1、5.3 函数的单调性 第1课时 函数的单调性 第5章 函数概念与性质 学 习 任 务核 心 素 养1理解并掌握单调增(减)函数的定义及其几何意义(重点)2会用单调性的定义证明函数的单调性(重点、难点)3会求函数的单调区间(重点、难点)1借助单调性的证明、提升逻辑推理素养2利用求单调区间及应用单调性解题培养直观想象和数学运算素养.情境导学探新知 NO.1我们知道，“记忆”在我们的学习过程中扮演着非常重要的角色，因此有关记忆的规律一直都是人们研究的课题德国心理学家艾宾浩斯曾经对记忆保持量进行了系统的实验研究，并给出了类似下图所示的记忆规律如果我们以 x 表示时间间隔(单位：h)，y 表示记忆保持量
2、(单位：%)，则不难看出，上图中，y 是 x 的函数，记这个函数为 yf(x)这个函数反映出记忆具有什么规律？你能从中得到什么启发？知识点1 单调增(减)函数的概念设函数yf(x)的定义域为A，区间IA.如果对于区间I内的_两个值x1，x2.当x1x2时，都有(1)_称yf(x)在区间I上是增函数I称为yf(x)的增区间(2)_称yf(x)在区间I上为减函数I称为yf(x)的减区间任意f(x1)f(x2)1.增(减)函数定义中的 x1、x2 有什么特征？提示 定义中的 x1、x2 有以下 3 个特征(1)任意性，即“任意取 x1、x2”中“任意”二字绝不能去掉证明时不能以特殊代替一般(2)有大
3、小，通常规定 x1x2.(3)属于同一个单调区间1.思考辨析(正确的打“”，错误的打“”)(1)所有函数在定义域上都具有单调性()(2)增、减函数定义中的“任意 x1，x2D”可以改为“存在 x1，x2D”()(3)若函数 f(x)在实数集 R 上是减函数，则 f(0)f(1)()提示(1)比如二次函数 yx2 在 R 上不具有单调性(2)必须对所有的都成立才能说明单调(3)减函数中自变量越小函数值越大答案(1)(2)(3)知识点 2 函数的单调性与单调区间如果函数 yf(x)在区间 I 上是增函数或减函数，那么称函数 yf(x)在区间 I 上具有_，增区间和减区间统称为_单调性单调区间2.函
4、数 y1x在定义域上是减函数吗？提示 不是，y1x在(，0)上递减，在(0，)上也递减但不能说 y1x在(，0)(0，)上递减1,2 在区间1,2上，函数 f(x)的图象由左至右“上升”，即在区间1,2上，f(x)随着 x 的增大而增大，在1,2上，f(x)为增函数2.函数 f(x)的图象如图所示，则函数的单调递增区间是_合作探究释疑难 NO.2类型1 利用函数图象求单调区间 类型2 函数单调性的判定与证明 类型3 函数单调性的应用 类型 1 利用函数图象求单调区间【例 1】作出下列函数的图象，并写出单调区间(1)yx24；(2)y2x；(3)f(x)x22，x0，x4，x0.解 三个函数图象
5、如图(1)(2)(3)(1)(2)(3)(1)yx24 的单调递减区间为(，0，递增区间为0，)(2)y2x的单调增区间为(，0)，(0，)，无递减区间(3)f(x)的单调增区间为(，0，2，)，递减区间为0,2应用图象确定单调性的关键是什么？提示 应掌握各种基本函数的图象的形状，并能通过图象的“上升”或“下降”趋势来找到函数的递增或递减区间但应注意端点是否在定义域内当函数的单调区间不唯一时，中间用“，”隔开或用“和”连接但不能用“或”和“”连接跟进训练1求下列函数的单调区间，并指出该函数在其单调区间上是增函数还是减函数(1)f(x)1x；(2)f(x)2x1，x1，5x，x1；(3)f(x)
6、x22|x|3.解(1)函数 f(x)1x的单调区间为(，0)，(0，)，其在(，0)，(0，)上都是增函数(2)当 x1 时，f(x)是增函数，当 x1 时，f(x)是减函数，所以 f(x)的单调区间为(，1)，1，)，并且函数 f(x)在(，1)上是减函数，在1，)上是增函数(3)因为 f(x)x22|x|3x22x3，x0，x22x3，x0.根据解析式可作出函数的图象如图所示，由图象可知，函数 f(x)的单调区间为(，1，(1,0)，0,1)，1，)f(x)在(，1，0,1)上是增函数，在(1,0)，1，)上是减函数类型 2 函数单调性的判定与证明【例 2】证明函数 f(x)x1x在(0
7、,1)上是减函数证明 设 x1，x2 是区间(0,1)上的任意两个实数，且 x1x2，则 f(x1)f(x2)x11x1 x21x2(x1x2)1x11x2(x1x2)x2x1x1x2(x1x2)1 1x1x2 x1x21x1x2x1x20 x1x21，x1x20,0 x1x21，则1x1x20，即 f(x1)f(x2)，f(x)x1x在(0,1)上是减函数利用定义证明函数单调性的步骤(1)取值：设 x1，x2 是该区间内的任意两个值，且 x1x2.(2)作差变形：作差 f(x1)f(x2)，并通过因式分解、通分、配方、有理化等手段，转化为易判断正负的式子(3)定号：确定 f(x1)f(x2)
8、的符号(4)结论：根据 f(x1)f(x2)的符号及定义判断单调性提醒：作差变形是证明单调性的关键，且变形的结果是几个因式乘积的形式跟进训练2用定义证明函数 f(x)x2x1在(1，)上是减函数证明 设 x1，x2 是区间(1，)上任意两个实数，且 x1x2，则 f(x1)f(x2)x12x11x22x21x2x1x11x21.1x1x2，x2x10，x110，x210，x2x1x11x210，即 f(x1)f(x2)，f(x)x2x1在(1，)上是减函数类型 3 函数单调性的应用【例 3】已知函数 f(x)是定义在2,2上的增函数，且 f(x2)f(1x)，则 x 的取值范围为_0，32 f
9、(x)是定义在2,2上的增函数，且 f(x2)f(1x)，x21x，x32.又 f(x)的定义域为2,2，2x22，21x2，0 x4，1x3，0 x3，综上，0 x32.1利用函数单调性的定义比较大小，一方面是正向应用，即若 yf(x)在给定区间上是增函数，则当 x1x2 时，f(x1)x2 时，f(x1)f(x2)；另一方面是逆向应用，即若 yf(x)在给定区间上是增函数，则当 f(x1)f(x2)时，x1f(x2)时，x1x2.当 yf(x)在给定区间上是减函数时，同理可得相应结论2根据函数的单调性研究参数的取值范围，往往会根据函数在某一区间上的增减性确定不等式，此时常需要将含参数的变量
10、单独移到一侧，用变量的范围推出参数的范围23，因为 yf(x)的定义域为 R，且为增函数，f(1a)f(2a1)，所以 1a23，所以所求 a 的取值范围是23，.跟进训练3若函数 yf(x)的定义域为 R，且为增函数，f(1a)f(2a1)，则 a 的取值范围是_当堂达标夯基础 NO.31 2 3 4 5 C 由图可知，函数 yf(x)的单调递增区间为3,1，选 C.1函数 yf(x)的图象如图所示，其增区间是()A4,4B4，31,4C3,1D3,41 2 3 4 5 ABC 函数 y1x 在区间(0，)上是减函数，其余函数在(0，)上均为增函数2(多选题)下列函数中，在区间(0，)上是增
11、函数的是()Ay1xByxCyx2Dy1x1 2 3 4 5 C 因为函数 f(x)在 R 上是减函数，3f(5)3函数 f(x)在 R 上是减函数，则有()Af(3)f(5)Df(3)f(5)1 2 3 4 5 1 f(x)x22(a2)x2 的单调增区间为2a，)，2a3，a1.4若 f(x)x22(a2)x2 的单调增区间为3，)，则 a 的值是_5 1 2 3 4 1，12 由题设得1x1，x12，解得1x12.5已知函数 f(x)为定义在区间1,1上的增函数，则满足 f(x)f(b)，则 a，b 满足什么关系如果函数 f(x)是减函数呢？提示 若函数 f(x)是其定义域上的增函数，那么当 f(a)f(b)时，ab；若函数 f(x)是其定义域上的减函数，那么当 f(a)f(b)时，ab.2决定二次函数 f(x)ax2bxc 单调性的因素有哪些？提示 开口方向和对称轴的位置，即字母 a 的符号及 b2a的大小3怎样证明函数的单调性提示 设元、作差、变形、定号、结论点击右图进入 课 后 素 养 落 实 谢谢观看 THANK YOU!
