1、正弦定理、余弦定理考试要求掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题1正弦、余弦定理在ABC中，若角A，B，C所对的边分别是a，b，c，R为ABC的外接圆半径，则定理正弦定理余弦定理内容2Ra2b2c22bccos_A；b2c2a22cacos_B；c2a2b22abcos_C变形(1)a2Rsin A，b2Rsin B，c2Rsin C；(2)abcsin Asin Bsin C；(3)2Rcos A；cos B；cos C提醒：在ABC中，已知两边和其中一边的对角，求第三边时，使用余弦定理比使用正弦定理简洁2三角形常用面积公式(1)Saha(ha表示边a上的高)；(2)Sab
2、sin Cacsin Bbcsin A；(3)Sr(abc)(r为内切圆半径)1三角形内角和定理在ABC中，ABC；变形：.2三角形中的三角函数关系(1)sin(AB)sin C；(2)cos(AB)cos C；(3)sin cos ；(4)cos sin .3三角形中的射影定理在ABC中，abcos Cccos B；bacos Cccos A；cbcos Aacos B.4三角形中的大角对大边在ABC中，ABabsin Asin B.一、易错易误辨析(正确的打“”，错误的打“”)(1)三角形中三边之比等于相应的三个内角之比()(2)在ABC中，若sin Asin B，则AB.()(3)在AB
3、C中，.()(4)当b2c2a20时，ABC为锐角三角形；当b2c2a20时，ABC为直角三角形；当b2c2a20时，ABC为钝角三角形()答案(1)(2)(3)(4)二、教材习题衍生1已知ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若A，B，a1，则b()A2B1C.D.D由得b2.2在ABC中，AB5，AC3，BC7，则BAC()A. B. C. D.C由题意知，aBC7，bAC3，cAB5，由余弦定理得cosBAC.又因为BAC是ABC的内角，所以BAC，故选C.3在ABC中，acos Abcos B，则这个三角形的形状为_等腰三角形或直角三角形由正弦定理，得sin Acos Asi
4、n Bcos B，即sin 2Asin 2B，所以2A2B或2A2B，即AB或AB，所以这个三角形为等腰三角形或直角三角形4在ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知c5，B，ABC的面积为，则b_.7SABCacsin Ba5sin a，解得a3.b2a2c22accos B325223549，b7. 考点一利用正、余弦定理解三角形 解三角形的常见题型及求解方法(1)已知两角A，B与一边a，由ABC及，可先求出角C及b，再求出c.(2)已知两边b，c及其夹角A，由a2b2c22bccos A，先求出a，再求出角B，C.(3)已知三边a，b，c，由余弦定理可求出角A，B，C.(4)
5、已知两边a，b及其中一边的对角A，由正弦定理可求出另一边b的对角B，由C(AB)，可求出角C，再由可求出c，而通过求角B时，可能有一解或两解或无解的情况典例1(2019全国卷)ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.设(sin Bsin C)2sin2Asin Bsin C.(1)求A；(2)若ab2c，求sin C.解(1)由已知得sin2Bsin2Csin2Asin Bsin C，故由正弦定理得b2c2a2bc.由余弦定理得cos A.因为0A180，所以A60.(2)由(1)知B120C，由题设及正弦定理得sin Asin(120C)2sin C，即cos Csin C2sin C
6、，可得cos(C60).由于0C120，所以sin(C60)，故sin Csin(C6060)sin(C60)cos 60cos(C60)sin 60.点评：在ABC中，若Am，则BCm.从而BmC或CmB，由此可消去B或C.1(2019全国卷)ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知asin Absin B4csin C，cos A，则()A6B5C4D3Aasin Absin B4csin C，由正弦定理得a2b24c2，即a24c2b2.由余弦定理得cos A，6.故选A.2结构不良试题(2020新高考全国卷)在ac，csinA3，cb这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，若
7、问题中的三角形存在，求c的值；若问题中的三角形不存在，说明理由问题：是否存在ABC，它的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且sin Asin B，C，_？解方案一：选条件.由C和余弦定理得.由sin Asin B及正弦定理得ab.于是，由此可得bc.由ac，解得a，bc1.因此，选条件时问题中的三角形存在，此时c1.方案二：选条件.由C和余弦定理得.由sin Asin B及正弦定理得ab.于是，由此可得bc，BC，A.由csin A3，所以cb2，a6.因此，选条件时问题中的三角形存在，此时c2.方案三：选条件.由C和余弦定理得.由sin Asin B及正弦定理得ab.于是，由此可得bc.
8、由cb，与bc矛盾因此，选条件时问题中的三角形不存在 考点二利用正、余弦定理解决三角形面积问题 1.求三角形面积的方法(1)若三角形中已知一个角(角的大小或该角的正、余弦值)，结合题意求解这个角的两边或该角的两边之积，代入公式求面积(2)若已知三角形的三边，可先求其一个角的余弦值，再求其正弦值，代入公式求面积总之，结合图形恰当选择面积公式是解题的关键2已知三角形面积求边、角的方法(1)若求角，就寻求夹这个角的两边的关系，利用面积公式列方程求解(2)若求边，就寻求与该边(或两边)有关联的角，利用面积公式列方程求解典例2(1)(2020长沙模拟)已知a，b，c分别为ABC的内角A，B，C的对边，(
9、3ba)cos Cccos A，c是a，b的等比中项，且ABC的面积为3，则ab_.(2)(2020全国卷)ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知B150.若ac，b2，求ABC的面积；若sin Asin C，求C.(1)由(3ba)cos Cccos A，得3sin Bcos Csin Acos Csin Ccos A，即3sin Bcos Csin Acos Ccos Asin Csin(AC)sin B，又sin B0，所以cos C，得sin C.由SABCabsin C3，得ab3，得ab9.又c是a，b的等比中项，所以c2ab.由余弦定理c2a2b22abcos C得a
10、ba2b2ab.a2b2ab915，即a2b215，则(ab)2a2b22ab151833，即ab.(2)解由题设及余弦定理，得283c2c22c2cos 150，解得c2(舍去)或c2，从而a2.因此ABC的面积为22sin 150.在ABC中，A180BC30C，所以sin Asin Csin(30C)sin Csin(30C)，故sin(30C).而0C30，所以3030C60，所以30C45，故C15.1在ABC中，A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知a2b2c2ab，且acsin B2sin C，则ABC的面积为_因为a2b2c2ab，所以由余弦定理得cos C，又0C，所以C.
11、因为acsin B2sin C，所以结合正弦定理可得abc2c，所以ab2.故SABCabsin C2sin .2在ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知bc2acos B.(1)证明：A2B；(2)若ABC的面积S，求角A的大小解(1)证明：由正弦定理得sin Bsin C2sin Acos B，故2sin Acos Bsin Bsin(AB)sin Bsin Acos Bcos Asin B，于是sin Bsin(AB)又A，B(0，)，故0AB，所以B(AB)或BAB，因此A(舍去)或A2B，所以A2B.(2)由S，得absin C，故有sin Bsin Csin Asi
12、n 2Bsin Bcos B，由sin B0，得sin Ccos B.又B，C(0，)所以CB.当BC时，A；当CB时，A.综上，A或A. 考点三判断三角形的形状 1.判定三角形形状的两种常用途径2判定三角形的形状的注意点在判断三角形的形状时一定要注意解是否唯一，并注重挖掘隐含条件另外，在变形过程中要注意角A，B，C的范围对三角函数值的影响，在等式变形中，一般两边不要约去公因式，应移项提取公因式，以免漏解典例3(1)设ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若bcos Cccos Basin A，则ABC的形状为()A锐角三角形B直角三角形C钝角三角形D不确定(2)在ABC中，已知ab
13、ccos Bccos A.判断ABC的形状；若C120，a2，求c.(1)B由正弦定理得sin Bcos Csin Ccos Bsin2A，sin(BC)sin2A，即sin(A)sin2A，sin Asin2A.A(0，)，sin A0，sin A1，即A，ABC为直角三角形(2)解由正弦定理及abccos Bccos A，可得：sin Asin Bsin Ccos Bsin Ccos A，可得：sin(BC)sin(AC)sin Ccos Bsin Ccos A，可得：sin Bcos Ccos Bsin Csin Acos Ccos Asin Csin Ccos Bsin Ccos A，
14、可得：sin Bcos Csin Acos C0，则cos C(sin Bsin A)0，则cos C0或sin Bsin A0，所以C90或AB，所以ABC为直角三角形或等腰三角形因为C120，则ABC为等腰三角形，从而ab2，由余弦定理c2a2b22abcos C，得c244222cos 120，所以c2.1在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，(bca)(bca)3bc，则ABC的形状是()A直角三角形B等腰非等边三角形C等边三角形D钝角三角形C因为，所以.所以bc.又(bca)(bca)3bc，所以b2c2a2bc，所以cos A.因为A(0，)，所以A.所以ABC是等边三角形2在ABC中，已知sin Bsin Ccos2，则ABC的形状是()A直角三角形B等腰三角形C等边三角形D等腰直角三角形Bsin Bsin Ccos2，2sin Bsin Ccos Bcos Csin Bsin C1，cos Bcos Csin Bsin Ccos(BC)1，BC，BC0，BC，三角形为等腰三角形，故选B.
