1、模块综合测评(时间150分钟，满分150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1.若复数zai的实部与虚部相等，则实数a()A.1B.1C.2D.2【解析】zai的虚部为1，故a1，选B.【答案】B2.已知复数z，则zi在复平面内对应的点位于()A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限【解析】z，zi，zii.【答案】B3.观察：2，2，2，对于任意的正实数a，b，使2成立的一个条件可以是()A.ab22B.ab21C.ab20D.ab21【解析】由归纳推理可知ab21.故选B.【答案】B4.已知函数f(x)的导函数
2、为f(x)，且满足f(x)2xf(1)ln x，则f(1)()A.eB.1C.1D.e【解析】f(x)2xf(1)ln x，f(x)2f(1)，f(1)2f(1)1，f(1)1.【答案】B5.由y2x5是一次函数；y2x5的图像是一条直线；一次函数的图像是一条直线.写一个“三段论”形式的正确推理，则作为大前提、小前提和结论的分别是()A.B.C.D.【解析】该三段论应为：一次函数的图像是一条直线(大前提)，y2x5是一次函数(小前提)，y2x5的图像是一条直线(结论).【答案】D6.已知函数yf(x)的导函数yf(x)的图像如图1所示，则()图1A.函数f(x)有1个极大值点，1个极小值点B.
3、函数f(x)有2个极大值点，2个极小值点C.函数f(x)有3个极大值点，1个极小值点D.函数f(x)有1个极大值点，3个极小值点【解析】根据极值的定义及判断方法，检查f(x)的零点左右值的符号，如果左正右负，那么f(x)在这个点处取得极大值；如果左负右正，那么f(x)在这个点处取得极小值；如果左右都是正，或者左右都是负，那么f(x)在这个点处不是极值.由此可见，x2是函数f(x)的极大值点，x3是极小值点，x1，x4不是极值点.【答案】A7.曲线yex在点(2，e2)处的切线与坐标轴所围成的三角形的面积为() 【导学号：94210089】A.e2B.2e2C.e2D.【解析】f(x)ex，曲线
4、在点(2，e2)处的切线的斜率为kf(2)e2，切线方程为ye2e2(x2)，即e2xye20，切线与x轴和y轴的交点坐标分别为A(1，0)，B(0，e2)，则切线与坐标轴围成的OAB的面积为1e2.【答案】D8.已知数列1，aa2，a2a3a4，a3a4a5a6，则数列的第k项是()A.akak1a2kB.ak1aka2k1C.ak1aka2kD.ak1aka2k2【解析】由归纳推理可知，第k项的第一个数为ak1，且共有k项.故选D.【答案】D9.函数f(x)ax3x在R上为减函数，则()A.a0B.a1C.abcB.bacC.acbD.bca【解析】由题意可得axdxx；b1xdx1x1；
5、cx3dx.综上，abc.【答案】A11.在数学归纳法的递推性证明中，由假设nk时成立推导nk1时成立时，f(n)1增加的项数是()A.1B.2k1C.2k1D.2k【解析】f(k)1，又f(k1)1.从f(k)到f(k1)是增加了(2k11)2k12k项.【答案】D12.已知函数f(x)x3ln(x)，则对于任意实数a，b(ab0)，则的值为()A.恒正B.恒等于0C.恒负D.不确定【解析】可知函数f(x)f(x)x3ln(x)(x)3ln(x)0，所以函数为奇函数，同时，f(x)3x20，f(x)是递增函数，所以0，所以选A.【答案】A二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分.将答
6、案填在题中的横线上)13.复数(i为虚数单位)的实部等于_.【解析】3i，其实部为3.【答案】314.观察下列等式：132332，13233362，13233343102，根据上述规律，第五个等式为_.【解析】第n个等式左边为1到n1的立方和，右边为123(n1)的平方，所以第五个等式为132333435363212.【答案】13233343536321215.曲线ysin x(0x)与直线y围成的封闭图形的面积为_. 【导学号：94210090】【解析】由于曲线ysin x(0x)与直线y的交点的横坐标分别为x及x，因此所求图形的面积为dx.【答案】16.(2016全国卷)已知f(x)为偶函
7、数，当x0时，f(x)ex1x，则曲线yf(x)在点(1，2)处的切线方程是_.【解析】设x0，则x0，f(x)ex1x.f(x)为偶函数，f(x)f(x)，f(x)ex1x.当x0时，f(x)ex11，f(1)e111112.曲线yf(x)在点(1，2)处的切线方程为y22(x1)，即2xy0.【答案】2xy0三、解答题(本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17.(本小题满分10分)设复数z，若z2azb1i，求实数a，b的值.【解】z1i.因为z2azb(1i)2a(1i)b2iaaib(ab)(2a)i1i，所以解得18.(本小题满分12分)已知函数f(x)
8、x33ax23x1.(1)当a时，讨论f(x)的单调性；(2)若x2，)时，f(x)0，求a的取值范围.【解】(1)当a时，f(x)x33x23x1，f(x)3x26x3.令f(x)0，得x11，x21.当x(， 1)时，f(x)0，f(x)在(，1)上是增函数；当x(1，1)时，f(x)0，f(x)在(1, 1)上是减函数；当x(1，)时，f(x)0，f(x)在(1，)上是增函数.(2)由f(2)0，得a.当a，x(2，)时，f(x)3(x22ax1)33(x2)0，所以f(x)在(2，)上是增函数，于是当x2，)时，f(x)f(2)0.综上，a的取值范围是.19.(本小题满分12分)设等差
9、数列an的公差为d，Sn是an中从第2n1项开始的连续2n1项的和，即S1a1，S2a2a3，S3a4a5a6a7，Sna2n1a2n11a2n1，若S1，S2，S3成等比数列，问：数列Sn是否成等比数列？请说明你的理由.【解】S1，S2，S3成等比数列，S1a10，且S1S3S，由S1S3S，得a1(a4a5a6a7)(a2a3)2，即a1(4a118d)(2a13d)2，2a1d3d2.d0或a1d.当d0时，Sn2n1a10，2(常数)，nN，Sn成等比数列；当a1d时，Sna2n1a2n11a2n12n1a2n1d2n1a1(2n11)dd2n1d4n10，4(常数)，nN，Sn成等比
10、数列.综上所述，若S1，S2，S3成等比数列，则Sn成等比数列.20.(本小题满分12分)已知幂函数f(x)xm22m3(mZ)为偶函数，且在区间(0，)上是单调增函数.(1)求函数f(x)的解析式；(2)设函数g(x)f(x)ax3x2b(xR)，其中a，bR，若函数g(x)仅在x0处有极值，求a的取值范围.【解】(1)因为f(x)在区间(0，)上是单调增函数，所以m22m30，即m22m30，所以1m0，所以a11.由S2a1a2，得a2a210，所以a21，由S3a1a2a3，得a2a310，所以a3.(2)猜想an(nN).证明：当n1时，a11，命题成立；假设nk(k1，kN)时，a
11、k成立，则nk1时，ak1Sk1Sk，即ak1，所以a2ak110.所以ak1，则nk1时，命题成立.则知，nN，an.22.(本小题满分12分)设函数f(x)aexln x，曲线yf(x)在点(1，f(1)处的切线方程为ye(x1)2.(1)求a，b；(2)证明：f(x)1.【解】(1)函数f(x)的定义域为(0，)，f(x)aexln xexex1ex1.由题意可得f(1)2，f(1)e.故a1，b2.(2)证明：由(1)知，f(x)exln xex1，从而f(x)1等价于xln xxex.设函数g(x)xln x，则g(x)1ln x.所以当x时，g(x)0.故g(x)在上单调递减，在上单调递增，从而g(x)在(0，)上的最小值为g.设函数h(x)xex，则h(x)ex(1x).所以当x(0，1)时，h(x)0；当x(1，)时，h(x)0时，g(x)h(x)，即f(x)1.
