1、第3课时空间中直线与平面、平面与平面的位置关系1.了解直线与平面的三种位置关系.2.理解直线在平面外的概念.3.了解平面与平面的两种位置关系.重点:空间直线与平面、平面与平面的位置关系,能用数学语言正确表达它们之间的关系.难点:用图形表示直线与平面、平面与平面的位置关系.如图,线段A1B是长方体ABCDA1B1C1D1的一条对角线.问题1:结合教材,分析直线A1B与长方体六个表面所在平面的关系.(1)直线A1B上所有的点都在平面AA1B1B上,说明直线A1B在平面AA1B1B内,记作:A1B平面AA1B1B;(2)直线A1B与平面CC1D1D没有公共点,说明直线A1B与平面CC1D1D平行,记
2、作:A1B平面CC1D1D;(3)直线A1B与平面CC1B1B只有一个公共点,说明直线A1B与平面CC1B1B相交,记作:A1B平面CC1B1B=B,在长方体表面所在平面中还有三个平面与直线A1B相交,分别是平面AA1D1D、平面ABCD、平面A1B1C1D1;(4)平面AA1B1B与平面CC1B1B有一条公共直线BB1,说明平面AA1B1B与平面CC1B1B相交于直线BB1,记作:平面AA1B1B平面CC1B1B=BB1;(5)平面ABCD与平面A1B1C1D1没有公共部分,说明平面ABCD与平面A1B1C1D1平行,记作:平面ABCD平面A1B1C1D1.问题2:根据直线与平面、平面与平面
3、的位置关系完成下面表格.直线与平面的位置关系直线l在平面内,符号语言: l有无数个公共点直线l与平面相交于点A,符号语言:l=A有一个公共点平面与平面的位置关系平面与平面平行,符号语言: 没有公共点平面与平面相交于直线l,符号语言: =l有无数个公共点,且所有公共点构成了一条公共直线问题3:两平面的位置关系的画法.(1)两个平面平行的画法两个平面平行时,要注意把表示平面的平行四边形画成对应边平行,如图,而图的画法则不恰当.(2)两个平面相交的画法先画表示两个平面的平行四边形的相交两边.再画出表示两个平面交线的线段.过图中线段的端点分别引线段,使它们平行且等于中表示交线的线段.画出图中表示平面的
4、平行四边形的第四边(被遮住的线,可以用虚线,也可以不画).我们所在的教室的天花板与地面之间有什么位置关系?墙面和地面之间有什么位置关系?如果把教室的白炽灯管看作一条线段,则此线段所在的直线与地面之间有什么位置关系呢?1.在两个平面内分别取一条直线,若这两条直线互相平行,则这两个平面的公共点个数().A.有限个B.无限个C.没有D.没有或无限个【解析】两平面相交或者平行,因此这两个平面没有公共点或有无限个公共点.【答案】D2.一个平面内不共线的三点到另一个平面的距离相等且不为零,则这两个平面().A.平行B.相交C.平行或重合D.平行或相交【解析】若三点在平面的同侧,则两平面平行;若三点在平面的
5、异侧,则两平面相交.【答案】D3.若a,b,则a与b的位置关系是.【解析】可能异面,也可能存在平面,使a,且b,即a与b仍可以在同一平面内.【答案】平行、相交或异面4.如图,四棱锥P-ABCD,有同学说平面PAD平面PBC=P,这句话对吗?请说明理由.【解析】 这种说法错误,因为两个平面相交,公共部分是一条直线,而不是一个点,图中的平面PAD与平面PBC都只是画出了其中一部分,故感觉好像只交于一点,其实也是交于一条直线.直线与平面的位置关系已知:如图,Al,A,B,Bl.求证:直线l和平面相交.【方法指导】可用反证法证明.【解析】由已知直线l和有公共点A,直线l不平行于平面.假设直线l和不相交
6、,则l,Bl,B,与已知B矛盾,假设不成立,即直线l和平面相交.【小结】证明点、直线、平面的位置关系时,若直接证明比较困难,则可考虑用反证法.平面与平面的位置关系如图,平面平面=l,直线a平面,直线b平面,若a和b相交.求证:a和b的交点在直线l上.【方法指导】利用两平面的公共点都在公共直线上进行推导.【解析】 设ab=A,则Aa,Ab,因为Aa,a,所以A,又因为Ab,b,所以A,所以A,又因为=l,所以Al,即a和b的交点在直线l上.【小结】利用两平面相交于一条直线,可以解决三线共点和三点共线问题.正六面体中的截面问题如图所示,在正方体AC1中,E、F、G、H分别是所在棱的中点.E、F、G
7、、H四点共面吗?若E、F、G、H四点共面,试画出过四点E、F、G、H的平面与正方体的截面.【方法指导】(1)要判断四点共面可以考虑由四点能否构成相交直线或平行直线.(2)要画E、F、G、H确定的平面与正方体的截面,需画出该面与正方体各面的交线,由两点确定一条直线可知,要画交线只要找到两公共点即可,因此可先观察图中是否已经存在公共点,若存在,则再找另一个公共点即可.【解析】连接EF,设EF与DC交于点P,由EBFPCF 可得PC=EB=AB,同理HG与CD相交,设交点为P1,同样可得P1C=C1G=AB,即P1与P重合,因此EF与GH相交于P点,即E、F、G、H四点共面.作截面的关键在于作出截面
8、与各个侧面的交线,而要确定两个平面的交线,要找到同时在两个平面上的至少两个点.延长HG、DD1,相交于点R,延长FE交DA的延长线于点Q,则点R、Q是截面与侧面AD1的公共点,连接RQ,RQ与A1D1、A1A分别交于点M、T,连接GM、TE,可得截面与正方体各面的交线分别为EF、FH、HG、GM、MT、TE(如图所示).【小结】截面的主要做法是交线法,即先作出截面所在的平面与多面体某一表面所在平面的交线,再找出各有关截线(或其延长线)与此交线的交点.如果一条直线与一个平面相交,那么这条直线与平面内的直线的位置关系是.【答案】相交或异面已知平面,满足,从点O引出两条直线l1,l2,l1=A,l2
9、=B,l1=C,l2=D,求证:ABCD.【解析】 因为l1,l2是相交直线,所以l1,l2确定一个平面,记作,则A,B,C,D,所以AB,CD是共面直线,因为,AB,CD,所以AB,CD不可能是相交直线,所以ABCD.如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E、F分别为CC1、AA1的中点,画出平面BED1F与平面ABCD的交线,并证明.【解析】F为AA1的中点,且D1F不平行DA,延长D1F交DA的延长线于点M.D1F平面BED1F,点M为平面BED1F与平面ABCD的交点,点B为BED1F与平面ABCD的公共点,直线MB为平面BED1F与平面ABCD的交线.1.用符号表示“点A在直线
10、l上,l在平面外”,正确的是().A.Al,lB.Al,lC.Al,lD.Al,l【答案】B2.已知直线a,b和平面,下列说法中正确的是().A.若a,b,则abB.若a,b,则abC.若ab,b,则aD.若ab,a,则b或b【答案】D3.一个平面把空间分成部分,两个平面可以把空间分成部分.【解析】一个平面把空间分成2部分,两个平面可以把空间分成3或4部分.【答案】23或44.若直线l上有无数个点不在平面内,请说明直线l与平面可能的位置关系.【解析】“无数个点不在平面内”有两种情况:所有点都不在平面内,或者可以有一点在平面内.故直线l与平面的位置关系为直线l在平面外.(2011年四川卷)l1,l2,l3是空间三条不同的直线,则下列命题正确的是().A.l1l2,l2l3l1l3B.l1l2,l2l3l1l3C.l1l2l3l1,l2,l3共面D.l1,l2,l3共点l1,l2,l3共面【解析】对于A,直线l1与l3可能异面;对于C,直线l1、l3可能构成三棱柱三条棱而不共面;对于D,直线l1、l2、l3相交于同一个点时不一定共面.所以选B.【答案】B
