1、2.2.2 直线的方程第1课时 直线的点斜式方程与斜截式方程 必备知识自主学习1.直线的点斜式方程和斜截式方程【思考】直线的点斜式方程能否表示坐标平面上的所有直线呢？提示：不能有斜率的直线才能写成点斜式方程，凡是垂直于x轴的直线，其方程都不能用点斜式表示2直线在y轴上的截距定义：直线l与y轴交点(0，b)的_符号：可正，可负，也可为零纵坐标b【思考】直线在y轴上的截距和直线与y轴交点到原点的距离是一回事吗？提示：不是，直线在y轴上的截距是它与y轴交点的纵坐标，截距是一个实数，可正、可负、可为0.当截距非负时，它等于直线与y轴交点到原点的距离；当截距为负时，它等于直线与y轴交点到原点距离的相反数
2、1辨析记忆(对的打“”，错的打“”)(1)直线 y3m(x1)恒过定点(1，3).()(2)直线 y2x3 在 y 轴上的截距为 3.()(3)直线的点斜式方程也可写成yy0 xx0 k.()提示：(1).根据点斜式的特征可知正确(2).在直线 y2x3 中令 x0 即得 y 轴上的截距为 3.(3).方程写成yy0 xx0 k 需满足 xx0，所以会少一个点2直线 l 经过点 P(2，3)，且倾斜角 45，则直线的点斜式方程是()Ay3x2 By3x2Cy2x3 Dy2x3【解析】选 A.因为直线 l 的斜率 ktan 451，所以直线 l 的方程为 y3x2.3(教材二次开发：例题改编)在
3、 y 轴上的截距为 2，且斜率为3 的直线的斜截式方程为_.【解析】由斜截式方程可得 y3x2.答案：y3x2关键能力合作学习类型一 直线的点斜式方程(数学运算)1经过点(1，1)，斜率是直线 y 22x2 的斜率的 2 倍的直线方程是()Ax1 By1Cy1 2(x1)Dy12 2(x1)【解析】选 C.由条件知已知直线的斜率为 22，故所求直线的斜率是 2，因此所求直线的方程为 y1 2(x1).2已知三角形三顶点 A(4，0)，B(8，10)，C(0，6)，求过 A 点且倾斜角等于直线 BC 的倾斜角的点斜式方程【解析】设所求直线的方程为 yk()x4，由题意得：kkBC10680 12
4、，所以所求方程：y12()x4.利用点斜式求直线方程的方法(1)用点斜式求直线的方程，首先要确定直线的斜率和其上一个点的坐标注意在斜率存在的条件下，才能用点斜式表示直线的方程；(2)已知两点坐标求直线的方程，可以先求斜率，再用点斜式求直线的方程提醒：斜率不存在时，过点 P(x0，y0)的直线与 x 轴垂直，直线上所有点的横坐标相等，都为 x0，故直线方程为 xx0.类型二 直线的斜截式方程(数学运算)【典例】根据条件写出下列直线的斜截式方程：(1)斜率为 2，在 y 轴上的截距是 5；(2)倾斜角为 150，在 y 轴上的截距是2；(3)倾斜角为 60，与 y 轴的交点到坐标原点的距离为 3.
5、【思路导引】先确定斜率和截距，再写方程【解析】(1)由直线方程的斜截式可知，所求直线方程为 y2x5.(2)由于倾斜角 150，所以斜率ktan 150 33，由斜截式可得方程为 y 33x2.(3)由于直线的倾斜角为 60，所以斜率 ktan 60 3.由于直线与 y 轴的交点到坐标原点的距离为 3，所以直线在 y 轴上的截距 b3 或 b3，故所求直线方程为 y 3 x3 或 y 3 x3.求直线的斜截式方程的策略(1)直线的斜截式方程是点斜式方程的特殊形式，其适用前提是直线的斜率存在，只要点斜式中的点在 y 轴上，就可以直接用斜截式表示(2)直线的斜截式方程 ykxb 中只有两个参数，因
6、此要确定直线方程，只需知道参数 k，b 的值即可(3)利用直线的斜截式求方程务必灵活，如果已知斜率 k，只需引入参数 b；同理，如果已知截距 b，只需引入参数 k.过点 P(6，1)的直线 l 与 x 轴、y 轴的正方向分别交于点 A，B，且 AOB 的面积为 4，则 l 的方程是_.【解析】设直线 l 的方程为 ykxb(k0)，则直线 l 与 x 轴的交点为bk，0，与 y 轴的交点为(0，b)，因为 AOB 的面积为 4，直线 l 过点 P(6，1)，所以12bk b4，16kb，解得k12，b2或k 118，b23(舍去)，所以直线 l 的方程为 y12 x2.答案：y12 x2备选类
7、型 直线方程的应用(数学运算，直观想象)【典例】已知直线 l1：ykxb，l2：ybxk，则它们的图象可能为()【思路导引】根据直线的倾斜方向和纵截距的正负确定两个直线方程 k，b 的正负后可得正确的选项【解析】选 C.对于 A，直线 l1 方程中的 k0，直线 l2 方程中的 k0，b0，矛盾；对于 B，直线 l1 方程中的 k0，b0，b0，矛盾；对于 C，直线 l1 方程中的 k0，b0，直线 l2 方程中的 k0，b0，符合；对于 D，直线 l1 方程中的 k0，直线 l2 方程中的 k0，b0，矛盾 如果直线方程的形式是斜截式 ykxm，则可以根据直线不同的倾斜程度确定它们斜率的大小
8、(也可以确定它们的符号)，一般地，如果直线经过第一、三象限，则斜率为正；如果直线经过第二、四象限，则斜率为负 直线 yax1a 的图象可能是()【解析】选 B.由 yax1a 可知，斜率和截距必须异号，故 B 正确课堂检测素养达标1方程 yy0k()xx0()A可以表示任何直线B不能表示过原点的直线C不能表示与 y 轴垂直的直线D不能表示与 x 轴垂直的直线【解析】选 D.因为直线的点斜式方程不能表示斜率不存在的直线，所以 yy0k()xx0不能表示与 x 轴垂直的直线2已知直线的方程是 y2x1，则()A直线经过点(1，2)，斜率为1B直线经过点(2，1)，斜率为1C直线经过点(1，2)，斜
9、率为1D直线经过点(2，1)，斜率为 1【解析】选 C.直线方程 y2x1 可化为 y(2)x(1)，故直线经过点(1，2)，斜率为1.3(教材二次开发：练习改编)直线 y3x6 的斜率为 k，在 y 轴上的截距为 b，则()Ak3，b6 Bk3，b6Ck3，b6 Dk3，b6【解析】选 B.直线 y3x6 的斜率为 k，在 y 轴上的截距为 b，可得斜率 k3，在 y 轴上的截距为 b6.4给出下列四个结论：方程 ky2x1 与方程 y2k(x1)可表示同一直线；直线 l 过点 P(x1，y1)，倾斜角为 90，则其方程是 xx1；直线 l 过点 P(x1，y1)，斜率为 0，则其方程是 yy1；所有的直线都有点斜式和斜截式方程其中正确结论的序号为_.【解析】不正确方程 ky2x1 不含点(1，2)；正确；正确；只有 k存在时成立答案：5已知直线 y12 xk 与两坐标轴围成的三角形的面积不小于 1，则实数 k 的取值范围是_.【解析】令 y0，则 x2k.令 x0，则 yk，则直线与两坐标轴围成的三角形的面积为 S12|k|2k|k2.由题意知，三角形的面积不小于 1，可得 k21，所以 k 的取值范围是 k1 或 k1.答案：(，11，)
