1、第三章 2 第2课时一、选择题1函数f(x)x(1x2)在0,1上的最大值为()A. B.C. D.答案A解析f(x)xx3，f(x)13x2，令f(x)0得x(x舍去)，计算比较得最大值为f().2一艘轮船在航行中的燃料费和它的速度的立方成正比，已知在速度为每小时10 km时燃料费是每小时6元 ，而其他与速度无关的费用是每小时96元，则此轮船的速度为_km/h航行时，能使行驶每公里的费用总和最小()A20B30C40D60答案A解析设船速为每小时x(x0)公里，燃料费为Q元，则Qkx3，由已知得：6k103，k，即Qx3.记行驶每公里的费用总和为y元，则y(x396)x2yx，令y0，即x0
2、，解之得：x20.这就是说，该函数在定义域(0，)内有唯一的极值点，该极值必有所求的最小值，即当船速为每小时20公里时，航行每公里的总费用最小，最小值为7.2元3已知函数f(x)x42x33m，xR，若f(x)90恒成立，则实数m的取值范围是()AmBmCmDm0)在1,4上的最大值为3，最小值为6，则ab_.答案解析f(x)4ax312ax2(a0，x1,4)由f(x)0，得x0(舍)，或x3，可得x3时，f(x)取得最小值为b27a.又f(1)b3a，f(4)b，f(4)为最大值由解得ab.三、解答题6(2014福州市八县联考)永泰某景区为提高经济效益，现对某一景点进行改造升级，从而扩大内
3、需，提高旅游增加值，经过市场调查，旅游增加值y万元与投入x(x10)万元之间满足：yf(x)ax2xbln，a，b为常数当x10万元时，y19.2万元；当x30万元时，y50.5万元(参考数据：ln20.7，ln31.1，ln51.6)(1)求f(x)的解析式；(2)求该景点改造升级后旅游利润T(x)的最大值(利润旅游增加值投入)解析(1)由条件可得解得a，b1，则f(x)xln(x10)(2)T(x)f(x)xxln(x10)，则T(x)，令T(x)0，则x1(舍)或x50，当x(10,50)时，T(x)0，因此T(x)在(10,50)上是增函数；当x(50，)时，T(x)0，因此T(x)在
4、(50，)上是减函数，当x50时，T(x)取最大值T(50)50ln24.4(万元)即该景点改造升级后旅游利润T(x)的最大值为24.4万元.一、选择题1设底面为正三角形的直棱柱的体积为V，那么其表面积最小时，底面边长为()A.BCD2答案C解析设底面边长为x，侧棱长为l，则Vx2sin60l，l.S表2S底3S侧x2sin603xlx2.S表x0x34V，即x，又当x(0，)时，S表0当x时，表面积最小2若函数f(x)x3x在(a,10a2)上有最大值，则实数a的取值范围为()A1,1)B2,1)C2，1)D(2，)答案B解析由于f(x)x21 ，易知函数在(，1上递减，在1,1上递增，1，
5、)上递减，故若函数在(a,10a2)上存在最大值的条件为1a1或综上可知a的取值范围为2,1)3设直线xt与函数f(x)x2，g(x)lnx的图像分别交于点M，N，则当|MN|达到最小时t的值为()A1 B.C. D.答案D解析本小题考查内容为导数的应用求函数的最小值令F(x)f(x)g(x)x2lnx，F(x)2x.令F(x)0，x，F(x) 在x处最小4已知不等式对任意的正实数x恒成立，则实数k的取值范围是()A(0,1B(，1C0,2D(0,2答案A解析令y，则y，可以验证当y0即kxe，x时，ymax，又y对于x0恒成立，得k1又kx0，x0，k0，0k1.5(2014江西文，10)在
6、同一直角坐标系中，函数yax2x与ya2x32ax2xa(aR)的图像不可能的是()答案B解析若a0时，两函数分别为yx和yx，选项D此时合适，若a0时，设f1(x)ax2x，设f2(x)a2x32ax2xaf2(x)3a2x24ax1(3ax1)(ax1)，若a0，易知f2(x)的极大值为f()a，极小值为f()a，而f1(x)图象此时开口向上，对称轴为x0且f1()f1(0)，f2(0)a，A、C均适合(2)若a0，f1(x)图象开口向下，对称轴为x0 ，f()f1(0)aa，也就是说当x时函数f2(x)图象为极大值而此时f1(x)图象对应的点应该在(，f2()上方，而B选项中显然右下方，
7、因而B不可能二、填空题6设函数f(x)ax33x1(xR)，若对于任意x1,1，都有f(x)0成立，则实数a的值为_答案4解析本小题考查函数单调性的综合运用若x0，则不论a取何值，f(x)0显然成立；当x0即x(0,1时，f(x)ax33x10可化为a，设g(x)，则g(x)，所以g(x)在区间上单调递增，在区间上单调递减，因此g(x) maxg4，从而a4；当x0即x1,0，f(x)ax33x10可化为a，g(x)在区间1,0)上单调递增，因此g(x)ming(1)4，从而a4，综上a4.7已知函数f(x)loga，当x1,4时，f(x)2恒成立，则a的取值范围是_答案1a4解析要使得当x1
8、,4时，f(x)2恒成立，只需保证当x1,4时，f(x)min2即可，因此问题转化为先求函数f(x)loga在区间1,4上的最小值，再结合不等式求得a的取值范围考虑到f(x)loga的导数不好求，可以先采用换元的办法，利用导数法求出真数的最值，再考虑函数f(x)的最小值，但要注意对底数a加以讨论令h(x)4x16，x1,4h(x)4，x1,4当1x2时，h(x)0，当2x4时，h(x)0.h(x)在1,2上是单调减函数，在2,4上是单调增函数，h(x)minh(2)32，h(x)maxh(1)h(4)36.当0a1时，有f(x)minloga36，当a1 时，有f(x)minloga32.当x
9、1,4时，f(x)2恒成立，f(x)min2.满足条件的a的值满足下列不等式组：或不等式组的解集为空集，解不等式组得1a4.综上所述，满足条件的a的取值范围是：1a4.三、解答题8(2014三峡名校联盟联考)时下，网校教学越来越受到广大学生的喜爱，它已经成为学生们课外学习的一种趋势，假设某网校的套题每日的销售量y(单位：千套)与销售价格x(单位：元/套)满足的关系式y4(x6)2，其中2x6，m为常数已知销售价格为4元/套时，每日可售出套题21千套(1)求m的值；(2)假设网校的员工工资、办公等所有开销折合为每套题2元(只考虑销售出的套数)，试确定销售价格x的值，使网校每日销售套题所获得的利润
10、最大(保留1位小数)解析(1)因为x4时，y21，代入关系式y4(x6)2，得1621，解得m10.(2)由(1)可知，套题每日的销售量y4(x6)2，所以每日销售套题所获得的利润f(x)(x2)4(x6)2104(x6)2(x2)4x356x2240x278(2x6)，从而f (x)12x2112x2404(3x10)(x6)(2x0，函数f(x)单调递增；在(，6)上，f (x)1)讨论f(x)的单调性；解析f(x)的定义域为(1，)，f(x).当1a0，f(x)在(1，a22a)是增函数；若x(a22a,0)，则f(x)0，f(x)在(0，)是增函数当a2时，f(x)0，f(x)0成立当
11、且仅当x0，f(x)在(1，)是增函数当a2时，若x(1,0)，则f(x)0，f(x)在(1,0)是增函数；若x(0，a22a)，则f(x)0，f(x)在(a22a，)是增函数10设f(x)lnx，g(x)f(x)f(x)(1)求g(x)的单调区间和最小值；(2)讨论g(x)与g()的大小关系；(3)求a的取值范围，使得g(a)g(x)0成立分析(1)先求f(x)，写出g(x)，对g(x)求导，g(x)0求得增区间，g(x)0求得减区间；(2)作差构造函数h(x)g(x)g()，对h(x)求导，判定其单调性，进一步求出最值，与0比较大小；(3)利用(1)的结论求解解析(1)f(x)lnx，f(
12、x)，g(x)lnx.g(x)，令g(x)0得x1，当x(0,1)时，g(x)0.(1，)是g(x)的单调增区间因此当x1时g(x)取极小值，且x1是唯一极值点，从而是最小值点所以g(x)最小值为g(1)1.(2)g()lnxx令h(x)g(x)g()2lnxx，h(x)，当x1时，h(1)0，即g(x)g()，当x(0,1)(1，)时h(x)h(1)0，即g(x)g()当x(1，)时，h(x)h(1)0，即g(x)g()，当x1时，g(x)g()当x(1，)时，g(x)g()(3)由(1)可知g(x)最小值为1，所以g(a)g(x)0成立等价于g(a)1，即lna1，解得0ae.所以a的取值范围是(0，e)点评本题考查了求导公式、导数应用、不等式恒成立等知识以及分类计论思想、转化与化归思想等
