1、第1讲 函数与方程的思想 第一编 讲方法思想方法解读 函数思想是指用函数的观点、方法去分析问题、转化问题和解决问题如求数列中的项或最值、求不等式中的参量、求解析几何中距离或面积的最值等相关的非函数问题，往往都可利用函数思想，构建函数将其转化为函数问题方程思想是从问题的数量关系入手，运用数学语言将问题中的条件转化为方程或方程组去分析问题和解决问题如变量的取值范围、直线与圆锥曲线的位置关系、数列中的基本量、二项式中的系数等问题.热点题型探究热点1函数与方程思想在不等式中的应用例1(1)(2019新疆昌吉市教育共同体高三月考)若关于x的不等式1acosx23sin22x 在R上恒成立，则实数a的最大
2、值为()A13B13C23D1答案 B解析 1acosx23sin22x 23(2cos2x1)，令cosxt1,1，并代入不等式，则问题转化为不等式4t23at50在t1,1上恒成立，即43a50，43a5013a13.故选B.(2)已知f(x)log2x，x2,16，对于函数f(x)值域内的任意实数m，使x2mx42m4x恒成立的实数x的取值范围为()A(，2 B2，)C(，22，)D(，2)(2，)答案 D解析 因为x2,16，所以f(x)log2x1,4，即m1,4不等式x2mx42m4x恒成立，即为m(x2)(x2)20恒成立构造函数g(m)(x2)m(x2)2，则此函数在区间1,4
3、上恒大于0，所以g10，g40，即x2x220，4x2x220，解得x2或x2.(3)(2019山东省烟台市高三一模)若函数f(x)exexsin2x，则满足f(2x21)f(x)0的x的取值范围为()A.1，12B(，1)12，C.12，1D，12(1，)解析 函数f(x)exexsin2x的定义域为R，且满足f(x)exexsin(2x)(exexsin2x)f(x)，答案 Bf(x)为R上的奇函数；又f(x)exex2cos2x22cos2x0恒成立，f(x)为R上的单调增函数；又f(2x21)f(x)0，得f(2x21)f(x)f(x)，2x21x，即2x2x10，解得x12，所以x的
4、取值范围是(，1)12，.故选B.函数与不等式的相互转化，把不等式问题转化为函数问题，借助函数的图象和性质可解决相关的问题常涉及不等式恒成立问题、比较大小问题一般利用函数思想构造新函数，从而研究函数性质破解问题1若2x5y2y5x，则有()Axy0Bxy0Cxy0Dxy0解析 把不等式变形为2x5x2y5y，构造函数f(t)2t5t，其为R上的增函数，所以有xy，故选B.答案 B2已知a，b，c依次为方程2xx0，log2x2和log12xx的实根，则a，b，c的大小关系为()AabcBbacCcbaDbca解析 由log2b2，得b4，由2xx0，log 12 xx，得2xx，log2xx，
5、在同一坐标系中分别作出函数y2x，yx，ylog2x的图象(图略)，观察交点的横坐标，可得bca.答案 D3(2019宁夏银川一中高三二模)已知不等式xyax22y2对于x1,2，y2,3恒成立，则a的取值范围是()A1，)B1,4)C1，)D1,6答案 C解析 不等式xyax22y2对于x1,2，y2,3恒成立，等价于ayx2yx2，对于x1,2，y2,3恒成立，令tyx，则1t3，at2t2在1,3上恒成立，令s2t2t2t14218，t1时，smax1，a1，a的取值范围是1，)，故选C.热点 2函数与方程思想在数列中的应用例 2(1)(2019衡水市第十三中学高三质检)已知定义域为 R
6、 的函数 f(x)满足 f(x)4f(x2)，当 x0，2)时，f(x)x2x1，x0，1，12|x32|，x1，2，设 f(x)在2n2,2n)上的最大值为 an(nN*)，且an的前 n 项和为 Sn，若 Snk 对任意的正整数 n 均成立，则实数 k 的取值范围为()A.53，B53，C2，)D43，答案 B解析 由题意，得当x0,1)时，1f(x)54；当x1,2)时，22f(x)1，所以当x0,2)时，f(x)的最大值为54；又由f(x2)14f(x)，所以当x2,4)时，f(x)的最大值为 54 14；当x4,6)时，f(x)的最大值为 54 142，所以当x2n2,2n)时，f(
7、x)的最大值an5414n1，由等比数列的前n项和公式，得Sn54114n114535314n53.若Snk对任意的正整数n均成立，则k53，故选B.(2)(2019南京师范大学附属中学高三模拟)设数列an的前n项和为Sn，且an412n1，若对于任意的nN*都有1x(Sn4n)3恒成立，则实数x的取值范围是_解析 由题设可得Sn4n112n1124n232312n，则Sn4n232312n，不等式1x(Sn4n)3可化为1x232312n 3，答案 2,3即321112nx921112n，则问题转化为求12n的最大值和最小值由于nN*，所以12n的最大值和最小值分别为14和12，则32111
8、4x921112，即2x3.(3)等差数列an的前n项和为Sn，已知S100，S1525，则数列an的公差d_，nSn的最小值为_解析 由题意知10a145d0,5a160d25，解得d23，a13，所以nSnnna1nn12d n310n23，答案 23 49设f(x)x310 x23(x0)，则f(x)13x(3x20)，令f(x)0，解得x203(x0舍去)，当x0，203 时，f(x)单调递减，当x203，时，f(x)单调递增所以当x 203时，f(x)取得极小值取n6，得f(6)48，取n7，得f(7)49，故nSn的最小值为49.数列的通项与前n项和是自变量为整数的函数，可用函数的
9、观点去处理数列问题常涉及最值问题或参数范围问题，解决问题的关键是利用函数的单调性来研究最值问题1(2019广东省天河区高三年级摸底考试)已知数列an是以1为首项，2为公差的等差数列，bn是以1为首项，2为公比的等比数列，设cnabn，Tnc1c2cn(nN*)，则当Tn2019时，n的最大值是()A9B10C11D12答案 A解析 an是以1为首项，2为公差的等差数列，an2n1，bn是以1为首项，2为公比的等比数列，bn2n1，Tnc1c2cnab1ab2abna1a2a4a2n1(211)(221)(241)(22n11)2(1242n1)n212n12n2n1n2，Tn2019，2n1n
10、22019，得n9.则当Tnb0)上的点到右焦点F(c,0)的最大距离是2 1，且1，2 a,4c成等比数列(1)求椭圆的方程；(2)过点F且与x轴不垂直的直线l与椭圆交于A，B两点，线段AB的中垂线交x轴于点M(m,0)，求实数m的取值范围解(1)由已知，得ac 21，14c2a2，a2b2c2，解得a 2，b1，c1.所以椭圆的方程为x22y21.(2)由题意得F(1,0)，设直线AB的方程为yk(x1)与椭圆方程联立得x22y220，ykx1，消去y可得(12k2)x24k2x2k220.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1x24k212k2，y1y2k(x1x2)2k2k12k
11、2.可得线段AB的中点为N2k212k2，k12k2.当k0时，直线MN为y轴，此时m0；当k0时，直线MN的方程为yk12k21kx 2k212k2，化简得kyxk212k20.令y0，得mk212k2.所以mk212k211k220，12.综上所述，实数m的取值范围为0，12.解析几何中的范围问题是高考的热点，在圆锥曲线的综合问题中经常出现，求解此类问题的关键是抓住函数关系，将目标量表示为一个(或者多个)变量的函数，然后借助于函数的性质来使问题得以解决(2019衡水中学高三一调)已知焦点在y轴上的抛物线C1过点(2,1)，椭圆C2的两个焦点分别为F1，F2，其中F2与C1的焦点重合，过点F
12、1与C2的长轴垂直的直线交C2于A，B两点，且|AB|3，曲线C3是以坐标原点O为圆心，以|OF2|为半径的圆(1)求C2与C3的标准方程；(2)若动直线l与C3相切，且与C2交于M，N两点，求OMN的面积S的取值范围解(1)由已知，设抛物线C1的方程为x22py(p0)，则42p，解得p2，即C1的标准方程为x24y.则F2(0,1)，不妨设椭圆C2的方程为y2a2x2b21(ab0)，由y2a2x2b21，y1，得xb2a，所以|AB|2b2a 3，又a2b21，所以a2，b 3，故C2的标准方程为y24x231.易知|OF2|1，所以C3的标准方程为x2y21.(2)因为直线l与C3相切
13、，所以圆心O到直线l的距离为1.所以S12|MN|1|MN|2.当直线l的斜率不存在时，其方程为x1，易知两种情况所得到的OMN的面积相等由 y24x231，x1得y2 63.不妨设M1，2 63，N1，2 63，则|MN|4 63，此时S|MN|2 2 63.当直线l的斜率存在时，设其方程为ykxm，则|m|1k21，即m2k21.由y24x231，ykxm得(3k24)x26kmx3m2120，所以36k2m24(3k24)(3m212)48(43k2m2)48(2k23)0恒成立设M(xM，yM)，N(xN，yN)，则xMxN6km3k24，xMxN3m2123k24.所以S|MN|2 121k2xMxN24xMxN12 1k26km3k24243m2123k24121k2 482k233k242 31k22k233k24.令3k24t(t4)，则k2t43，所以S2 332t2t1t22 331t21t2，令1t m，则m0，14，易知ym2m2在区间0，14 上单调递减，所以32S2 63.综上，OMN的面积S的取值范围为32，2 63.本课结束
