1、理科数学试卷一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小題给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1. 已知集合，则中元素的个数为（ ）A. 4B. 9C. 8D. 6【答案】A【解析】【分析】根据题中条件，分别讨论和两种情况，即可得出结果.【详解】，当时，；当时，所以共有4个元素，故选：A.【点睛】本题主要考查判断集合中元素的个数，属于基础题型.2. 若，则z的共轭复数的虚部是（ ）A. B. C. 1D. 【答案】C【解析】【分析】由题意得，然后根据复数的运算法则化简计算，然后确定其共轭复数虚部.【详解】因为，所以，虚部为.故选：C.【点睛】本题考查复数的相关概念及化简计
2、算，属于基础题.3. 已知随机变量满足，若，则（ ）A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】C【解析】【分析】根据题目已知条件写出的分布列，取特殊值计算出两者的期望和方差，由此得出正确选项.【详解】依题意可知：0101由于，不妨设.故,，故选C.【点睛】本小题主要考查随机变量分布列期望和方差的计算，考查分析与阅读理解能力，属于中档题.4. 设函数，求（ ）A. 16B. 8C. 15D. 9【答案】D【解析】【分析】直接利用分段函数的关系式和对数的运算的应用求出结果【详解】；，故选：D.【点睛】本题考查分段函数，对数的运算，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题5. 已
3、知双曲线的左焦点为F，离心率为.若F到双曲线的一条渐近线的距离为2，则双曲线的方程为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】利用焦点到渐近线距离可解得，再根据离心率可解得，则可得出双曲线的方程.【详解】由题意得，设双曲线的一条渐近线为，即，由点到线距离公式得：，又，解得：，所以双曲线的方程为：.故选：B.【点睛】本题考查双曲线方程的求解，考查双曲线的渐近线、离心率等知识点的运用，较简单.6. 已知向量，向量在方向上的投影为-4，若，则实数的值为（ ）A. 3B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】由，根据向量模的方法求得，再根据在方向上的投影为-4，求得，最后根据平面向量垂
4、直的性质，即可求出实数的值.【详解】解：由题可知，则，在方向上的投影为，则，又，即，即，则，解得：.故选：B.【点睛】本题考查平面向量数量积的应用，以及向量的模的求法和向量垂直的性质基础知识，考查运算求解能力，属于基础题.7. 在中，则（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】运用正弦定理化边，再运用余弦定理求角即可得答案.【详解】由已知得，故由正弦定理得，由余弦定理得，因为，所以，.故选：A.【点睛】本题考查正余弦定理的应用，属于基础题.8. 某几何体的三视图如图所示，则该几何体的侧面积为（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】根据三视图，还原几何体，再进行几何
5、计算即可得答案.【详解】由三视图知，该几何体的直观图如图所示的四棱锥，四棱锥的高为1，四边形是边长为1的正方形，则，则四棱锥的侧面积为，故选：D.【点睛】本题考查三视图还原几何体的直观图，几何体的侧面积的计算，考查空间思维能力和运算能力，是中档题.9. 已知，为锐角，则（ ）A B. C. D. -2【答案】C【解析】【分析】根据同角三角函数关系可求得和，变形，利用两角和差正切公式可求得结果.【详解】因为，为锐角，所以.又因为，所以 ，因此.因为，所以 ，因此，故选：C.【点睛】本题考查同角三角函数值的求解、两角和差正切公式的应用；关键是能够利用已知角配凑出所求角的形式，从而利用两角和差正切公
6、式来进行求解；易错点是忽略角所处的范围，造成同角三角函数值求解时出现符号错误.属于基础题.10. 已知函数有唯一零点，则（ ）A. 1B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】把函数等价转化为偶函数，利用偶函数性质，有唯一零点，由得解.【详解】因为，令 则， 因为函数有唯一零点，所以也有唯一零点，且为偶函数，图象关于轴对称，由偶函数对称性得，所以，解得，故选：D.【点睛】本题考查函数零点的情况求参数的值，属于中档题.11. 已知抛物线的焦点为F，过点F作两条互相垂直的直线，与C交于P，Q两点，与C交于M，N两点，设的面积为，的面积为（O为坐标原点），则的最小值为（ ）A. 10B. 16C.
7、 14D. 12【答案】B【解析】【分析】设：与抛物线方程联立后，利用韦达定理可以表示出和，再利用基本不等式即可求最小值.【详解】设，直线：，联立方程消y得，因为，所以，所以，又原点O到直线的距离为，所以 ，同理，所以，当且仅当“”时取等号，故的最小值为16，故选：B【点睛】圆锥曲线中的最值问题通常需要用韦达定理构建函数关系式，自变量可以使直线的斜率或点的坐标，利用基本不等式或导数求出最值，属于难题.12. 已知，则a，b，c的大小关系是（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】分析】根据题中条件，由对数函数的性质，确定a，b，c的大致范围，即可得出结果.【详解】因为，即，综上，.故选：
8、C.【点睛】本题主要考查比较对数的大小，熟记对数函数的性质即可，属于基础题型.二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13. 已知实数x，y满足条件，则的最小值是_.【答案】【解析】【分析】根据约束条件画出可行域，由目标函数的几何意义，结合图形，即可求出最值.【详解】画出约束条件表示的平面区域如下，因为可化为，则表示直线在轴上的截距，由图像可得，当直线过点时，在轴上的截距最小，即最小；所以当目标函数经过点时，z取得最小值.故答案为：.【点睛】本题主要考查求线性目标函数的最值，利用数形结合的方法求解即可，属于基础题型.14. 在的展开式中，的系数是_.【答案】【解析】【分析】利用二项展
9、开式的通项公式求解即可.【详解】在的展开式中，通项公式为，令，可得的系数为.故答案为：【点睛】本题考查二项式定理的应用，属于基础题.15. 在三棱锥中，平面，其外接球表面积为，则三棱锥的体积的最大值为_.【答案】【解析】【分析】设的外心为点，外接球的球心为，过点作于点，令，由得，所以，利用导数求解体积的最大值.【详解】如图所示，令，则，外接球表面积为，所以半径，在中，即，即，得，所以体积，令，在上单调递增，在上单调递减，所以时，的最大值为.故答案为：【点睛】本题考查了三棱锥的体积的计算，考查了利用导数求解最值，考查了学生的直观想象与运算求解能力.16. 已知函数，下述五个结论：若，且在有且仅有
10、5个零点，则在有且仅有3个极大值点；若，且在有且仅有4个零点，则在有且仅有3个极小值点；若，且在有且仅有5个零点，则在上单调递增；若，且在有且仅有4个零点，则的范围是；若的图象关于对称，为它的一个零点，且在上单调，则的最大值为11.其中所有正确结论的编号是_.【答案】【解析】【分析】画出的大致图象，即可判断；对于，由题可得，当时，所以，故判断；对于，由得范围，故可判断；对于，由题知，又在上单调，所以，将，代入验证即可.【详解】若，在上有5个零点，可画出大致图象，由图3可知，在有且仅有3个极大值点，故正确；若，且在有且仅有4个零点，同样由图可知在有且仅有2个极小值点，故错误；若，由在上有5个零点
11、，得，即，当时，所以，所以在上单调递增，故正确；若，因为，因为在有且仅有4个零点，所以，所以，所以正确；若的图象关于对称，为它的零点，则(，T为周期)，得，又在上单调，所以，又当时，在上不单调；当时，在上单调，满足题意，故的最大值为9，故不正确.故答案：【点睛】本题考查三角函数的图象与性质，考查函数的零点与极值相关概念，考查了数形结合的思想，考查学生的逻辑推理与运算求解能力.三、解答题（共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17. 已知等比数列满足，在公差不为0的等差数列，中，且，成等比数列.（1）求数列，的通项公式；（2）记，求.【答案】（1），；（2）.【解析】【分析】（1）设
12、等比数列公比为，结合条件求出和，根据等比数列的通项公式，即可求出数列的通项公式；设等差数列的公差为，结合条件，根据等比中项的性质即可求出和，最后根据等差数列的通项公式，即可求出数列的通项公式；（2）由于，利用错位相减法进行求和，即可得出结果.【详解】解：（1）设等比数列的公比为，则得，所以，设等差数列的公差为，且，成等比数列，.（2），得，即，.【点睛】本题考查等差数列和等比数列的通项公式，以及等比中项的性质和利用错位相减法求和，考查化简运算能力.18. 某项科研活动共进行了5次试验，其数据如下表所示：特征量第1次第2次第3次第4次第5次x258911y1210887（1）根据表中的数据，运用
13、相关系数进行分析说明，是否可以用线性回归模型拟合y与x的关系？并指出是正相关还是负相关（2）求特征量y关于x的回归方程，并预测当特征量x为12时特征量y的值；（3）设特征量x满足，其中近似为样本平均数，近似为样本方差，求.附：参考公式：相关系数，.参考数据：，若，则，【答案】（1）可以用线性回归模型拟合y与x的关系；负相关；（2）；时，；（3）.【解析】【分析】（1）根据题中数据，结合相关系数的公式，求出相关系数，即可判断出结论；（2）根据最小二乘法，求出，即可得出线性回归方程，从而可得预测值；（3）根据正态分布的对称性，根据题中条件，即可求出结果.【详解】（1）由题意得，因而相关系数.由于很
14、接近1，说明x，y线性相关性很强，因而可以用线性回归方程模型拟合y与x的关系.由于，故其关系为负相关.（2）由（1）知，则所求的回归方程是.当特征量x为12时，可预测特征量.（3）由（1）知，又由，得，从而.【点睛】本题考查相关系数的计算以及线性相关性的判定，考查最小二乘法求回归方程，根据回归方程进行预测，考查正态分布指定区间的概率，属于常考题型.19. 如图所示，在三棱锥中，O为的中点.（1）证明：平面；（2）若点M在棱上，且二面角为30，求三棱锥的体积.【答案】（1）证明见详解；（2）.【解析】【分析】（1）连接，先证明，再证明，然后利用线面垂直的判定定理证明平面；（2）以O为坐标原点，以
15、、所在直线分别为x轴、轴、轴建立空间直角坐标系，设，利用空间向量分别计算平面的法向量，取平面的法向量，利用法向量夹角的余弦值为求解的值，得出点的位置，然后计算三棱锥的体积.【详解】（1）证明：因为，O为AC的中点，所以，且.如图，连接，因为，所以为等腰直角三角形，且，.则，所以，由，平面，平面，且,所以平面.（2）如图所示，以O为坐标原点，以、所在直线分别为x轴、轴、轴建立空间直角坐标系.由已知得，取平面PAC的法向量，设，则，设平面PAM的法向量为，由，得可取，所以.由已知可得，所以，解得(舍去)，则，所以三棱锥的体积为.【点睛】本题考查线面垂直的证明，考查利用空间向量方法解决二面角问题，考
16、查学生的基本运算能力、逻辑推理能力，难度较大. 解决夹角问题时，平面法向量的计算是关键.20. 已知函数，.（1）当时，求函数的最小值；（2）若时，求实数a的取值范围.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）将代入，然后求导，利用导数分析函数的单调性并确定其最小值；（2）若时，则，令，当时，可证恒成立，则函数在区间上单调递增，则成立；当时，令，求导可分析得到，则在区间上单调递增，由于，则在上存在零点，设，则可得函数在区间上单调递减，所以（舍）.综上可得出的取值范围.【详解】（1）当时，函数的解析式为，则，由，得，当时，当时，所以函数在区间上单调递增，在区间上单调递减，函数的最小值为.（2
17、）若时，即(*)，令，则.若，由（1）知，即，故，函数在区间上单调递增，（*）式成立；若，令，则，函数在区间上单调递增，由于，故，使得，则当时，即，函数在区间上单调递减，即（*）式不恒成立.综上所述，实数a的取值范围是.【点睛】本题考查利用导数研究函数的单调性及最值，考查根据不等式恒成立问题求解参数的取值范围,难度较大.解答时，分类讨论得出原函数的单调性是解题的核心.21. 已知椭圆的离心率为，且抛物线的焦点恰好是椭圆的一个焦点.（1）求椭圆的方程；（2）与圆相切的直线交椭圆于两点，若椭圆上存在点满足，为坐标原点，求四边形面积的取值范围.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）根据离心率
18、和焦点坐标可构造方程求得，进而得到椭圆方程；（2）根据直线与圆相切可求得的范围，将直线与椭圆方程联立可得韦达定理的形式，利用，可将所求面积整理为关于的函数，通过求解函数的值域可求得所求面积的取值范围.【详解】（1）设椭圆的焦距为，离心率为，又点是抛物线和椭圆的焦点，椭圆的方程为.（2）直线与圆相切，原点到直线的距离为，即，.设，由消去得：，又在椭圆上，.设的中点为，则，四边形的面积，令，四边形面积的取值范围为.【点睛】本题考查直线与椭圆综合应用问题，涉及到椭圆标准方程的求解、直线与圆位置关系的应用、椭圆中的四边形面积问题的求解；求解面积取值范围的关键是能够将所求面积表示为关于某一变量的函数关系
19、式的形式，利用函数值域的求解方法求得所求的范围，属于较难题.请考生在第22、23两题中任选一题作答，并用2B铅笔在答题卡上把所选題目的題号涂黑.注意所做题目的题号必须与所涂题目的題号一致，在答题卡选答区域指定位置答题.如釆多做，则按所攽的第一題计分.22. 在直角坐标系中，直线l的参数方程为（t为参数，），在以原点O为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C的极坐标方程为.（1）求l的普通方程和C的直角坐标方程；（2）若曲线C截直线l所得线段的中点的直角坐标为，求直线l的极坐标方程.【答案】（1）l的普通方程为或；C的直角坐标方程为；（2）【解析】【分析】（1）分和两种情况，即可得出直线的普
20、通方程；根据曲线的极坐标方程，由极坐标与直角坐标的互化公式，即可得出C的直角坐标方程；（2）将直线的参数方程代入，根据弦中点坐标，求出，即可得出直线的直角坐标方程，从而可得到其极坐标方程.【详解】（1）当时，l的普通方程为； 当时，l的普通方程为，即.由，得，即.（2）将代入中，整理得，依题意得，即，即，得，所以直线l的斜率为，直线l的一般方程为，则直线l的极坐标方程为.【点睛】本题主要考查直角坐标方程与极坐标方程的互化，考查参数方程与普通方程的互化，考查参数下的弦中点问题，属于常考题.23. 设函数的最小值为m，且.（1）求m及t的值；（2）若正实数a，b，c满足.证明：.【答案】（1）；（2）证明见解析.【解析】【分析】（1）等价变形为分段函数，得函数在上单减，上单增，且是连续函数，求得在时取得最小值得解.（2）由柯西不等式得证.【详解】（1）解：由则函数在上单减，上单增，且是连续函数，所以在时取得最小值，.（2）证明：因为a，b，c均为正实数，由柯西不等式，即，当且仅当时，取等号.【点睛】本题考查绝对值函数的最值求参数及运用柯西不等式证明不等式成立，属于基础题.
