1、1.1分类计数原理与分步计数原理导入;在日常的生产,生活中,我们常常会遇到一些需要计数的问题,例如:2010年中国足球协会超级联赛有14支球队参加,每支球队要和其余的13支球队进行比赛,而且在主场和客场各赛一次,那么联赛一共要安排多少场比赛呢?我国许多地区的电话号码都是由6位升至8位,这样电话号码可以增加多少?如果考虑用户不喜欢带4的,那么增加多少?回答这些问题将会用到这章的内容,这节课我们先学习两个原理.问题一：从天津到大连，可以乘火车，也可以乘汽车.一天中，火车有3班，汽车有2班.那么一天中，乘坐这些交通工具从甲地到乙地共有多少种不同的走法？1.1分类计数原理与分步计算原理1.1分类计数原
2、理与分步计算原理：完成一件事，有n类办法，在第1类办法中有m1种不同的方法，在第2类办法中有m2种不同的方法在第n类办法中有mn种不同的方法.那么完成这件事共有 N=m1+m2+mn种不同的方法.对于分类计数原理，注意以下几点.（1）从分类计数原理中可以看出，各类之间相互独立，都能完成这件事，且各类方法数相加，所以分类计数原理又称加法原理；（2）分类时，首先要根据问题的特点确定一个分类的标准，然后在确定的分类标准下进行分类；（3）完成这件事的任何一种方法必属于某一类，并且分别属于不同两类的两种方法都是不同的方法.1.1分类计数原理与分步计算原理问题二：从甲地到乙地，要从甲地先乘火车到丙地，再于
3、次日从丙地乘汽车到乙地.一天中，火车有3班，汽车有2班，那么两天中，从甲地到乙地共有多少种不同的走法？1.1分类计数原理与分步计算原理分步计数原理 完成一件事，需要分成n个步骤，做第1步有m1种不同的方法，做第2步有m2种不同的方法做第n步有mn种不同的方法.那么完成这件事共有 N=m1m2mn种不同的方法.1.1分类计数原理与分步计算原理对于分步计数原理，应注意以下几点.（1）分步计数原理与“分步”有关，各个步骤相互依存，只有各个步骤完成了，这件事才算完成；分步计数原理又叫乘法原理。（2）分步时首先要根据问题的特点确定一个分步的标准；（3）分步时还要注意满足完成一件事必须并且只需连续完成n个
4、步骤后这件事才算完成.1.结合下列实例说明如何理解“完成一件事”：（1）从10本不同的书中任取一本；（2）从甲地经乙地到丙地；（3）从4名男运动员，3名女运动员中任选一人；（4）从4名男运动员，3名女运动员中各选一人；（5）袋中有10个不同编号的球，从中任意摸取两个球（每次摸一个）；（6）用数字1、2、3、4、5组成三位数。2.在完成上述事件时，哪些与分类有关？哪些与分步有关？3.在计算完成事件的方法种数时，何时用加法原理？何时用？4.这两个原理分别是怎样叙述的？它们的根本区别是什么？1.1分类计数原理与分步计算原理 例1 在1,2,3,200中,能够被5整除的数有多少个?解:能够被5整除的数
5、,末位数字是0或者5,因此,我们把1,2,3.,200分成两类来计数:第一类:末位为0的有20个 第二类:末位为5的有20个 根据加法原理,在1,2,.,200中,能够被5整除的数有40个练习：一同学有4枚明朝不同古币和6枚清朝不同古币1）从中任取一枚，有多少种不同取法？2）从中任取明清古币各一枚，有多少种不同取法？例题讲解例2 有一项活动,需在3名教师,8名男生和5名女生中选人参加.(1)若只需1人参加,有多少种选法?(2)若需教师,男生,女生各选一人参加,有多少种选法?解(1)只选1人就可以完成这件事而选出的1人有三种类型，即教师，男士，女生，因此要分类相加：第一类选出的是教师，有3种选法
6、；第二类选出的是男生，有8种选法；第三类选出的是女生，有5种选法根据加法原理，共有3+8+5=16种选法（2）完成这件事需要分别选出1名教师，1名男生，1名女生，因此要分步完成第一步：选1名教师，有3种选法；第二步：选1名男生，有8种选法；第三步：选1名女生，有5种选法；根据乘法原理共有120种选法练习：(1)由数字l，2，3，4，5可以组成多少个数字不允许重复三位数？(2)由数字0，l，2，3，4，5可以组成多少个数字不允许重复三位数？例3电视台在“欢乐大本营”节目中拿出两个信箱，其中存放着先后两次竞猜中成绩优秀的观众来信，甲信箱中有30封，乙信箱中有20封，现由主持人抽奖确定幸运观众，若先
7、确定一名幸运之星，再从两信箱中各确定一名幸运伙伴，有多种不同的结果？解：分两大类：（1）幸运之星在甲箱中抽，先定幸运之星，再在两箱中各定一名幸运伙伴有：302920=17400种结果；（2）幸运之星在乙箱中抽，同理有201930=11400种结果，因此共有不同结果17400+11400=28800种大家在综合运用两个原理时，既要会合理分类，又能合理分步，一般情形是先分类后分步.例题讲解例44张卡片的正、反面分别有0与1，2与3，4与5，6与7，将其中3张卡片排放在一起，可组成多少个不同的三位数？解：分三个步骤：第一步：首位可放81=7个数；第二步：十位可放6个数；第三步：个位可放4个数.根据分
8、步计数原理，可以组成N=764=168个数.这两个原理的本质区别在于分类与分步，分类用分类计数原理，分步用分步计数原理.用分类计数原理的关键在于恰当分类，分类要做到“不重不漏”，应用分步计数原理的关键在于分步，要正确设计分步程序.例题讲解例5四个人各写一张贺卡，放在一起，再各取一张不是自己送出的贺卡，共有多少种不同的方法？我们可排出所有的分配方案：（1）甲取得乙卡，然后类推，按甲、乙、丙、丁各取得的贺卡列出方案如下：乙丙丁甲、乙甲丁丙、乙丁甲丙；（2）甲取得丙卡，方案为：丙甲丁乙，丙丁甲乙，丙丁乙甲；（3）甲取得丁卡，方案为：丁甲乙丙，丁丙甲乙，丁丙乙甲.由分类计数原理，共有3+3+3=9种.
9、另外，此题也可分步解决：第一步：甲取一张，有3种取法；第二步：由甲取出的那张贺卡的供卡人取，也有3种取法；第三步：由剩余两人中任一人取，有一种取法；第四步：最后一人取，只有一种取法.由分步计数原理得不同取法有3311=9种.课堂练习：1、从甲地到乙地有2条陆路可走，从乙地到丙地有3条陆路可走，又从甲地不经过乙地到丙地有2条水路可走（1）从甲地经乙地到丙地有多少种不同的走法？（2）从甲地到丙地共有多少种不同的走法？2一名儿童做加法游戏在一个红口袋中装着2O张分别标有数1、2、19、20的红卡片，从中任抽一张，把上面的数作为被加数；在另一个黄口袋中装着10张分别标有数1、2、9、1O的黄卡片，从中
10、任抽一张，把上面的数作为加数这名儿童一共可以列出多少个加法式子？3由09这10个数字可以组成多少个没有重复数字的三位数？4.完成一项工作，有两种方法，有5个人只会用第一种方法，另外4个人只会用第二种方法，从这9个人中选一人完成这项工作，一共有多少种选法?5.有10本不同的数学书，9本不同的语文书，8本不同的英语书，从中取出数学、语文、外语书中各取一本，共有多少种取法？要解决某个此类问题，首先要判断是分类，还是分步？分类时用加法，分步时用乘法，其次要注意怎样分类和分步，以后会进一步学习1.在计算完成事件的方法种数时，何时用加法原理？何时用乘法原理？2.这两个原理分别是怎样叙述的？它们的根本区别是什么？3.（口答）一件工作可以用两种方法完成有 5人会用第一种方法完成，另有4人会用第二种方法完成选出一个人来完成这件工作，共有多少种选法？4.在读书活动中，一个学生要从 2本科技书、2本政治书、3本文艺书里任选一本，共有多少种不同的选法？5.从甲地到乙地有2条路可通，从乙地到丙地有3条路可通；从甲地到丁地有4条路可通，从丁地到丙地有2条路可通从甲地到丙地共有多少种不同的走法？6.一个口袋内装有5个小球，另一个口袋内装有4个小球，所有这些小球的颜色互不相同（1）从两个口袋内任取一个小球，有多少种不同的取法？（2）从两个口袋内各取一个小球，有多少种不同的取法？课堂小结
