1、抛物线的几何性质前面我们已学过椭圆与双曲线的几何性质,它们都是通过标准方程的形式研究的,现在请大家想想抛物线的标准方程、图形、焦点及准线是什么?一、复习回顾：图形方程焦点准线lFyxOlFyxOlFyxOlFyxO2px 2px2py2py)0,2(pF)0,2(pF)2,0(pF)2,0(pFy2=2px（p0）y2=-2px（p0）x2=2py（p0）x2=-2py（p0）练习：填空（顶点在原点，焦点在坐标轴上）方程焦点准线开口方向xy62 yx42 0722 yx)0,(23F)0,1(F)1,0(F),0(87F23x1x1y87yxy42开口向右开口向左开口向上开口向下yox)0,2
2、(pFP(x,y)一、抛物线的几何性质抛物线在y轴的右侧，当x的值增大时，y也增大，这说明抛物线向右上方和右下方无限延伸。1、范围由抛物线y2=2px（p0）220pxy而0p 0 x 所以抛物线的范围为0 x(,)x y关于x轴对称(,)xy由于点也满足，故抛物线(p0)关于x轴对称.(,)xyy2=2pxy2=2px2、对称性yox)0,2(pFP(x,y)定义：抛物线和它的轴的交点称为抛物线的顶点。yox)0,2(pFP(x,y)由y2=2px（p0）当y=0时,x=0,因此抛物线的顶点就是坐标原点（0，0）。注:这与椭圆有四个顶点,双曲线有两个顶点不同。、顶点4、离心率yox)0,2(
3、pFP(x,y)抛物线上的点与焦点的距离和它到准线的距离 之比，叫做抛物线的离心率，由抛物线的定义，可知e=1。下面请大家得出其余三种标准方程抛物线的几何性质。5、开口方向yox)0,2(pFP(x,y)抛物线y2=2px（p0）的开口方向向右。pyxpyxpxypxy22222222+X，x轴正半轴，向右-X，x轴负半轴，向左+y，y轴正半轴，向上-y，y轴负半轴，向下特点：1.抛物线只位于半个坐标平面内,虽然它可以无限延伸,但它没有渐近线;2.抛物线只有一条对称轴,没有对称中心;3.抛物线只有一个顶点、一个焦点、一条准线;4.抛物线的离心率是确定的,为1;思考：抛物线标准方程中的p对抛物线
4、开口的影响.yox)0,2(pFP(x,y)4321-1-2-3-4-5-2246810y2=xy2=xy2=2xy2=4x21（二）归纳：抛物线的几何性质图形方程焦点准线 范围 顶点 对称轴elFyxOlFyxOlFyxOlFyxOy2=2px（p0）y2=-2px（p0）x2=2py（p0）x2=-2py（p0）)0,2(pF)0,2(pF)2,0(pF)2,0(pF2px 2px2py2py x0yRx0yRy0 xRy 0 xR(0,0)x轴y轴1 例：已知抛物线关于x轴对称，它的顶点在坐标原点，并且经过点M（，），求它的标准方程，并用描点法画出图形。2 2所以设方程为：)0(22pp
5、xy又因为点M在抛物线上：所以：2(2 2)22p2p因此所求抛物线标准方程为：24yx（三）、例题讲解：因为抛物线关于x轴对称，它的顶点在坐标原点，并且经过点M（，），2 224yx作图：(1)列表（在第一象限内列表）x01234y(2)描点：022.83.54(3)连线：11xyO变式题：求并顶点在坐标原点，对称轴为坐标轴，并且经过点M（，），抛物线的标准方程。2 2（三）、例题讲解：（三）、例题讲解：练习：顶点在坐标原点，焦点在y轴上，并且经过点M（4,)的抛物线的标准方程为 yxDyxCyxByxA212222.2.4.8.yxxyDxyCxyBxyA364.2.2.4.22222或（
6、三）、例题讲解：练习2：顶点在坐标原点，对称轴是X轴，点M（-5,)到焦点距离为6,则抛物线的标准方程为 52变式题2：已抛物线C的顶点在坐标原点，焦点F在X轴的正半轴上,若抛物线上一动点P到A(2,1/3),F两点的距离之和最小值为4,求抛物线的标准方程。（三）、例题讲解：斜率为1的直线l 经过抛物线y2=4x的焦点,且与抛物线相交于A，B两点，求线段AB的长。（三）、例题讲解：课本例题推广：直线l 经过抛物线y2=2px的焦点,且与抛物线相交于A，B两点，则线段AB的长|AB|=x1+x2+P.练习3：已知过抛物线y2=9x的焦点的弦长为12,则弦所在直线的倾斜角是（三）、例题讲解：232
7、3434656.DCBA或或或练习4：若直线l 经过抛物线y2=4x的焦点,与抛物线相交于A，B两点,且线段AB的中点的横坐标为2,求线段AB的长.（三）、例题讲解：已知抛物线的方程为y2=4x,直线l 经过点P(-2,1),斜率为k.当k为何值时,直线与抛物线:只有一个公共点;有两个公共点:没有公共点.（三）、例题讲解：变式题3：已知直线y=(a+1)x与曲线y2=ax恰有一个公共点,求实数a的值.（三）、例题讲解：练习5：已知直线y=kx+2与抛物线y2=8x恰有一个公共点,则实数k的值为（三）、例题讲解：01.0.31.1.或或DCBA例4：已知过点Q(4,1)作抛物线y2=8x的弦AB
8、,恰被Q平分,求弦AB所在的直线方程.（三）、例题讲解：练习6：求以Q(1,-1)为中点的抛物线y2=8x的弦AB所在的直线方程.（三）、例题讲解：变式题4：求过点P(0,1)且与抛物线y2=2x只有一个公共点的直线方程.（三）、例题讲解：例5：求抛物线y2=64x上的点到直线4x+3y+46=0的距离的最小值,并求取得最小值时的抛物线上的点的坐标.课堂练习：求适合下列条件的抛物线的方程：（1）顶点在原点，焦点F为（0，5）;（2）顶点在原点，关于x轴对称,并且 经过点M(5,-4).20 xy2165yx2小结:1.掌握抛物线的几何性质:范围、对称性、顶点、离心率、通径;2.会利用抛物线的几何性质求抛物线的标准方程、焦点坐标及解决其它问题;
