1、解析几何专练作业(三十一)1(2015吉林长春统考)已知点A(0，2)，椭圆E：1(ab0)的离心率为，F是椭圆E的右焦点，直线AF的斜率为，O为坐标原点(1)求E的方程；(2)设过点A的动直线l与E相交于P，Q两点，当OPQ的面积最大时，求l的方程解析(1)设F(c,0)，由条件知，得c.又，所以a2，b2a2c21.故E的方程为y21.(2)当lx轴时，不合题意，故设l：ykx2，P(x1，y1)，Q(x2，y2)将ykx2代入y21得(14k2)x216kx120.当16(4k23)0，即k2时，x1,2.从而|PQ|x1x2|.又点O到直线PQ的距离d，所以OPQ的面积SOPQd|PQ
2、|.设t，则t0，SOPQ.因为t4，当且仅当t2，即k时，等号成立，且满足0.所以，当OPQ的面积最大时，l的方程为yx2或yx2.2(2015安徽淮北模拟)已知椭圆C：1(ab0)的上顶点为A，左、右焦点分别为F1，F2，且椭圆C过点P(，)，以AP为直径的圆恰好过右焦点F2.(1)求椭圆C的方程；(2)若动直线l与椭圆C有且只有一个公共点，试问：在x轴上是否存在两定点，使其到直线l的距离之积为1？若存在，请求出两定点坐标；若不存在，请说明理由解析(1)因为椭圆过点P(，)，所以1，解得a22.又以AP为直径的圆恰好过右焦点F2，所以AF2F2P，即1，b2c(43c)而b2a2c22c2
3、，所以c22c10，解得c1，故椭圆C的方程是y21.(2)当直线l斜率存在时，设直线l的方程为ykxp，代入椭圆方程得(12k2)x24kpx2p220.因为直线l与椭圆C有且只有一个公共点，所以16k2p24(12k2)(2p22)8(12k2p2)0，即12k2p2.设在x轴上存在两点(s,0)，(t,0)，使其到直线l的距离之积为1，则1，即(st1)kp(st)0(*)，或(st3)k2(st)kp20(*)由(*)恒成立，得解得或而(*)不恒成立当直线l斜率不存在时，直线方程为x，定点F1(1,0)，F2(1,0)到直线l的距离之积d1d2(1)(1)1.综上，存在两个定点(1,0
4、)，(1,0)，使其到直线l的距离之积为定值1.3(2015福建三明月考)如图，已知椭圆1(ab0)的离心率为，以该椭圆上的点和椭圆的左、右焦点F1，F2为顶点的三角形的周长为4(1)一等轴双曲线的顶点是该椭圆的焦点，设P为该双曲线上异于顶点的任意一点，直线PF1和PF2与椭圆的交点分别为A，B和C，D.(1)求椭圆和双曲线的标准方程；(2)设直线PF1，PF2的斜率分别为k1，k2，证明：k1k21；(3)探究是否为定值若是，求出这个定值；若不是，请说明理由解析(1)设椭圆的半焦距为c，由题意知，2a2c4(1)，所以a2，c2.又a2b2c2，因此b2，故椭圆的标准方程为1.由题意设等轴双
5、曲线的标准方程为1(m0)，因为等轴双曲线的顶点是椭圆的焦点，所以m2，因此双曲线的标准方程为1.(2)证明：设P(x0，y0)，F1(2,0)，F2(2,0)，则k1，k2.因为点P在双曲线x2y24上，所以xy4.因此k1k21，即k1k21.(3)解：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由于直线PF1的方程为yk1(x2)，将其代入椭圆方程得(2k1)x28kx8k80，所以x1x2，x1x2.所以|AB|4.同理可得|CD|4.则()，又k1k21，所以()().故恒成立4(2015福建漳州期末)设抛物线C1：y24x的准线与x轴交于点F1，焦点为F2，以F1，F2为焦点，离心率为的
6、椭圆记作C2.(1)求椭圆C2的标准方程；(2)直线l经过椭圆C2的右焦点F2，与抛物线C1交于A1，A2两点，与椭圆C2交于B1，B2两点，当以线段B1B2为直径的圆经过F1时，求|A1A2|的长解析(1)由已知得c1，a2，b2a2c2413，故椭圆方程为1.(2)当直线l与x轴垂直时，B1(1，)，B2(1，)，又F1(1,0)，此时0，所以以线段B1B2为直径的圆不经过F1，不满足条件当直线l不与x轴垂直时，设l：yk(x1)由得(34k2)x28k2x4k2120.因为焦点在椭圆内部，所以恒有两个交点设B1(x1，y1)，B2(x2，y2)，则x1x2，x1x2.因为以线段B1B2为
7、直径的圆经过F1，所以0.又F1(1,0)，所以(1x1)(1x2)y1y20，即(1k2)x1x2(1k2)(x1x2)1k20，解得k2.由得k2x2(2k24)xk20.因为直线l与抛物线有两个交点，所以k0.设A1(x3，y3)，A2(x4，y4)，则x3x42，x3x41，所以|A1A2|x3x4p22.5(2015吉林长春质监)在ABC中，顶点B(1,0)，C(1,0)，G，I分别是ABC的重心和内心，且.(1)求顶点A的轨迹M的方程；(2)过点C的直线交曲线M于P，Q两点，H是直线x4上一点，设直线CH，PH，QH的斜率分别为k1，k2，k3，试比较2k1与k2k3的大小，并加以
8、证明解析(1)由题意知SABC(|AB|AC|BC|)r|BC|yA|，且|BC|2，|yA|3r，其中r为内切圆半径，化简得|AB|AC|4，顶点A的轨迹是以B，C为焦点，4为长轴长的椭圆(去掉长轴端点)，其中a2，c1，b，所以轨迹M的方程为1(y0)(2)2k1k2k3，以下进行证明：当直线PQ的斜率存在时，设直线PQ：yk(x1)，且P(x1，y1)，Q(x2，y2)，H(4，m)，联立可得x1x2，x1x2.由题意：k1，k2，k3.k2k32k1.当直线PQ的斜率不存在时，不妨取P(1，)，Q(1，)，则k2k32k1.综上可得2k1k2k3.6(2015东北三省模拟)在平面直角坐
9、标系xOy中，已知动圆过点(2,0)，且被y轴所截得的弦长为4.(1)求动圆圆心的轨迹C1的方程；(2)过点P(1,2)分别作斜率为k1，k2的两条直线l1，l2，分别交C1于A，B两点(点A，B异于点P)若k1k20，且直线AB与圆C2：(x2)2y2相切，求PAB的面积解析(1)设动圆圆心坐标为(x，y)，半径为r.由题可知y24x，动圆圆心的轨迹方程为y24x.(2)设直线l1斜率为k，则l1：y2k(x1)，l2：y2k(x1)点P(1,2)在抛物线y24x上，由得ky24y84k0.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，0恒成立，即(k1)20，有k1，y1yP，yP2，y1.代入直线方程，得x1.同理可得x2，y2，kAB1.不妨设lAB：yxb.直线AB与圆C2相切，解得b3或1.当b3时，直线AB过点P，舍去；当b1时，由得x26x10.32，|AB|8，P到直线AB的距离d，则PAB的面积为4.
