1、中难提分突破特训(一)6套中难提分突破特训1在ABC 中，角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，且满足2cbacosBcosA.(1)求角 A 的大小；(2)若 D 为 BC 边上一点，且 CD2DB，b3，AD 21，求 a.解(1)由已知，得(2cb)cosAacosB，由正弦定理，得(2sinCsinB)cosAsinAcosB，整理，得 2sinCcosAsinBcosAsinAcosB，即 2sinCcosAsin(AB)sinC.又 sinC0，所以 cosA12，因为 A(0，)，所以 A3.(2)如图，过点 D 作 DEAC 交 AB 于点 E，又 CD2DB，BAC3，所
2、以 ED13AC1，DEA23.由余弦定理可知，AD2AE2ED22AEEDcos23，解得 AE4，则 AB6.又 AC3，BAC3，所以在ABC 中，由余弦定理，得 aBC3 3.2已知长方形 ABCD 中，AB1，AD 2.现将长方形沿对角线 BD 折起，使 ACa，得到一个四面体 ABCD，如图所示(1)试问：在折叠的过程中，异面直线 AB 与 CD，AD 与 BC 能否垂直？若能垂直，求出相应的 a 值；若不垂直，请说明理由；(2)当四面体 ABCD 的体积最大时，求二面角 ACDB 的余弦值解(1)若 ABCD，由 ABAD，ADCDD，得AB平面 ACD，所以 ABAC.所以 A
3、B2a2BC2，即 12a2(2)2，所以 a1.若 ADBC，由 ADAB，ABBCB，得AD平面 ABC，所以 ADAC，所以 AD2a2CD2，即(2)2a212，所以 a21，无解，故 ADBC 不成立(2)要使四面体 ABCD 的体积最大，因为BCD 的面积为定值 22，所以只需三棱锥 ABCD 的高最大即可，此时平面 ABD平面 BCD，过点 A 作 AOBD 于点 O，则 AO平面 BCD，以 O 为坐标原点建立空间直角坐标系 Oxyz(如图)，则易知 A0，0，63，C63，33，0，D0，2 33，0，显然，平面 BCD 的一个法向量为OA 0，0，63.设平面 ACD 的法
4、向量为 n(x，y，z)因为CD 63，33，0，DA 0，2 33，63，所以 6x 3y，2 3y 6z，令 y 2，得 n(1，2，2)观察可知二面角 ACDB 为锐二面角，故二面角 ACDB 的余弦值为|cosOA，n|2 6363 1242 77.3已知动点 P 与两个定点 O(0,0)，A(3,0)的距离的比为12.(1)求动点 P 的轨迹 C 的方程；(2)过点 B(2,1)的直线 l 与曲线 C 交于 M，N 两点，求线段 MN 长度的最小值；(3)已知圆 Q 的圆心为 Q(t，t)(t0)，且圆 Q 与 x 轴相切，若圆 Q 与曲线C 有公共点，求实数 t 的取值范围解(1)
5、由题意，设 P(x，y)，则|AP|2|OP|，即|AP|24|OP|2，所以(x3)2y24(x2y2)，整理得(x1)2y24.所以动点 P 的轨迹 C 的方程为(x1)2y24.(2)由(1)知轨迹 C 是以 C(1,0)为圆心，以 2 为半径的圆又因为(21)2120)，且圆 Q 与 x 轴相切，所以圆 Q 的半径为 t，所以圆 Q 的方程为(xt)2(yt)2t2.因为圆 Q 与圆 C 有公共点，又圆 Q 与圆 C 的两圆心距离为|CQ|t12t02 2t22t1，所以|2t|CQ|2t，即(2t)22t22t1(2t)2，解得32 3t3.所以实数 t 的取值范围是32 3，34.
6、在平面直角坐标系 xOy 中，曲线 C1 的参数方程为x32cos，y32sin(为参数)，直线 C2 的普通方程为 y 33 x.以坐标原点 O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系(1)求曲线 C1 和直线 C2 的极坐标方程；(2)若直线 C2 与曲线 C1 交于 A，B 两点，求 1|OA|1|OB|.解(1)由曲线 C1 的参数方程为x32cos，y32sin(为参数)，得曲线 C1 的普通方程为(x3)2(y3)24，所以曲线 C1 的极坐标方程为(cos3)2(sin3)24，即 26cos6sin140.因为直线 C2 过原点，且倾斜角为6，所以直线 C2 的极坐标方程为 6
7、(R)(2)设点 A，B 对应的极径分别为 1，2，由26cos6sin140，6，得 2(3 33)140，所以 123 33，1214，又 10，20，所以 1|OA|1|OB|OA|OB|OA|OB|1212 3 3314.5设 f(x)|x|2|xa|(a0)(1)当 a1 时，解不等式 f(x)4；(2)若 f(x)4，求实数 a 的取值范围解(1)当 a1 时，f(x)|x|2|x1|，当 x0 时，由 23x4，得23x1 时，由 3x24，得 1x2.综上，不等式 f(x)4 的解集为23，2.(2)f(x)|x|2|xa|2a3x，xa.可见，f(x)在(，a上单调递减，在(a，)上单调递增当 xa 时，f(x)取得最小值 a.所以，a 的取值范围为4，)本课结束
