1、第1讲 随机事件及其概率 知 识 梳 理 1- 1 - 事件的定义：随机事件：在一定条件下可能发生也可能不发生的事件；必然事件：在一定条件下必然发生的事件；不可能事件：在一定条件下不可能发生的事件2随机事件的概率：一般地，在大量重复进行同一试验时，事件发生的频率总是接近某个常数，在它附近摆动，这时就把这个常数叫做事件的概率，记作特别提醒：只有在每一种可能出现的概率都相同的前提下，计算出的基本事件的个数才是正确的，才能用等可能事件的概率计算公式=来进行计算3. 概率的确定方法：通过进行大量的重复试验，用这个事件发生的频率近似地作为它的概率；4概率的性质：必然事件的概率为，不可能事件的概率为，随机
2、事件的概率为，必然事件和不可能事件看作随机事件的两个极端情形 5 互斥事件:不可能同时发生的两个事件一般地：如果事件中的任何两个都是互斥的，那么就说事件彼此互斥特别提醒：若事件A与B不是互斥事件而是相互独立事件，那么在计算的值时绝对不可以使用这个公式6对立事件:必然有一个发生的互斥事件7互斥事件的概率的求法:如果事件彼此互斥，那么 特别提醒：一. 对于互斥事件要抓住如下的特征进行理解：1互斥事件研究的是两个事件之间的关系;2所研究的两个事件是在一次试验中涉及的;3两个事件互斥是从试验的结果不能同时出现来确定的.从集合角度来看，A、B两个事件互斥，则表示A、B这两个事件所含结果组成的集合的交集是
3、空集.二 对立事件是互斥事件的一种特殊情况，是指在一次试验中有且仅有一个发生的两个事件，集合A的对立事件记作，从集合的角度来看，事件所含结果的集合正是全集U中由事件A所含结果组成集合的补集，即A=U，A=.对立事件一定是互斥事件，但互斥事件不一定是对立事件.三.事件A、B的和记作A+B，表示事件A、B至少有一个发生.当A、B为互斥事件时，事件A+B是由“A发生而B不发生”以及“B发生而A不发生”构成的. 重 难 点 突 破 1.重点：了解随机事件，了解两个互斥事件的概率加法公式。2.难点：会用基本公式计算相关的概率问题.3.重难点：.(1) “有序”与“无序”混同.问题1: 从10件产品（其中
4、次品3件）中，一件一件地不放回地任意取出4件，求4件中恰有1件次品的概率。错解：因为第一次有10种取法，第二次有9种取法，第三次有8种取法，第四次有7种取法，由乘法原理可知从10件取4件共有10987种取法，故从10件产品（其中次品3件）中，一件一件地不放回地任意取出4件含有10987个可能的结果。设A=“取出的4件中恰有1件次品”，则A含有种结果（先从3件次品中取1件，再从7件正品中取3件），点拨：计算所有可能结果个数是用排列的方法，即考虑了抽取的顺序；而计算事件A所包含结果个数时是用组合的方法，即没有考虑抽取的顺序。正解：（1）都用排列方法所有可能的结果共有个，事件A包含个结果（4件中要恰
5、有1件次品，可以看成四次抽取中有一次抽到次品，有种方式，对于每一方式，从3件次品中取一件，再从7件正品中一件一件地取3件，共有种取法）（2）都用组合方法一件一件不放回地抽取4件，可以看成一次抽取4件，故共有个可能的结果，事件A含有种结果。（2）“互斥”与“对立”混同问题2: 从装有2个红球和2个白球的口袋内任取2个球，那么互斥而不对立的两个事件是（ ）A至少有1个白球，都是白球 B至少有1个白球，至少有1个红球C恰有1个白球，恰有2个白球 D至少有1个白球，都是红球错误答案（D）点拨： 本题错误的原因在于把“互斥”与“对立”混同要准确解答这类问题，必须搞清对立事件与互斥事件的联系与区别，这二者
6、的联系与区别主要体现在以下三个方面：（1）两事件对立，必定互斥，但互斥未必对立；（2）互斥的概念适用于多个事件，但对立概念只适用于两个事件；（3）两个事件互斥只表明这两个事件不能同时发生，即至多只能发生其中一个，但可以都不发生；而两事件对立则表示它们有且仅有一个发生。正解（A），（B）不互斥，当然也不对立，（C）互斥而不对立，（D）不但互斥而且对立所以正确答案应为（C）。 热 点 考 点 题 型 探 析考点一：随机事件的概率题型1.椭机事件的判断例1（1）给出下列四个命题：“当时，”是必然事件；“当时，”是不可能事件；“当时，”是随机事件；“当时，”是必然事件；其中正确的命题个数是：0 B 1
7、 C 2 D 3（2）判断是否正确：“若某疾病的死亡率是90，一地区已有9人患此病死亡，则第10个病人必能成活。”(3) 判断是否正确:“某次摸彩的彩票共有10万张，中大奖的概率是10万分子1，若已有9万9千张彩票已被摸出而且没有大奖，某人包下剩下的1千张彩票，那么此人必能中大奖。”（4）某篮球运动员在同一条件下进行投篮练习，经过如下表：投篮次数n8101520304050进球次数m681217253238进球频率0.750.80.80.850.830.80.76问：随着这位运动员投篮次数的无穷增加，他的进球的概率会是多少？解题思路：正确理解概率的相关概念解析：（1）B；（2）否；（3）是；（
8、4）0.8. 例2 (四川省成都市新都一中高2008级12月月考)已知非空集合A、B满足AB，给出以下四个命题：若任取xA，则xB是必然事件若xA，则xB是不可能事件若任取xB，则xA是随机事件若xB，则xA是必然事件其中正确的个数是( )A、1B、2C、3D、4答案：C解题思路：本题主要考查命题、随机事件等基本概念及其灵活运用.解析：正确，错误.【名师指引】正确理解概率辩证的概念，它既不是机械的也不是虚无缥缈的此类题目多见于选择判断题，比较简单，但要求对相关的的概念要掌握牢固，否则易出现混淆。【新题导练】1 (江苏省南通通州市2008届高三年级第二次统一测试)从一堆苹果中任取了只，并得到它们
9、的质量（单位：克）数据分布表如下：分组频数123101则这堆苹果中，质量小于克的苹果数约占苹果总数的 答案：302（2009年广东省广州市高三年级调研测试数学（文 科）某校高三文科分为四个班.高三数学调研测试后, 随机地在各班抽取部分学生进行测试成绩统计,各班被抽取的学生人数恰好成等差数列,人数最少的班被抽取了22人. 抽取出来的所有学生的测试成绩统计结果的频率分布条形图如图5所示,其中120130(包括120分但不包括130分)的频率为0.05,此分数段的人数为5人. 0 (1) 问各班被抽取的学生人数各为多少人? (2) 在抽取的所有学生中,任取一名学生, 求分数不小于90分的概率. 解:
10、(1) 由频率分布条形图知,抽取的学生总数为人. 4分 各班被抽取的学生人数成等差数列,设其公差为,由=100,解得.各班被抽取的学生人数分别是22人，24人，26人，28人. 8分(2) 在抽取的学生中,任取一名学生, 则分数不小于90分的概率为0.35+0.25+0.1+0.05=0.75.题型2。求随机事件的概率例3 (广东省广州执信中学、中山纪念中学、深圳外国语学校三校期末联考）旅游公司为3个旅游团提供4条旅游线路，每个旅游团任选其中一条. （1）求3个旅游团选择3条不同的线路的概率 （2）求恰有2条线路没有被选择的概率.解题思路：分别找出总事件和所求事件的个数，即可求出随机事件的概率
11、。解析：（1）3个旅游团选择3条不同线路的概率为： （2）恰有两条线路没有被选择的概率为： 【名师指引】在确定应用公式P（A）=后，关键是要把的值求正确。【新题导练】3. （广东省北江中学2009届高三月考）将一颗骰子先后抛掷2次，观察向上的点数，求：（）两数之和为8的概率；（）两数之和是3的倍数的概率；解: 将一颗骰子先后抛掷2次，此问题中含有36个等可能基本事件-1分记“两数之和为8”为事件A，则事件A中含有5个基本事件，所以P（A）=；答：两数之和为6的概率为。- 5分 （2）记“两数之和是3的倍数”为事件B，则事件B中含有12个基本事件，所以P（B）=；答：两数之和是3的倍数的概率为。
12、-9分4（珠海市斗门中学2009届高三上学期第三次模拟）小明、小华用4张扑克牌（分别是黑桃2、黑桃4，黑桃5、梅花5）玩游戏，他们将扑克牌洗匀后，背面朝上放在桌面上，小明先抽，小华后抽，抽出的牌不放回，各抽一张（1）若小明恰好抽到黑桃4；请绘制出这种情况的树状图求小华抽出的牌的牌面数字比4大的概率（2）小明、小华约定：若小明抽到的牌的牌面数字比小华的大，则小明胜，反之，则小明负，你认为这个游戏是否公平，说明你的理由解：（1） 小明抽出的牌 小华抽出的牌 结果 2 （4，2） 4 5 （4，5） 5 （4，5） 3分 由可知小华抽出的牌面数字比4大的概率为： 6分 （2）小明获胜的情况有：（4，
13、2）、（5，4）、（5，4）、（5，2）、（5，2） 故小明获胜的概率为： ， 因为，所以不公平. 13分考点二: 互斥事件、对立事件的概率题型1:互斥事件 、对立事件的概念考查例418个篮球队中有2个强队，先任意将这8个队分成两个组（每组4个队）进行比赛，则这两个强队被分在一个组内的概率是 ；解题思路：正确理解互斥事件 、对立事件的概念。解析一：2个强队分在同一组，包括互斥的两种情况：2个强队都分在A组和都分在B组。2个强队都分在A组，可看成“从8个队中抽取4个队，里面包括2个强队”这一事件，其概率为；2个强队都分在B组，可看成“从8个队中抽取4个队，里面没有强队”这一事件，其概率为；因此2
14、个强队分在同一个组的概率为。解析二：“2个强队分在同一个组”这一事件的对立事件“2个组中各有一个强队”，而两个组中各有一个强队，可看成“从8个队中抽取4个队，里面恰有一个强队”，这一事件，其概率为，因此2个强队分在同一个组的概率为：。 例5（广东省高明一中2009届高三上学期第四次月考数学理）甲、乙两班各派2名同学参加年级数学竞赛，参赛同学成绩及格的概率都为0.6，且参赛同学的成绩相互之间没有影响，求：（1）甲、乙两班参赛同学中各有1名同学成绩及格的概率；（2）甲、乙两班参赛同学中至少有1名同学成绩及格的概率解题思路：利用概率乘法公式和互斥事件，对立事件的基础知识解析：（1）甲班参赛同学恰有1
15、名同学成绩及格的概率为C210.60.4=0.48. 乙班参赛同学中恰有一名同学成绩及格的概率为C210.60.4=0.48.故甲、乙两班参赛同学中各有1名同学成绩几个的概率为p=0.480.48=0.230 4.（2）方法一：甲、乙两班4名参赛同学成绩都不及格的概率为0.44=0.025 6. 故甲、乙两班参赛同学中至少有一名同学成绩都不及格的概率为P=1-0.0256=0.974 4.方法二：甲、乙两班参赛同学成绩及格的概率为C410.60.43=0.153 6. 甲、乙两班参赛同学中恰有2名同学成绩及格的概率为C420.620.42=0.345 6. 甲、乙两班参赛同学中恰有3名同学成绩
16、及格的概率为C430.630.4=0.345 6. 甲、乙两班4名参赛同学成绩都及格的概率为0.64=0.129 6. 故甲、乙两班参赛同学中至少有1名同学成绩及格的概率为p=0.153 6+0.345 6+0.345 6+0.129 6=0.974 4. 【名师指引】运用互斥事件的概率加法公式解题时， 首先要分清事件是否互斥，同时要学会把一个事件分拆为几个互斥事件，做到不重不漏。【新题导练】5 （2008年韶关第一次调研）一台机床有的时间加工零件A, 其余时间加工零件B, 加工A时,停机的概率是,加工B时,停机的概率是, 则这台机床停机的概率为( ) A. B. C. D. .A 解析：机床
17、停机的概率就是A，B两种零件都不能加工的概率，即=.6（广东深圳外国语学校2008月考理科数学试题）有朋自远方来，已知他乘火车、轮船、汽车、飞机来的概率分别是0.3，0.2，0.1，0.4(1)求他乘火车或飞机来的概率；(2)求他不乘轮船来的概率；（3)如果他来的概率为0.4，请问他有可能是乘何种交通工具来的？解：设“朋友乘火车、轮船、汽车、飞机来”分别为事件A,B,C,D，则P(A)=0.3，P(B)=0.2，P(C)=0.1，P(D)=0.4，且事件A,B,C,D之间是互斥的(1)他乘火车或飞机来的概率为P1=P(AD)=P(A)P(D)=0.30.4=0.7.(2)他乘轮船来的概率是P(
18、B)=0.2，所以他不乘轮船来的概率为P()=1P(B)=10.2=0.8 （3)由于0.4=P(D)=P(A)P(C)，所以他可能是乘飞机来，也可能是乘火车或汽车来的 抢 分 频 道 基础巩固训练1. (江苏省启东中学2009届高三综合测试)从2004名学生中选取50名组成参观团，若采用下面的方法选取：先用简单随机抽样从2004人中剔除4人，剩下的2000人再按系统抽样的方法进行，则每人入选的概率A不全相等B均不相等C都相等且为D都相等且为 答案：C2. (广东省佛山市三水中学2009届高三测试)甲、乙、丙三位同学上课后独立完成5道自我检测题，甲及格概率为，乙及格概率为，丙及格概率为，则三人
19、中至少有一人及格的概率为（ ） AB CD答案：B3(上海市部分重点中学2008届高三第二次联考)某机关的2008年新春联欢会原定10个节目已排成节目单，开演前又增加了两个反映军民联手抗击雪灾的节目，将这两个节目随机地排入原节目单，则这两个新节目恰好排在一起的概率是_答案：4（广东省深圳市2009 届高三九校联考）从编号为1，2，3，4，5，6，7，8，9，10的十个形状大小相同的球中，任取3个球，则这3个球编号之和为奇数的概率是_. 方法一：任取3个球有C种结果，编号之和为奇数的结果有CC+ C=60（种），故所求概率为.方法二：十个球的编号中，恰好有5个奇数和5个偶数，从中任取3个球，3个
20、球编号之和为奇数与3个球编号之和为偶数的机会是均等的，故所求概率为.5（广东省黄岐高级中学2009届高三上学期12月月考）将A、B两枚骰子各抛掷一次，观察向上的点数，问：（I）共有多少种不同的结果？（II）两枚骰子点数之和是3的倍数的结果有多少种？（III）两枚骰子点数之和是3的倍数的概率是多少？解: （I） 共有种结果4分（II） 若用(a,b)来表示两枚骰子向上的点数，则点数之和是3的倍数的结果有：（1,2），（2,1），（1,5），（5,1），（2,4），（4,2），（3,3），（4,5），（5,4），（3,6），（6,3），（6,6）共12种8分（III）两枚骰子点数之和是3的倍数的概
21、率是：P 12分6 (江西省鹰潭市2008届高三第一次模拟)在一次语文测试中，有一道我国四大文学名著水浒传、三国演义、西游记、红楼梦与它们的作者的连线题，已知连对一个得2分，连错一个不得分. （）求该同学得0分的概率； （）求该同学至多得4分的概率.解：（I）设该同学得0分的概率； （）解法一：该同学至多得4分的概率.=+= 解法二：该同学至多得4分的概率.综合拔高训练7有一种密码，明文是由三个字符组成，密码是由明文对应的五个数字组成，编码规则如下表：明文由表中每一排取一个字符组成，且第一排取的字符放在第一位，第二排取的字符放在第二位，第三排取的字符放在第三位，对应的密码由明文对应的数字按相同
22、的次序排成一组成.第一排明文字符ABCD密码字符11121314第二排明文字符EFGH密码字符21222324第三排明文字符MNPQ密码字符1234 （）求密码中有两个不同数字的概率。（）求密码中有三个不同数字的概率。解：（）由密码中只有两个数字，注意到密码的第1，2列分别总是1，2，即只能取表格第1，2列中的数字作为密码. （）.由密码中只有三个数字，注意表格的第一排总含有数字1，第二排总含有数字2则密码中只可能取数字1，2，3或1，2，4. 8 （广东省高明一中2009届高三上学期第四次月考数学理） 盒中有6只灯泡，其中2只次品，4只正品，有放回地从中任取两次，每次取一只，试求下列事件的概
23、率：（1）取到的2只都是次品；（2）取到的2只中正品、次品各一只；（3）取到的2只中至少有一只正品。解：从6只灯泡中有放回地任取两只，共有62=36种不同取法2分 （1）取到的2只都是次品情况为22=4种，因而所求概率为4分（2）由于取到的2只中正品、次品各一只有两种可能：第一次取到正品，第二次取到次品；及第一次取到次品，第二次取到正品。因而所求概率为8分（3）由于“取到的两只中至少有一只正品”是事件“取到的两只都是次品”的对立事件，因而所求概率为12分9定义与的差集：且。若，设，均为整数，且。为取自的概率，为取自的概率，写出与的二组值，使，。解：要使，。可以使中有3个元素，中有2个元素， 中有1个元素。则。中有6个元素，中有4个元素， 中有2个元素。则10（广州市海珠区2009届高三综合测试二）将一枚骰子先后抛掷2次,观察向上面的点数()点数之和是5的概率;()设分别是将一枚骰子先后抛掷2次向上面的点数,求式子成立的概率.解:将一枚骰子先后抛掷2次,向上的点数共有36种不同的结果.1分()将一枚骰子先后抛掷2次,向上的点数分别记为,点数之和是5的情况有以下4种不同的结果5分因此,点数之和是5的概率为6分 ()由得,8分而将一枚骰子先后抛掷2次向上的点数相等的情况有以下6种不同的结果:11分因此,式子成立的概率为12分
