1、2.2.2 用样本的数字特征估计 总体的数字特征 1.正确理解样本数据标准差的意义和作用，学会计算数据的标准差.2.理解用样本的基本数字特征来估计总体的基本数字特征.（难点）3.会应用相关知识来解决简单的统计问题.(重点）1.对一个未知总体，我们常用样本的频率分布来估计总体的分布，其中表示样本数据的频率分布的基本方法有哪些？图、表 总体数据的数字特征 2.美国NBA在20062007年度赛季中，甲、乙两名篮球运动员在随机抽取的12场比赛中的得分情况如下：甲运动员得分：12，15，20，25，31，31，36，36，37，39，44，49.乙运动员得分：8，13，14，16，23，26，28，3
2、8，39，51，31，29.如果要求我们根据上面的数据，估计、比较甲，乙两名运动员哪一位发挥得比较稳定，就得有相应的数据作为比较依据，即通过样本数据对总体的数字特征进行研究，用样本的数字特征来估计总体的数字特征.1.众数的定义:在一组数据中，出现次数最多的数据叫做这一组数据的众数.2.中位数的定义:将一组数据按大小顺序依次排列，把处在最中间位置的一个数据（或两个数据的平均数）叫做这组数据的中位数.3.平均数的定义:一组数据的和除以数据的个数所得到的数.思考1：怎样将各个样本数据汇总为一个数值，并使它成为样本数据的中心点?众数、中位数、平均数月均用水量/t频率/组距0.50 0.40 0.30
3、0.20 0.10 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 O取最高矩形下端中点的横坐标2.25作为众数.思考2：在城市居民月均用水量样本数据的频率分布直方图中，你认为众数应在哪个小矩形内？由此估计总体的众数是什么？思考3：在频率分布直方图中，每个小矩形的面积表示什么？中位数左右两侧的直方图的面积应有什么关系？每个小矩形的面积即为所在组的频率，中位数左边和右边的直方图的面积应该相等 从左至右各个小矩形的面积分别是0.04，0.08，0.15，0.22，0.25，0.14，0.06，0.04，0.02.0.5-0.04-0.08-0.15-0.22=0.01，0.5（0.010.
4、25）=0.02，所以中位数是2.02.月均用水量/t0.50 0.40 0.30 0.20 0.10 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 o 频率/组距思考4：平均数是频率分布直方图的“重心”，将频率分布直方图中每个小矩形的面积与小矩形底边中点的横坐标之积相加，就是样本数据的估计平均数.由此估计总体的平均数是什么？各小矩形底边中点的横坐标为：0.25，0.75，1.25，1.75，2.25，2.75，3.25，3.75，4.25.各小矩形的面积为：0.04,0.08,0.15,0.22,0.25,0.14,0.06,0.04,0.02.月均用水量/t0.50 0.40 0
5、.30 0.20 0.10 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 o 频率/组距0.250.04+0.750.08+1.250.15+1.750.22+2.250.25+2.750.14+3.250.06+3.750.04+4.250.02=2.02（t）.所以平均数是2.02.平均数与中位数相等，是必然还是巧合？巧合思考：从居民月均用水量样本数据可知，该样本的众数是2.3，中位数是2.0，平均数是1.973，这与我们从样本频率分布直方图得出的结论有偏差，你能解释一下原因吗？频率分布直方图损失了一些样本数据，得到的是一个估计值，且所得的估计值与数据分组有关.注:在只有样本频率
6、分布直方图的情况下，我们可以按上述方法估计众数、中位数和平均数，并由此估计总体特征.思考：一组数据的中位数一般不受少数几个极端值的影响，这在某些情况下是一个优点，但它对极端值的不敏感有时也会成为缺点，你能举例说明吗？样本数据的平均数大于（或小于）中位数说明什么问题？你怎样理解“我们单位的收入水平比别的单位高”这句话的含义？如：样本数据收集有个别差错不影响中位数；大学毕业生凭工资中位数找单位可能收入较低.平均数大于（或小于）中位数，说明样本数据中存在许多较大（或较小）的极端值.这句话具有模糊性甚至蒙骗性，其中收入水平是员工工资的某个中心点，它可以是众数、中位数或平均数.思考1：在一次射击选拔赛中
7、，甲、乙两名运动员各射击10次，每次命中的环数如下：甲：7 8 7 9 5 4 9 10 7 4 乙：9 5 7 8 7 6 8 6 7 7 甲、乙两人本次射击的平均成绩分别为多少环？77xx甲乙，.标准差思考2：甲、乙两人射击的平均成绩相等，观察两人成绩的频率分布直方图，你能说明其水平差异在哪里吗？甲的成绩比较分散，极差较大;乙的成绩相对集中，比较稳定.环数频率0.4 0.3 0.2 0.1 4 5 6 7 8 9 10 O（甲）环数频率0.4 0.3 0.2 0.1 4 5 6 7 8 9 10 O（乙）思考3：对于样本数据x1，x2，xn，设想通过各数据到其平均数的平均距离来反映样本数据
8、的分散程度，那么这个平均距离如何计算？12|nxxxxxxn-+-+-L含有绝对值，运算不方便.思考4：反映样本数据的分散程度的大小，最常用的统计量是标准差，一般用s表示.假设样本数据x1，x2，xn的平均数为 ，则标准差的计算公式是：那么标准差的取值范围是什么？标准差为0的样本数据有何特点？s0，标准差为0的样本数据都相等.22212()()()nxxxxxxsn-+-+-=Lx计算甲、乙两名运动员的射击成绩的标准差，比较其射击水平的稳定性.甲：7 8 7 9 5 4 9 10 7 4 乙：9 5 7 8 7 6 8 6 7 7 s甲=2，s乙1.095.例1 画出下列四组样本数据的条形图，
9、说明它们的异同点.(1)，；(2)，；解：(1)(2)(3)，；(4)，.(3)(4)例2 甲乙两人同时生产内径为25.40 mm的一种零件.为了对两人的生产质量进行评比，从他们生产的零件中各抽出20件，量得其内径尺寸如下（单位：mm）：甲：25.46 25.32 25.45 25.39 25.36 25.34 25.42 25.45 25.38 25.42 25.39 25.43 25.39 25.40 25.44 25.40 25.42 25.35 25.41 25.39 乙：25.40 25.43 25.44 25.48 25.48 25.47 25.49 25.49 26.36 25.
10、34 25.33 25.43 25.43 25.32 25.47 25.31 25.32 25.32 25.32 25.48 从生产零件内径的尺寸看，谁生产的零件质量较高？甲生产的零件内径更接近内径标准，且稳定程度较高，故甲生产的零件质量较高.说明：生产质量可以从总体的平均数与标准差两个角度来衡量，但甲、乙两个总体的平均数与标准差都是不知道的，我们就用样本的平均数与标准差估计总体的平均数与标准差.25.401,x甲25.406,x乙甲0.037,s乙0.068.s解：1.10名工人某天生产同一零件，生产的件数分别是15，17，14，10，15，19，17，16，14，12，则这一天 10名工
11、人生产的零件的中位数是()(A)14 (B)16 (C)15 (D)17【解析】选C.把件数从小到大排列为10，12，14，14，15，15，16，17，17，19，可知中位数为15.C 2.某射击运动员在四次射击中分别打出了10,x,10,8环的成绩，已知这组数据的平均数为9，则这组数据的方差是_.【解析】由9=得x=8.故s2=(10-9)2+(8-9)2+(10-9)2+(8-9)2=4=1.答案：1 10 x108414143.甲、乙两个班各随机选出 15名同学进行测验，所得成 绩的茎叶图如图.从图中看，_班的平均成绩较高.【解析】结合茎叶图中成绩 的情况可知，乙班平均成绩较高.答案：
12、乙 4.（2012济南高一检测）统计某校1 000名学生的数学会考成绩，得到样本频率分布直方图如图所示，规定不低于60分为及格，不低于80分为优秀，则及格人数是_；优秀率为_.【解析】由已知不低于60分及格，则及格的频率为 0.02510+0.03510+0.0120=0.25+0.35+0.2=0.8.及格的人数为1 0000.8=800.不低于80为优秀，则优秀的频率为0.0120=0.2.优秀率为20%.答案：800 20%1.样本的数字特征:众数、中位数和平均数.2.用样本频率分布直方图估计样本的众数、中位数和平均数.(1)众数规定为频率分布直方图中最高矩形上端的中点.(2)中位数两边的直方图的面积相等.(3)平均数等于频率分布直方图中每个小矩形的面积乘以小矩形底边中点的横坐标之和.进步是从看到自己的落后开始的；高明是从解剖自己的弱点开始的.
