的对应关系，准确利用几何图形中的相关结论求解1若不等式|x2a|12xa1对xR恒成立，则a的取值范围是_解析 作出y|x2a|和y 12 xa1的简图，依题意知应有2a22
16、a，故a12.答案，122(2019德州市高三下学期第一次练习)设f(x)是定义在R上，周期为2的函数，且f(x)cos2x，0 x1，1log2x，1x2，记g(x)f(x)a，若12a1，则函数g(x)在区间2,3上零点的个数是_答案 8解析 f(x)是定义在R上，周期为2的函数，且f(x)cos2x，0 x1，1log2x，1x2，作出f(x)在区间2,3上的图象如图所示由g(x)f(x)a，令g(x)0，得f(x)a，12a1，作出y 12和y1的图象，由图象知，当 12 a1时，两个函数的图象共有8个交点，即g(x)的零点个数为8.方法5构造法构造法解填空题，需要利用已知条件和结论的
17、特殊性构造出新的数学模型，从而简化推理与计算过程，使较复杂的数学问题得到简捷地解决，它来源于对基础知识和基本方法的积累，需要从一般的方法原理中进行提炼概括，积极联想，横向类比，从曾经遇到过的类似问题中寻找灵感，构造出相应的函数、概率、几何等具体的数学模型，使问题快速解决例5(1)(2019湖北省八校高三第二次联合考试)下列命题为真命题的个数是_ln 3 3ln 2；ln e；21515；3eln 24 2.答案 3解析 构造函数f(x)ln xx，导数为f(x)1ln xx2，当0 x0，f(x)单调递增；当xe时，f(x)0，f(x)单调递减，可得当xe时，f(x)取得最大值1e.ln 3
18、3ln 22ln 3 3ln 2ln 33 ln 22，由 32e可得f(3)f(2)，故正确；ln eln ln ee，由 e e，可得f(e)f()，故错误；构造函数F(x)ln xx，则F(x)1ln xx32，当0 x0，F(x)单调递增；当xe2时，F(x)0，F(x)单调递减.21515 15ln 2ln 154ln 24ln 1515 ln 161615e2，F(16)F(15)，故正确；3eln 24 2ln 88 22e 0时，xf(x)f(x)0，若af(1)，b 1e f1e，cef(e)，则a，b，c的大小关系是_(用“”连接)答案 bac解析 令g(x)xf(x)，x
19、(0，)，则g(x)f(x)xf(x)0在(0，)上恒成立，所以g(x)为(0，)上的递增函数，又g(x)xf(x)xf(x)g(x)，所以g(x)为偶函数因为e1 1e，所以g(e)g(1)g1e，所以ef(e)f(1)1ef1e，又g(x)为偶函数，所以ef(e)ef(e)，所以bac.2已知某多面体的三视图如图所示，则其表面积为_答案 2 62 22解析 由题意知，该多面体可放入一棱长为2的正方体中，如图所示，三棱锥D1DBM即所求多面体，且SBDD12 2，SD1DM2，在MBD中，BMDM5，可得BD边上的高为3，SMBD6，在BD1M中，BMD1M 5，可得BD1边上的高为 2，SBD1M 6，所求几何体的表面积为2 62 22.本课结束
