1、2.3 函数的单调性巩固夯实基础 一、自主梳理 1.单调性的定义 设函数f(x)的定义域为I:如果对于属于定义域I内某个区间上的任意两个自变量x1、x2,当x1x2时,都有f(x1)f(x2),那么就说f(x)在这个区间上是增函数;如果对于属于定义域I内某个区间的任意两个自变量x1、x2,当x1f(x2),那么就说f(x)在这个区间上是减函数. 2.判断函数单调性的方法 (1)定义法. (2)利用基本函数的单调性,如:二次函数y=x2-2x在(-,1)上是减函数. (3)利用复合函数同增异减这个结论判断. (4)利用函数图象上升增下降减进行判断.另外利用导数值的符号也能判断函数的单调性. 二、
2、点击双基1下列函数中，在区间(0，2)上为增函数的是( )A.y=-x+1 B.y= C.y=x2-4x+5 D.y=答案:B2函数y=loga(x2+2x-3)，当x=2时，y0，则此函数的单调递减区间是( )A.(-，-3) B.(1，+) C.(-，-1) D.(-1，+)解析:当x=2时，y=loga50，A1. 由x2+2x-30x-3或x1，易见函数t=x2+2x-3在(-，-3)上递减，故函数y=loga(x2+2x-3)(其中a1)也在(-，-3)上递减.答案:A3（2005上海高考）若函数f(x)=,则该函数在(-,+)上是( )A.单调递减无最小值 B.单调递减有最小值C.
3、单调递增无最大值 D.单调递增有最大值解析：由于u(x)=2x+1在R上递增且大于1,则f(x)=在R上递减,无最小值,选A.答案：A4（2006北京海淀模拟）函数y=lgsin(-2x)的单调增区间是( )A.(k-,k-)(kZ) B.k-,k+(kZ)C.(k-,k-)(kZ) D.k-,k+(kZ)解析:令y=lg,=sin(-2x). 根据复合函数单调区间的求法,只需使2k+-2x2k+即可. -k-0)在x(-1,1)上的单调性.解:设-1x1x21, 则f(x1)-f(x2)= = =. -1x1x20,x1x2+10,(x12-1)(x22-1)0. 又a0， f(x1)-f(
4、x2)0,函数f(x)在(-1，1)上为减函数.【例3】 求函数y=x+的单调区间.剖析:求函数的单调区间(亦即判断函数的单调性)，一般有三种方法: (1)图象法；(2)定义法；(3)利用已知函数的单调性.但本题图象不易作，利用y=x与y=的单调性(一增一减）也难以确定，故只有用单调性定义来确定，即判断f(x2)-f(x1)的正负.解:首先确定定义域:x|x0, 在(-,0)和(0，+)两个区间上分别讨论.任取x1、x2(0,+)且x1x2,则f(x2)-f(x1)=x2+-x1-=(x2-x1)+=(x2-x1)(1-)，要确定此式的正负只要确定1-的正负即可. 这样，又需要判断大于1，还是
5、小于1.由于x1、x2的任意性，考虑到要将(0，+)分为(0，1)与(1，+)(这是本题的关键). (1)当x1、x2(0,1)时，1-0, f(x2)-f(x1)0, f(x2)-f(x1)0为增函数. 同理可求(3)当x1、x2(-1,0)时，为减函数;(4)当x1、x2(-,-1)时，为增函数.讲评:解答本题易出现以下错误结论:f(x)在(-1，0）(0，1）上是减函数，在(-,-1)(1,+)上是增函数，或说f(x)在(-,0)(0,+)上是单调函数.避免错误的关键是要正确理解函数的单调性概念:函数的单调性是对某个区间而言的，而不是两个或两个以上不相交区间的并.链接拓展 求函数y=x+
6、(a0)的单调区间. 提示:函数定义域x0，可先考虑在(0,+)上函数的单调性，再根据奇偶性与单调性的关系得到在(-,0)上的单调性. 答案:在(-,-)，(,+)上是增函数，在(0,),(-,0)上是减函数.【例4】 （2004北京东城模拟） 已知定义在R上的函数f(x)对任意的实数x1、x2满足关系f(x1+x2)=f(x1)+f(x2)+2.(1)证明f(x)的图象关于点(0,-2)成中心对称图形;(2)若x0,则有f(x)-2,求证:f(x)在(-,+)上是增函数.剖析:对于(1),只要证明=-2即可;对于(2),注意到f(x)是抽象函数,欲证单调性,需对f(x)进行适当的变形.证明:
7、(1)令x1=x2=0,则f(0+0)=f(0)+f(0)+2, 所以f(0)=-2. 对任意实数x,令x1=x,x2=-x,有f(x-x)=f(x)+f(-x)+2, 即f(0)-2=f(x)+f(-x),得=-2. 又=0, 这表明点M(x,f(x)与点N(-x,f(-x)的中点是(0,-2),即点M1N关于点(0,-2)成中心对称. 由点M的任意性知:函数f(x)的图象关于点(0,-2)成中心对称. (2)对任意实数x1、x2,且x10,有f(x2-x1)-2. 于是f(x2)=f(x2-x1)+x1=f(x2-x1)+f(x1)+2. 所以f(x2)-f(x1)=f(x2-x1)+2-2+2=0, 即f(x2)f(x1). 所以f(x)在(-,+)上是增函数.讲评:对于(1),求出f(0)=-2是解题的关键;对于(2),变形f(x2)=f(x2-x1)+x1=f(x2-x1)+f(x1)+2是解题的关键.
