1、四川省遂宁市射洪县射洪中学校2019-2020学年高二数学下学期期中试题 理（含解析）一、选择题1.已知复数z=2+i，则A. B. C. 3D. 5【答案】D【解析】【分析】题先求得，然后根据复数的乘法运算法则即得.【详解】 故选D.【点睛】本题主要考查复数的运算法则，共轭复数的定义等知识，属于基础题.2.若“”，“”，则是的（ ）A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】A【解析】【分析】根据，由充分不必要条件的概念分析可得答案.【详解】因为，所以是的充分不必要条件.故选：A.【点睛】本题考查了充分不必要条件，属于基础题.3.如图所示的三角
2、形数组是我国古代数学家杨辉发现的，称为杨辉三角形，根据图中的数构成的规律，a所表示的数是( ) A. 5B. 4C. 6D. 9【答案】C【解析】【分析】由杨辉三角形中，各数值等于其“肩数”之和，求得答案.【详解】杨辉三角形中，各数值等于其“肩数”之和，所以a=3+3=6.故选：C【点睛】本题考查杨辉三角中数据的特征，属于基础题.4.已知双曲线以椭圆的焦点为顶点，左右顶点为焦点，则的渐近线方程为( )A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】根据已知条件求出值，即可求解.【详解】由题意知的焦点坐标为，顶点为，故渐近线方程为.故选:A.【点睛】本题考查双曲线的标准方程，以及简单的几何性质
3、，属于基础题.5.在某项测试中，测量结果与服从正态分布，若，则（ ）A. 0.4B. 0.8C. 0.6D. 0.21【答案】B【解析】【分析】根据已知条件,求出正态分布曲线的对称轴为,根据对称性可求出的值,进而可求【详解】解: 测量结果与服从正态分布正态分布曲线的对称轴为 故选:B【点睛】本题考查了正态分布中概率问题的求解.在解此类问题时,结合正态分布曲线图像进行求解,其关键是找到曲线的对称轴.6.如图是函数的导函数的图象，则下面判断正确的是( )A. 在区间内，是增函数B. 在内，是减函数C. 在内，是增函数D. 在时，取到极小值【答案】C【解析】【分析】根据导数大于零，函数递增；导数小于
4、零，函数递减；先增后减，函数有极大值；先减后增，函数有极小值，对选项逐一进行判断即得答案.【详解】解：由图象知当x2或x4时，函数为增函数，当或2x4时，函数为减函数，则当x或x4函数取得极小值，在x2时函数取得极大值，故ABD错误，正确的是C，故选：C.【点睛】本题考查了导函数的正负和原函数单调性关系，以及极大值极小值的判断，考查学生对于图像的理解和判断，基础题.7.在200件产品中有3件次品，现从中任意抽取5件，其中至少有2件次品的抽法有（ ）A. 种B. 种C. 种D. 种【答案】D【解析】分析：据题意，“至少有2件次品”可分为“有2件次品”与“有3件次品”两种情况，由组合数公式分别求得
5、两种情况下的抽法数，进而相加可得答案详解：根据题意，“至少有2件次品”可分为“有2件次品”与“有3件次品”两种情况，“有2件次品”的抽取方法有C32C1973种，“有3件次品”的抽取方法有C33C1972种，则共有C32C1973+C33C1972种不同的抽取方法，故选D点睛：本题考查组合数公式的运用，解题时要注意“至少”“至多”“最多”“最少”等情况的分类讨论8.二项式展开式中的常数项为A. B. C. D. 【答案】B【解析】展开式的通项为，令得，所以展开式中的常数项为，故选B.【方法点晴】本题主要考查二项展开式定理的通项与系数，属于简单题. 二项展开式定理的问题也是高考命题热点之一，关于
6、二项式定理的命题方向比较明确，主要从以下几个方面命题：（1）考查二项展开式的通项公式；（可以考查某一项，也可考查某一项的系数）（2）考查各项系数和和各项的二项式系数和；（3）二项展开式定理的应用.9.过抛物线的焦点，且斜率为的直线交抛物线于两点，则（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】求得过焦点，且斜率为的直线方程，联立方程组，由根与系数的关系，求得，结合抛物线的定义，即可求解.【详解】由题意，抛物线，可得，即，所以焦点坐标为，则过抛物线的焦点，且斜率为的直线方程，联立方程组，整理得，可得，又由抛物线的定义，可得.故选：D.【点睛】本题主要考查了直线与抛物线的位置关系，以及焦
7、点弦长的求解，其中解答中将直线与抛物线联立，合理利用根与系数的关系，结合抛物线的定义求解是解答的关键，着重考查运算与求解能力.10.名同学中，有名个人获得了全国数学联赛一等奖，人没有获得.现在从中任选名同学，已知其中名同学获得全国一等奖，则另外一名同学也获得全国一等奖的概率为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】分析】先求从中任选名同学，其中至少名同学获得全国一等奖的概率，再求从中任选名同学，其中2名同学都获得全国一等奖的概率，最后根据条件概率公式求结果.【详解】从中任选名同学，其中至少名同学获得全国一等奖的概率为;从中任选名同学，其中2名同学都获得全国一等奖的概率为；因此从中任选名
8、同学，已知其中名同学获得全国一等奖，则另外一名同学也获得全国一等奖的概率为故选：B【点睛】本题考查条件概率，考查基本分析求解能力，属基础题.11.已知是定义在上的函数，且对于任意，不等式恒成立，则整数的最小值为（ ）A 1B. 2C. 3D. 4【答案】A【解析】【分析】利用的单调性和奇偶性，将抽象不等式转化为具体不等式，然后将恒成立问题转化成最值问题，借助导数知识，即可解决问题【详解】，可知，且单调递增，可以变为，即，可知，设，则，当时，当时，单调递增；当时，单调递减，可知，整数的最小值为1.故选A.【点睛】本题主要考查了函数的性质、抽象不等式的解法、以及恒成立问题的一般解法，意在考查学生综
9、合运用所学知识的的能力12.已知函数，若时，恒有，则的最大值为( )A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】对函数求导并带入已知不等式中，将不等式恒成立问题由构造新函数并借助导数利用分类讨论求最小值即可求出ab的不等式关系，进而表示，再令并构造，利用导数求得最大值即可.【详解】因为函数，则，由题可知，对，恒有成立，令，则，当时，函数在R上单调递增，且时，不符合题意；当时，当时，令，所以函数在上单调递增，且在上单调递减；所以，故，令，则，且，当时，函数单调递增；当时，函数单调递减，所以，故，综上所述，的最大值为.故选：C【点睛】本题考查利用导数解决不等式恒成立问题，还考查了利用分类讨论
10、求参数的最值，属于难题.二、填空题13.甲、乙两人单独解出某数学题的概率为，则两人都不能解出该数学的概率为_.【答案】【解析】【分析】根据乙两人单独解出某数学题的概率为，得到甲、乙各自不单独解出某数学题的概率，然后利用独立事件的概率求解.【详解】因为甲、乙两人单独解出某数学题的概率为，所以甲不单独解出某数学题的概率为， 乙不单独解出某数学题的概率为， 所以两人都不能解出该数学的概率为故答案为：【点睛】本题主要考查独立事件的概率，还考查了运算求解的能力，属于基础题.14.函数的图象在处的切线方程为，则_.【答案】【解析】【分析】利用导数和斜率的关系列方程，由此求得的值.【详解】依题意，由于函数的
11、图象在处的切线方程为，直线的斜率为，所以.故答案为：【点睛】本小题主要考查根据切线方程求参数，属于基础题.15.设椭圆的左右焦点为，作作轴的垂线与交于两点，与轴交于点，若，则椭圆的离心率等于_.【答案】【解析】试题分析：因为平行于，所以为中点，又，所以设则因此考点：椭圆的离心率16.已知函数，现给出下列结论：有极小值，但无最小值有极大值，但无最大值若方程恰有一个实数根，则若方程恰有三个不同实数根，则其中所有正确结论的序号为_【答案】【解析】 所以当 时， ；当 时， ；当 时， ；因此有极小值，也有最小值，有极大值，但无最大值；若方程恰有一个实数根，则或; 若方程恰有三个不同实数根，则,即正确
12、结论的序号为点睛：对于方程解的个数(或函数零点个数)问题，可利用函数的值域或最值，结合函数的单调性、草图确定其中参数范围从图象的最高点、最低点，分析函数的最值、极值；从图象的对称性，分析函数的奇偶性；从图象的走向趋势，分析函数的单调性、周期性等三、解答题17.已知，.写出命题的否定；若为真命题，求实数的取值范围.【答案】，；.【解析】【分析】利用全称命题的否定的定义即可得出结论；由题意知命题和命题都为真，进而列式得出结论.【详解】解：，.若为真命题，则命题和命题都为真，为真时，为真时，即，.【点睛】本题考查命题真假的判断方法，不等式的性质及其解法，考查推理能力与计算能力，属于基础题.18.（1
13、）本不同的书分给甲、乙两人，每人至少一本，共有多少种不同分法？（2），求下列各式的值：；.【答案】（1）；（2）；【解析】【分析】(1)先把书分成两堆，再分给甲乙两人可得.(2)赋值令可得，赋值令，两式相加可得【详解】（1）第一步先把书分成两堆有种，第二步再分给甲乙两人有种，则（2）（1）令，则（2）令，则+得：【点睛】二项展开式中系数和的问题(1)利用赋值法求解时，注意各项的系数是指某一项的字母前面的数值(包括符号)；(2)在求各项的系数的绝对值的和时，首先要判断各项系数的符号，然后将绝对值去掉，再进行赋值19.已知函数在处有极值.（1）求的解析式.（2）求函数在上的最值.【答案】(1) (
14、2) 最大值为为 【解析】分析：（1）先求出函数的导数，根据，联立方程组解出的值，即可得到的解析式；（2）求出，分别令求得的范围，可得函数增区间，求得的范围，可得函数的减区间，利用单调性可得函数的极值，然后求出的值，与极值比较大小即可求得函数的最值.详解：（1）由题意：，又 由此得： 经验证： （2）由（1）知， 又 所以最大值为为 点睛：本题主要考查利用导数判断函数的单调性以及函数的极值与最值，属于中档题.求函数极值的步骤：(1) 确定函数的定义域；(2) 求导数；(3) 解方程求出函数定义域内的所有根；(4) 列表检查在的根左右两侧值的符号，如果左正右负（左增右减），那么在处取极大值，如果
15、左负右正（左减右增），那么在处取极小值. （5）如果只有一个极值点，则在该处即是极值也是最值；（6）如果求闭区间上的最值还需要比较端点值的函数值与极值的大小.20.空气质量指数（，简称）是定量描述空气质量状况的指数，空气质量按照大小分为六级：为优；为良；为轻度污染；为中度污染；为重度污染；为严重污染.一环保人士记录去年某地某月10天的的茎叶图如下.（1）利用该样本估计该地本月空气质量优良（）的天数；（按这个月总共30天计算）（2）将频率视为概率，从本月中随机抽取3天，记空气质量优良的天数为，求的概率分布列和数学期望.【答案】（1）；（2）分布列见解析，.【解析】【分析】（1）茎叶图显示，天中共
16、有天是优良的，故一个月有天优良；（2）相当于三次独立重复实验，故满足二项分布，根据二项分布的计算公式计算分布列和数学期望.【详解】（1）茎叶图显示，天中共有天是优良的，故一个月优良天数 （2）由（1）估计某天气质量优良的概率为，的所有可能取值为0，1，2，3，故的分布列为：0134显然考点：古典概型，二项分布.21.已知椭圆的离心率为，短半轴为.（1）求椭圆的方程；（2）若过定点的直线交椭圆于不同的两点，求弦长的最大值.【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）根据离心率公式以及短半轴概念列方程组，解得，即得结果；（2）先考虑斜率不存在的情况，与椭圆方程联立求出坐标，再根据两点间距离公式求；
17、然后考虑斜率存在的情况，与椭圆方程联立，利用韦达定理，结合弦长公式求，再换元利用二次函数性质求取值范围，最后确定最大值.【详解】（1）由已知有得：，椭圆方程为（2）当直线斜率不存在时，或，此时弦长当直线斜率存在时，设的方程为：，由消去得：，此时恒成立，设、，可得：，令，则，因为，所以.综上，弦长的最大值为.【点睛】本题考查椭圆方程、直线与椭圆的弦长问题、利用二次函数求最值，考查基本分析求解能力，属中档题.22.设函数(其中).()当时,求函数的单调区间；()当时,求函数在上的最大值.【答案】()函数的递减区间为,递增区间为,.()函数在上的最大值.【解析】【详解】（1）当时,令,得,当变化时,的变化如下表:单调递增极大值单调递减极小值单调递增右表可知,函数的递减区间为,递增区间为,.（2）令,得,，令，则，所以上递增，所以,从而,所以，所以当时,;当时,；所以令，则，令，则在上递减，而所以存在使得，且当时，,当时，所以在上单调递增，在上单调递减.因为，所以在上恒成立，当且仅当时取等号，所以，综上，函数在上的最大值.考点：1、导数在研究函数性质中的综合应用；2、等价转化的思想.
