1、山东省实验中学2015级高三第三次诊断性考试数学试题(理科)201712说明：本试卷满分150分。分为第I卷(选择题)和第卷(非选择题)两部分，第I卷为第1页至第3页，第卷为第4页至第6页试题答集请用2B铅笔或0.5mm签字笔填涂到答题卡规定位置上，书写在试题上的答案无效，考试时间120分钟第I卷(共60分)一、选择题(本大题共12小题。每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1. 设集合，则集合A. B. C. D. 【答案】D【解析】集合 ，根据集合的交集的概念得到集合 。故得到答案为：D。2. 设向量，则实数x的值是A. 0 B. C. 2 D. 2【答案
2、】D【解析】向量因为，由向量平行的坐标运算得到 故答案为：D。3. 己知实数满足约束条件的最大值为A. B. C. 3 D. 4【答案】C【解析】根据不等式组画出可行域，可得可行域是一个封闭的三角形区域，记和交于点A（1，1），目标函数化为，根据图像可知，当目标函数过点A时，有最大值，代入得到3.故答案为：C。4. 设是两个不同的平面，直线则“”是“”的A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件【答案】B【解析】充分性：若，则存在过直线的平面与不平行，所以充分性不成立；必要性：若，则平面内的任意直线都与平行，则必要性成立，所以是必要不充分条件。
3、故选B。5. 已知等差数列的前项和为，若，则公差d的值为：A. 1 B. 2 C. 4 D. 8【答案】C【解析】由等差数列的概念及前n项和公式得到 故答案为：C。6. 已知不共线的两个向量满足A. B. 2 C. D. 4【答案】B【解析】向量，两边平方得到 化简得到联立两式得到。故答案为：B。7. 中国古代数学名著九章算术中有这样一个问题：今有牛、马、羊食人苗，苗主责之粟五斗，羊主曰：“我羊食半马”马主曰：“我马食半牛”今欲衰偿之，问各出几何?此问题的译文是：今有牛、马、羊吃了别人的禾苗，禾苗主人要求赔偿5斗粟羊主人说：“我羊所吃的禾苗只有马的一半.”马主人说：“我马所吃的禾苗只有牛的一半
4、.”打算按此比例偿还，他们各应偿还多少?已知牛、马、羊的主人应偿还升，b升，c升，1斗为10升；则下列判断正确的是A. 依次成公比为2的等比数列，且B. 依次成公比为2的等比数列，且C. 依次成公比为的等比数列，且D. 够次成公比为的等比数列，且【答案】D【解析】由条件知，依次成公比为的等比数列，三者之和为52升，根据等比数列的前N项和，即 故答案为D。8. 函数的图象可能是A. B. C. D. 【答案】A考点：函数的图像9. 如图是函数 在区间上的图象，为了得到这个函数的图象，只需将y=sinx的图象A. 向左平移个长度单位，再把所得各点的横坐标变为原来的，纵坐标不变B. 向左平移至个长度
5、单位，再把所得各点的横坐标变为原来的2倍，纵坐标不变C. 向左平移个长度单位，再把所得各点的横坐标变为原来的，纵坐标不变D. 向左平移个长度单位，再把所得各点的横坐标变为原来的2倍，纵坐标不变【答案】A【解析】由图可知A=1，T=，=2，又+=2k（kZ），=2k+（kZ），又0，=，y=sin（2x+）为了得到这个函数的图象，只需将y=sinx（xR）的图象上的所有向左平移个长度单位，得到y=sin（x+）的图象，再将y=sin（x+）的图象上各点的横坐标变为原来的 （纵坐标不变）即可故答案为A。10. 三棱锥面ABC，则该三棱锥外接球的表面积为A. B. C. D. 【答案】B【解析】如图
6、所示，将三棱锥补形为一个长宽高分别为的长方体，则三棱锥的外接球即长方体的外接球，设外接球半径为，则：，即，该三棱锥外接球的表面积为.本题选择B选项.点睛：与球有关的组合体问题，一种是内切，一种是外接解题时要认真分析图形，明确切点和接点的位置，确定有关元素间的数量关系，并作出合适的截面图，如球内切于正方体，切点为正方体各个面的中心，正方体的棱长等于球的直径；球外接于正方体，正方体的顶点均在球面上，正方体的体对角线长等于球的直径.11. 为了竖一块广告牌，要制造三角形支架，如图，要求，BC的长度大于1米，且AC比AB长0.5米，为了稳固广告牌，要求AC越短越好，则AC最短为A. 米 B. 2米C.
7、 米 D. 米【答案】D【解析】由题意设米，米，依题设米，在中，由余弦定理得：，即，化简并整理得：，即，因，故（当且仅当时取等号），此时取最小值，应选答案D。12. 已知定义在R的函数是偶函数，且满足上的解析式为，过点作斜率为k的直线l，若直线l与函数的图象至少有4个公共点，则实数k的取值范围是A. B. C. D. 【答案】C【解析】根据题意知道函数是偶函数，且满足，故函数还是周期为4的函数，根据表达式画出图像是定义在R上的周期性的图像，一部分是开口向下的二次函数，一部分是一次函数，当k0时，根据题意知两图像有两个交点，当直线和图像,相切时是一种临界，要想至少有4个交点，斜率要变小；故设切点
8、为 当k0时，临界是过点（-6，1）时，此时,要想至少有4个交点需要逆时针继续旋转，斜率边大，直到和x轴平行。故两种情况并到一起得到：实数k的取值范围是。故答案为：C。点睛：这个题目考查了已知函数的零点个数求参数的范围的问题；一般常用的方法是，转化为函数图像和轴的交点问题，或者转化为两个函数图像的交点问题，还可以转化为方程的根问题。第II卷(非选择题，共90分)二、填空题(本题共4小题，每小题5分，共20分.)13. 若点在函数的图象上，则=_【答案】【解析】点在函数的图象上，故将点代入得到 代入正切值得到：。故答案为：。14. 一简单组合体的三视图如图，则该组合体的体积为_【答案】【解析】由
9、三视图知：几何体是长方体中挖去一个半径为1的圆柱，且圆柱与长方体的高都是1，长方体的长为2+1+1=4，宽为0.5+2+0.5=3，几何体的体积V=V长方体V圆柱=431121=1215. 已知函数，且，则的最小值为_.【答案】9.【解析】画出了函数图像，故得到a和b是关于轴对称的，； 等号成立的条件为： 故答案为：9.16. 己知数列，数列的前n项和记为，则_.【答案】 故答案为：。点睛：这个题目考查了数列通项公式的求法，数列前n项和的求法；求通项一般会用到观察归纳的方法，构造新数列的方法；求和会用到裂项相消求和，倒序相加求和，错位相减求和等方法。三、解答题(共70分.解答应写出文字说明、证
10、明过程或演算步骤.第17-21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.)17. 已知函数(I)求函数的最小正周期和单调递减区间；(II)在中，A，B，C的对边分别为a,b,c,，求的值【答案】(1) 函数的单减区间为;(2) .【解析】试题分析：(1)整理函数的解析式为 ，结合三角函数的性质可得 ，单调减区间为 (2)由题意结合余弦定理得到关于边长的方程组，求解方程组可得.试题解析： (1)周期为 因为 所以所以函数的单调减区间为 （2）因为，所以 所以，(1) 又因为，所以 (2) 由（1），（2）可得18. 已知数列的前项和为.(I)求证：数列为等差数
11、列；(II)令，求数列的前n项和【答案】(1)见解析；（2）【解析】试题分析：（1）将式子变形得到，得到数列是首项为5，公差为1的等差数列，根据等差数列概念证明即可。（2）由第一问可得，进而得到，接下来错位相减求和即可。解析：由得，又因为，所以数列是首项为5，公差为1的等差数列。由可知，当时， 又也符合上式，所以 所以，故得到 故。 19. 某省电视台为了解该省卫视一档成语类节目的收视情况，抽查东西两部各5个城市，得到观看该节目的人数(单位：千人)如下茎叶图所示其中一个数字被污损(I)求东部各城市观看该节目观众平均人数超过西部各城市观看该节目观众平均人数的概率；(II)节目的播出极大激发了观众
12、对成语知识的学习与积累的热情。现从观看节目的观众中随机统计了4位观众的周均学习成语知识的时间y(单位：小时)与年龄x(单位：岁)，并制作了对照表(如下表所示)；由表中数据分析，x，y呈线性相关关系，试求线性回归方程，并预测年龄为60岁观众周均学习成语知识的时间参考数据：线性回归方程中的最小二乘估计分别是【答案】（1）概率为；（2），预测60岁观众的学习成语的时间为5.25小时.【解析】试题分析：（1）求出基本事件的个数，总的事件个数，让满足条件的事件个数除以总的事件个数，即可求出概率；（2）求出回归系数，代入样本中心，可得回归方程，将x=60代入方程，即可预测年龄为60岁观众周均学习成语知识时
13、间解析：（1）设被污损的数字为a，则a有10种情况令88+89+90+91+9283+83+97+90+a+99，则a8， 东部各城市观看该节目观众平均人数超过西部各城市观看该节目观众平均人数，有8种情况，其概率为； （2）由题意可知 =35， =3.5， 所以 所以 当时， =5.25小时 预测60岁观众的学习成语的时间为5.25小时。20. 如图，三棱柱中，M，N分别为的中点(I)证明：直线MN/平面CAB1；(II)若四边形ABB1A1是菱形，且，求平面和平面所成的角(锐角)的余弦值【答案】(1)见解析；(2)余弦值为.【解析】试题分析：(1)由题意结合几何关系可证得，利用线面平行的判定
14、定理可证得直线MN/平面CAB1；(2)结合几何体的特征建立空间直角坐标系，利用半平面的法向量可求得平面和平面所成的角(锐角)的余弦值为.试题解析：（1）设与交于点，连接，因为四边形是平行四边形，所以是是的中点，是的中点，所以.又因为是的中点，所以.所以，所以四边形是平行四边形，所以.又因为平面，平面，所以直线平面. （2）因为平行四边形是菱形，所以.又因为，所以.又且是的中点，所以.又因为，所以，所以，故，从而两两垂直. 以为坐标原点，所在直线分别为轴建立如图空间直角坐标系， 则，因为两两垂直，所以平面，所以是平面的一个法向量；设是平面的一个法向量，则，即，令,得，所以 所以所以平面和平面所
15、成的角（锐角）的余弦值为点睛：利用平面的法向量求二面角的大小时，当求出两半平面，的法向量n1，n2时，要根据向量坐标在图形中观察法向量的方向，从而确定二面角与向量n1，n2的夹角是相等，还是互补.21. 已知函数(I)求函数的最大值；()令既有极大值，又有极小值，求实数a的范围；(III)求证：当以【答案】（1）1；（2）；（3）见解析.【解析】试题分析：(1)由题意结合导函数的符号确定函数的单调性，据此可得函数的最大值为；(2)原问题等价于一元二次方程在区间内有两个不相等的实数根，据此列出不等式组求解可得实数a的范围是；(3)由题意结合(1)的结论指数裂项放缩即可证得题中的不等式.试题解析：
16、(1) 函数定义域为， 当时,;当时,; 函数在区间上为增函数;在区间为减函数所以 (2)， 既有极大值，又有极小值等价于方程在区间上有两个不相等的正根即：解得.所以所求实数a的取值范围是. (3) 由（1）知当时， 所以。22. 在极坐标系中，点M的坐标为，曲线C的方程为；以极点为坐标原点，极轴为x轴的正半轴建立平面直角坐标系，斜率为的直线l经过点M(I)求直线l和曲线C的直角坐标方程：(II)若P为曲线C上任意一点，直线l和曲线C相交于A，B两点，求PAB面积的最大值【答案】（1）直线方程为y=x+3，曲线C的直角坐标方程为（x1）2+（y1）2=2；（2）【解析】试题分析：（1）根据极坐
17、标和直角坐标的互化公式得到直线方程为y=x+3，曲线C的直角坐标方程为（x1）2+（y1）2=2；（2）由图像的到圆上的点到直线L的距离最大值为，再计算弦长即三角形的底边长，进而得到面积。解析：（1）在极坐标系中，点M的坐标为，x=3cos=0，y=3sin=3，点M的直角坐标为（0，3），直线方程为y=x+3， 由，得2=2sin+2cos，曲线C的直角坐标方程为x2+y22x2y=0，即（x1）2+（y1）2=2 （2）圆心（1，1）到直线y=x+3的距离，圆上的点到直线L的距离最大值为，而弦 PAB面积的最大值为。 23. 已知函数(I)当时，求的解集；(II)若不等式的解集包含，求的取值范围【答案】（1）；（2）。【解析】试题分析：（1）当时，不等式即，利用绝对值的意义求得它的解集；（2）不等式即，分类讨论得到解集，再根据解集中包含，从而得到的取值范围.试题解析：（1）时，原不等式可化为, 当时，原不等式化为,即，此时，不等式的解集为.当时，原不等式化为,即，此时，不等式的解集为.当时，原不等式化为,即，此时，不等式的的解集为.综上,原不等式的解集为.（2）不等式的解集包含,等价于,对恒成立，即对恒成立，所以，即对恒成立，故的取值范围为.考点：绝对值不等式的解法.
