1、第五章 三角函数 5.7 三角函数的应用学 习 目 标核 心 素 养 1.了解三角函数是描述周期变化现象的重要函数模型，并会用三角函数模型解决一些简单的实际问题(重点)2.实际问题抽象为三角函数模型(难点)1.通过建立三角模型解决实际问题，培养数学建模素养.2.借助实际问题求解，提升数学运算素养.情 景 导 学 探 新 知 温州市区著名景点江心屿，江心屿上面有座寺庙江心寺，在江心寺中题了一副非常知名的对联上联是：云朝朝 朝朝朝 朝朝朝散；下联是：潮长长 长长长 长长长消该对联巧妙地运用了叠字诗展现了瓯江潮水涨落的壮阔画面下面是瓯江江心屿码头在某年某个季节每天的时间与水深的关系表：江心屿时间 0
2、13 689 12 15 18 21 24 水深 6 6.25 7.5 5 2.84 2.5 5 7.5 5 2.5 5问题：(1)仔细观察表格中的数据，你能从中得到一些什么信息？(2)以时间为横坐标，水深为纵坐标建立平面直角坐标系，将上面表格中的数据对应点描在直角坐标系中，你能得到什么结论？提示：(1)水深随时间的变化呈周期变化(2)若用平滑的曲线连结各点，则大致呈正弦曲线1函数 yAsin(x)，A0，0 中参数的物理意义2解三角函数应用题的基本步骤(1)审清题意；(2)搜集整理数据，建立数学模型；(3)讨论变量关系，求解数学模型；(4)检验，作出结论1思考辨析(正确的画“”，错误的画“”
3、)(1)函数 y|sin x12|的周期为.()(2)一个弹簧振子做简谐振动的周期为 0.4 s，振幅为 5 cm，则该振子在 2 s 内通过的路程为 50 cm.()(3)电流强度 I(A)随时间 t(s)变化的关系式是 I5sin100t3，则当 t 1200 s 时，电流强度 I 为52 A()提示(1)错误函数 y|sin x12|的周期为 2.(2)错误一个周期通过路程为 20 cm，所以 2 s 内通过的路程为20 20.4100(cm)(3)正确 答案(1)(2)(3)2函数 y13sin13x6 的周期、振幅、初相分别是()A3，13，6 B6，13，6C3，3，6D6，3，6
4、B y13sin13x6 的周期 T2136，振幅为13，初相为6.3函数 y3sin12x6 的频率为，相位为，初相为14 12x6 6 频率为1T122 14，相位为12x6，初相为6.4如图为某简谐运动的图象，则这个简谐运动需要s往返一次0.8 观察图象可知此简谐运动的周期 T0.8，所以这个简谐运动需要 0.8 s 往返一次合 作 探 究 释 疑 难 三角函数模型在物理学中的应用【例1】已知弹簧上挂着的小球做上下振动时，小球离开平衡位置的位移s(cm)随时间t(s)的变化规律为s4sin2t3，t0，)用“五点法”作出这个函数的简图，并回答下列问题(1)小球在开始振动(t0)时的位移是
5、多少？(2)小球上升到最高点和下降到最低点时的位移分别是多少？(3)经过多长时间小球往复振动一次？思路点拨 确定函数yAsin(x)中的参数A，的物理意义是解题关键解 列表如下：t612371256 2t302322 sin2t301010 s04040 描点、连线，图象如图所示(1)将t0代入s4sin2t3，得s4sin 32 3，所以小球开始振动时的位移是2 3 cm.(2)小球上升到最高点和下降到最低点时的位移分别是4 cm和4 cm.(3)因为振动的周期是，所以小球往复振动一次所用的时间是 s.在物理学中，物体做简谐运动时可用正弦型函数yAsinx表示物体振动的位移y随时间x的变化规
6、律，A为振幅，表示物体离开平衡位置的最大距离，T2 为周期，表示物体往复振动一次所需的时间，f1T为频率，表示物体在单位时间内往复振动的次数.跟进训练交流电的电压E(单位：V)与时间t(单位：s)的关系可用E220 3sin100t6 来表示，求：(1)开始时电压；(2)电压值重复出现一次的时间间隔；(3)电压的最大值和第一次获得最大值的时间解(1)当t0时，E110 3(V)，即开始时的电压为110 3 V.(2)T 2100 150(s)，即时间间隔为0.02 s.(3)电压的最大值为220 3 V，当100t62，即t 1300 s时第一次取得最大值.三角函数模型的实际应用 探究问题在处
7、理曲线拟合和预测的问题时，通常需要几个步骤？提示：(1)根据原始数据画出散点图(2)通过考察散点图，画出与其“最贴近”的直线或曲线，即拟合直线或拟合曲线(3)根据所学函数知识，求出拟合直线或拟合曲线的函数关系式(4)利用函数关系式，根据条件对所给问题进行预测和控制，以便为决策和管理提供依据【例2】已知某海滨浴场的海浪高度y(米)是时间t(时)的函数，其中0t24，记yf(t)，下表是某日各时的浪高数据：t036912 15 182124 y 1.5 1.0 0.5 1.0 1.5 1 0.5 0.99 1.5经长期观测，yf(t)的图象可近似地看成是函数yAcos tb的图象(1)根据以上数据
8、，求其最小正周期，振幅及函数解析式；(2)根据规定，当海浪高度大于1米时才对冲浪爱好者开放，请依据(1)的结论，判断一天内的8：00到20：00之间，有多少时间可供冲浪者进行活动？思路点拨(1)根据y的最大值和最小值求A，b，定周期求.(2)解不等式y1，确定有多少时间可供冲浪者活动 解(1)由表中数据可知，T12，6.又t0时，y1.5，Ab1.5；t3时，y1.0，得b1.0，所以振幅为 12，函数解析式为y12cos6t1(0t24)(2)y1时，才对冲浪爱好者开放，y12cos6t11，cos6t0,2k 2 6 t2k 2，即12k3t12k3，(kZ)又0t24，所以0t3或9t1
9、5或21t24，所以在规定时间内只有6个小时冲浪爱好者可以进行活动，即9t15.1若将本例中“大于1米”改为“大于1.25米”，结果又如何？解 由y12cos6t11.25得cos6t12，2k36t2k3，kZ，即12k2t12k2，kZ.又0t24，所以0t2或10t14或22t24，所以在规定时间内只有4个小时冲浪爱好者可以进行活动，即10t14.2若本例中海滨浴场某区域的水深y(米)与时间t(时)的数据如下表：t(时)03691215182124 y(米)10.0 13.0 9.9 7.0 10.0 13.0 10.1 7.0 10.0用yAsin tb刻画水深与时间的对应关系，试求此
10、函数解析式 解 函数yAsin tb在一个周期内由最大变到最小需936(h)，此为半个周期，函数的最小正周期为12 h，因此212，6.又当t0时，y10；当t3时，ymax13，b10，A13103，所求函数的解析式为y3sin 6t10(0t24)解三角函数应用问题的基本步骤 提醒：关注实际意义求准定义域课 堂 小 结 提 素 养 1掌握2个应用(1)三角函数在物理中的应用(2)三角函数在生活中的应用2掌握4个步骤 解答三角函数应用题的基本步骤可分为四步：审题、建模、解模、还原评价(1)构建三角函数模型解决具有周期变化现象的实际问题(2)对于测量中的问题归结到三角形中去处理，应用三角函数的
11、概念和解三角形知识解决问题1商场人流量被定义为每分钟通过入口的人数，五一节某商场的人流量满足函数F(t)504sin t2(t0)，则在下列哪个时间段内人流量是增加的()A0,5 B5,10C10,15D15,20C 由2k2 t22k2，kZ，知函数F(t)的增区间为4k，4k，kZ.当k1时，t3，5，而10,153，5，故选C.2在两个弹簧上各有一个质量分别为M1和M2的小球做上下自由振动已知它们在时间t(s)离开平衡位置的位移s1(cm)和s2(cm)分别由s15sin2t6，s210cos 2t确定，则当t23 s时，s1与s2的大小关系是()As1s2 Bs1s2Cs1s2D不能确
12、定C 当t23 时，s15sin43 6 5sin32 5，当t23 时，s210cos43 1012 5，故s1s2.3一根长l cm的线，一端固定，另一端悬挂一个小球，小球摆动时离开平衡位置的位移s(cm)与时间t(s)的函数关系式为s3cosglt3，其中g是重力加速度，当小球摆动的周期是1 s时，线长lcm.g42 由已知得 2gl1，所以gl2，gl42，l g42.4如图所示的图象显示的是相对于平均海平面的某海湾的水面高度y(m)在某天24 h内的变化情况，则水面高度y关于从夜间0时开始的时间x的函数关系式为y6sin 6 x 设y与x的函数关系式为yAsin(x)(A0，0)，则
13、A6，T212，6.当x9时，ymax6.故6922k，kZ.取k1得，即y6sin6x.5如图所示，某动物种群数量1月1日低至700,7月1日高至900，其总量在此两值之间依正弦型曲线变化(1)求出种群数量y关于时间t的函数表达式；(其中t以年初以来的月为计量单位)(2)估计当年3月1日动物种群数量解(1)设种群数量y关于t的解析式为yAsin(t)b(A0，0)，则Ab700，Ab900，解得A100，b800.又周期T2(60)12，2T 6，y100sin6t 800.又当t6时，y900，900100sin66 800，sin()1，sin 1，取2，y100sin6t2 800.(2)当t2时，y100sin622 800750，即当年3月1日动物种群数量约是750.点击右图进入 课 时 分 层 作 业 Thank you for watching!
