1、第2课时等比数列前n项和的性质及应用学 习 任 务核 心 素 养1掌握等比数列前n项和的性质的应用(重点)2掌握等差数列与等比数列的综合应用(重点)3能用分组转化法求数列的和(重点、易错点)1通过对等比数列前n项和公式的函数特征的学习，培养逻辑推理素养2借助对等比数列前n项和性质的应用及分组求和，培养数学运算素养在等比数列an中，若q1时，Sn可以把Sn写成SnAqnA的形式，那么等比数列的前n项和还有其他哪些性质？知识点等比数列前n项和的性质(1)性质一：若Sn表示数列an的前n项和，且SnAqnA(Aq0，q1)，则数列an是等比数列(2)性质二：若数列an是公比为q的等比数列，则在等比数
2、列中，若项数为2n(nN*)，则q在等比数列中，若项数为2n1(nN*)，则qSm，S2mSm，S3mS2m，成等比数列在数列an中，an1can(c为非零常数)且前n项和Sn3n1k，则实数k的取值是什么？提示由题知an是等比数列，3n的系数与常数项互为相反数，而3n的系数为，k1思考辨析(正确的打“”，错误的打“”)(1)等比数列an共2n项，其中奇数项的和为240，偶数项的和为120，则该等比数列的公比q2()(2)已知等比数列an的前n项和Sna3n11，则a1()(3)若数列an为等比数列，则a1a2，a3a4，a5a6也成等比数列()(4)若Sn为等比数列的前n项和，则S3，S6，
3、S9成等比数列()提示(1)q；(2)由等比数列前n项和的特点知a1，得a3；(3)若an(1)n为等比数列，a1a2a3a4a5a60，不成等比数列(4)由S3，S6S3，S9S6成等比数列知(4)错误答案(1)(2)(3)(4) 2设Sn为等比数列an的前n项和且Sn3n1A，则A()ABC3D3D根据等比数列an的前n项和公式知Snqn(q1)，又Sn3n1A33nA，得3A，故选D3设等比数列an的前n项和为Sn，已知S38，S67，则a7a8a9()ABCDA法一：由等比数列前n项和的性质知S3，S6S3，S9S6成等比数列，又a7a8a9S9S6，则S3，S6S3，a7a8a9成等
4、比数列，从而a7a8a9故选A法二：因为S6S3S3q3，所以q3，所以a7a8a9S9S6S3q68故选A 类型1等比数列前n项和性质的应用【例1】(1)在等比数列an的前n项和为Sn，S27，S691，则S4为()A28B32C21D28或21(2)等比数列an中，公比q3，S8032，则a2a4a6a80_1S2，S4S2，S6S4有什么特征？提示成等比数列2的值是什么？提示等比数列an的公比q(1)A(2)24(1)an为等比数列，S2，S4S2，S6S4也为等比数列，即7，S47，91S4成等比数列，(S47)27(91S4)，解得S428或S421S4a1a2a3a4a1a2a1q
5、2a2q2(a1a2)(1q2)S2(1q2)S2，S428(2)设S1a2a4a6a80，S2a1a3a5a79则q3，即S13S2又S1S2S8032，S132，解得S124即a2a4a6a80241(变条件)将例题(1)中的条件“S27，S691”改为“正数等比数列中Sn2，S3n14”，求S4n的值解设S2nx，S4ny，则2，x2，14x，y14成等比数列，所以所以或(舍去)，所以S4n302(变条件，变结论)将例题(1)中条件“S27，S691”改为“公比q2，S9956”，求a3a6a9a99的值解法一：S9956，q2，a3a6a9a99a3(1q3q6q96)a1q232法二
6、：设b1a1a4a7a97，b2a2a5a8a98，b3a3a6a9a99，则b1qb2，b2qb3，且b1b2b356，b1(1qq2)56b18，b3b1q282232即a3a6a9a99321在涉及奇数项和S奇与偶数项和S偶时，常考虑对其差或比进行简化运算若项数为2n，则q(S奇0)；若项数为2n1，则q(S偶0)2等比数列前n项和为Sn(且Sn0)，则Sn，S2nSn，S3nS2n仍成等比数列，其公比为qn(q1) 类型2分组求和法【例2】在各项均为正数的等比数列an中，已知a12，8a22a4a6(1)求数列an的通项公式；(2)设bnan2n，求数列bn的前n项和Tn思路探究(1)
7、利用等比数列的基本运算求出an的通项公式(2)根据bnan2n的特点，an和2n分别是等比数列和等差数列，所以可用分组求和法求数列前n项和解(1)设等比数列an的公比为q(q0)，8a22a4a6，8a1q2a1q3a1q5，又a12，82q2q4解得：q24，q2ana1qn12n，nN*(2)由(1)知：bn2n2n，Tn(212)(224)(236)(2n2n)(2122232n)(2462n)2(2n1)2n1n2n2数列bn的前n项和为Tn2n1n2n2，nN*分组转化求和法的应用条件和解题步骤(1)应用条件一个数列的通项公式是由若干个等差数列或等比数列或可求和的数列的通项公式相加组
8、成(2)解题步骤跟进训练1求数列2，4，6，2n，的前n项和Sn解Sn246(2462n)n(n1)n2n 类型3等差数列与等比数列的综合应用【例3】已知Sn是等比数列an的前n项和，S4，S2，S3成等差数列，且a2a3a418(1)求数列an的通项公式；(2)是否存在正整数n，使得Sn2 021？若存在，求出符合条件的所有n的集合；若不存在，说明理由思路探究(1)根据已知条件得出关于a1，q的方程组，求解即可；(2)只需表示出前n项和，解指数不等式解(1)设等比数列an的公比为q，则a10，q0由题意得即解得故数列an的通项公式为an3(2)n1(2)由(1)有Sn1(2)n若存在n，使得
9、Sn2 021，则1(2)n2 021，即(2)n2 020当n为偶数时，(2)n0，上式不成立；当n为奇数时，(2)n2n2 020，即2n2 020，则n11综上，存在符合条件的正整数n，且n的集合为n|n2k1，kN*，k5与等差、等比数列有关的综合问题，其解题过程应注意以下方法与技巧：(1)转化思想：将非等差、等比数列转化构造成等差、等比数列，以便于利用其公式和性质解题.(2)等差(比)数列公式和性质的灵活应用.(3)当题中有多个数列出现时，既要研究单一数列项与项之间的关系，又要关注各数列之间的相互联系.跟进训练2已知数列an的前n项和为Sn，且Snan53n3，bn(1)证明：数列a
10、n23n为常数列；(2)求数列bn的前n项和Tn解(1)证明：当n1时，S1a153312，所以a16；当n2时，由Snan53n3，得Sn1an153n13，得，2anan1103n1，所以an23n(an123n1)，因为a16，所以a12310，所以an23n0，故数列an23n为常数列(2)由(1)知，an23n，所以bn，所以Tnb1b2b3bn11已知等比数列an的各项均为正数，前n项和为Sn，若a22，S6S46a4，则a5()A4B10C16D32C由S6S4a6a56a4得，(q2q6)a40，q2q60，解得q2或q3(舍去)，从而a5a2232816，故选C2设等比数列a
11、n的前n项和为Sn，若S10S512，则S15S5()A34B23C12D13A在等比数列an中，S5，S10S5，S15S10，成等比数列，因为S10S512，所以S52S10，S15S5，得S15S534，故选A3记Sn为数列an的前n项和若Sn2an1，则S6_63法一：因为Sn2an1，所以当n1时，a12a11，解得a11，当n2时，anSnSn12an1(2an11)，所以an2an1，所以数列an是以1为首项，2为公比的等比数列，所以an2n1，所以S663法二：n2时，由Sn2an1得Sn2(SnSn1)1，Sn2Sn11，可得Sn12(Sn11)又S112Sn1是首项为2，公
12、比为2的等比数列，S6122564，即S6634一个项数是偶数的等比数列，它的偶数项的和是奇数项的和的两倍，首项为1，且中间两项的和为24，则此等比数列的项数为_8设该等比数列的项数为2n，依题意得S奇a1a3a5a2n1，S偶a2a4a6a2na1qa3qa2n1qqS奇S偶2S奇，q2又中间两项为an和an1，则anan1a1qn1a1qn2n12n32n124，2n1823，n13，解得n4，2n85设等比数列an的前n项和为Sn，已知S42，S86，求a17a18a19a20的值解由等比数列前n项和的性质，可知S4，S8S4，S12S8，S4nS4n4，成等比数列由题意可知上面数列的首项为S42，公比为2，故S4nS4n42n(n2)，所以a17a18a19a20S20S162532回顾本节知识，自我完成以下问题：1等比数列前n项和的常用性质有哪些？提示若数列an是公比为q的等比数列，则在等比数列中，若项数为2n(nN*)，则q在等比数列中，若项数为2n1(nN*)，则qSm，S2mSm，S3mS2m，成等比数列2若cnanbn，其中an、bn分别是等差数列、等比数列，如何求数列cn的前n项和？提示分组转化法求和
