1、9.2 直线与平面平行巩固夯实基础 一、自主梳理 1.空间直线和平面有三种位置关系,分别是:直线在平面内、直线与平面平行、直线与平面相交. 2.直线与平面平行的判定和性质:如果平面外的一条直线与平面内的一条直线平行,那么这条直线与这个平面平行. 3.直线与平面平行的性质定理:如果一条直线与一个平面平行,经过这条直线的平面与已知平面相交,那么这条直线与交线平行. 二、点击双基1.设有平面、和直线m、n,则m的一个充分条件是( )A.且m B.=n且mnC.mn且n D.且m答案:D2.设m、n是两条不同的直线,、是三个不同的平面.给出下列四个命题,其中正确命题的序号是( )若m,n,则mn 若,
2、m,则m 若m,n,则mn若,则A. B. C. D.解析:显然正确.中m与n可能相交或异面.考虑长方体的顶点，与可以相交.答案:A3.一条直线若同时平行于两个相交平面，那么这条直线与这两个平面的交线的位置关系是( )A.异面 B.相交 C.平行 D.不能确定解析:设=l,a,a, 过直线a作与、都相交的平面， 记=b,=c, 则ab且ac, bc. 又b,=l, bl. al.答案:C4.已知直线AB和CD都在平面内,ABCD且AB和CD间的距离是28,直线EF在外,且EFAB,EF和AB相距17,与距离为15,则直线EF与CD间的距离是_.解析:(1)EF在平面上的射影在AB、CD之间,易
3、知答案为25. (2)EF在面上的射影,不在AB、CD之间,易知答案为39.答案:25或395.在四面体ABCD中，M、N分别是面ACD、BCD的重心，则四面体的四个面中与MN平行的是_.解析:连结AM并延长，交CD于E，连结BN并延长交CD于F，由重心性质可知，E、F重合为一点，且该点为CD的中点E，由=得MNAB, 因此，MN平面ABC且MN平面ABD.答案:平面ABC、平面ABD诱思实例点拨【例1】 如图,P为平行四边形ABCD所在平面外一点,M、N分别是AB、PC的中点,平面PAD平面PBC=m.(1)求证:BCm;(2)MN与平面PAD是否平行?试证明你的结论.剖析:(1)运用线面平
4、行的判定与性质定理; (2)在平面PAD上探寻与直线MN平行的直线. (1)证明:BC平面PAD,AD平面PAD,BCAD, BC平面PAD(判定定理). 而BC平面PBC,平面PBC平面PAD=m, BCm(性质定理).(2)解:平行.事实上,连结CM并延长,交DA的延长线于T,再连结PT. M是平行四边形ABCD的边AB的中点, M是TC的中点. MN是TPC的中位线. MNPT. 又T平面PAD, PT平面PAD. MN平面PAD.讲评:找到平面PAD中的直线PT是解题的关键.实质上这里利用了公理2.【例2】 如图，两个全等的正方形ABCD和ABEF所在平面相交于AB，MAC,NFB且A
5、M=FN，求证：MN平面BCE.证法一:过M作MPBC，NQBE，P、Q为垂足(如上图)，连结PQ. MPAB，NQAB， MPNQ. 又NQ=BN=CM=MP， MPQN是平行四边形.MNPQ，PQ平面BCE. 而MN平面BCE， MN平面BCE.证法二:过M作MGBC,交AB于点G(如右图)，连结NG. MGBC，BC平面BCE, MG平面BCE，MG平面BCE. 又=,GNAFBE,同样可证明GN平面BCE. 又MGNG=G， 平面MNG平面BCE.又MN平面MNG, MN平面BCE.链接提示 证明直线和平面的平行通常采用如下两种方法:(1)利用直线和平面平行的判定定理,通过“线线”平行
6、，证得“线面”平行；(2)利用两平面平行的性质定理，通过“面面”平行，证得“线面”平行.【例3】 已知正四棱锥PABCD的底面边长及侧棱长均为13,M、N分别是PA、BD上的点,且PMMA=BNND=58.(1)求证:直线MN平面PBC;(2)求直线MN与平面ABCD所成的角.(1)证明:PABCD是正四棱锥, ABCD是正方形.连结AN并延长交BC于点E,连结PE. ADBC, ENAN=BNND. 又BNND=PMMA,ENAN=PMMA. MNPE. 又PE在平面PBC内,MN平面PBC.(2)解:由(1)知MNPE, MN与平面ABCD所成的角就是PE与平面ABCD所成的角. 设点P在底面ABCD上的射影为O,连结OE,则PEO为PE与平面ABCD所成的角. 由正棱锥的性质知PO=. 由(1)知,BEAD=BNND=58,BE=. 在PEB中,PBE=60,PB=13,BE=, 根据余弦定理,得PE=.在RtPOE中,PO=,PE=, sinPEO=. 故MN与平面ABCD所成的角为arcsin.链接聚焦 证线面平行,一般是转化为证线线平行.求直线与平面所成的角一般用构造法,作出线与面所成的角.本题若直接求MN与平面ABCD所成的角,计算困难,而平移转化为PE与平面ABCD所成的角则计算容易.可见平移是求线线角、线面角的重要方法.
