1、山东省济南市历城第二中学2021届高三数学期中试题（含解析）注意事项:1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号填写在答题卡和试卷指定位置上.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在试卷上无效.3考试结束后，将本试卷和答题卡一并收回.一、选择题：本大题共8个小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知全集为集合，则（ ）A. B. C. 或D. 或【答案】C【解析】【分析】根据指数不等式求解出的解集为集合，再求解出一元二次不等式的解
2、集为集合，结合补集、交集的概念求解出.【详解】因为，所以，所以，又因为，所以，所以，所以或，所以或，故选：C.2. 已知是实数，是纯虚数，则（ ）A. 1B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】化简，令其实部为零，虚部不为零【详解】解：所以，故选：A【点睛】本题考查纯虚数的定义，基础题3. “”是“对任意的正数”的（ ）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】A【解析】【分析】直接利用充分条件和必要条件定义判断.【详解】当时，当且仅当 ，即取等号，故充分；若对任意的正数成立，则对任意的正数x, 成立，令，则，所以，故不必要，故充分不必要条件，
3、故选：A4. 将5名志愿者分配到3个不同的奥运场馆参加接待工作，每个场馆至少分配一名志愿者的方案种数为A. 540B. 300C. 180D. 150【答案】D【解析】将分成满足题意的份有，与，两种，所以共有种方案，故正确5. 设，则的大小关系是（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】易得，再由，利用幂函数的单调性判断.【详解】因为，且， 在上递增，所以，即，综上：故选：A6. 我国古代数学著作九章算术有如下问题：“今有金箠，长五尺，新本一尺，重四斤，斩末一尺，重二斤，问次一尺各重几何？”意思是：“现有一根金箱，一头粗，一头细，在粗的一段截下一尺，重四斤：在细的一端截下一尺，重
4、二斤，问依次每一尺各重几斤？“根据已知条件，若金蕃由粗到细是均匀变化的，中间三尺的重量为A. 6斤B. 9斤C. 10斤D. 12斤【答案】B【解析】【分析】根据题意设出等差数列的首项和第五项，通过公式计算出公差，根据等差数列的性质即可求出中间三项的和.【详解】依题意，金箠由粗到细各尺构成一个等差数列，设首项，则，则，由等差数列性质得，中间三尺的重量为9斤故选B【点睛】本小题主要考查中国古代数学文化史，考查等差数列的通项公式以及等差数列的性质，属于基础题.等差数列的通项公式求解有很多种方法，一种是将已知条件都转化为和的形式，然后列方程组来求解；另一种是利用，先求出公差，再来求首项.7. 已知函
5、数若关于的方程无实根，则实数的取值范围为（）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】关于的方程无实根等价于函数的图象与直线无交点，设直线与切与点求出切线方程为：由图知函数的图象与直线 无交点时实数的取值范围为实数的取值范围为【详解】因为函数所以关于的方程无实根等价于函数的图象与直线无交点，设直线与切与点由由已知有：解得，则则切线方程为：由图知：函数的图象与直线 无交点时实数的取值范围为实数的取值范围为故选【点睛】本题主要考查利用导数研究函数的零点问题，考查分段函数的性质，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和数形结合分析推理能力.8. 我国古代人民早在几千年以前就已经发现并应用勾股定
6、理了，勾股定理最早的证明是东汉数学家赵爽在为周髀算经作注时给出的，被后人称为“赵爽弦图”“赵爽弦图”是数形结合思想的体现，是中国古代数学的图腾，还被用作第24届国际数学家大会的会徽如图，大正方形是由个全等的直角三角形和中间的小正方形组成的，若，为的中点，则（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】把向量分解到方向，求出分解向量的长度即可得答案.【详解】设，则，在中，可得.过点作于点,则，.所以.所以.故选A.【点睛】本题考查平面向量的基本定理，用基向量表示目标向量.平面内的任意一个向量都可以用一对基向量(不共线的两个向量)来线性表示.二、选择题:本题共4小题，每小题5分，共20分
7、.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得3分.9. 已知的最小正周期为，则下列说法正确的有（ ）A. B. 函数在上为增函数C. 直线是函数图象的一条对称轴D. 是函数图象的一个对称中心【答案】BD【解析】【分析】首先化简函数，根据周期求，然后再判断三角函数的性质.【详解】， ，故A不正确；当时， 是函数的单调递增区间，故B正确；当时，所以不是函数的对称轴，故C不正确；、当时，所以是函数的一个对称中心，故D正确.故选：BD【点睛】本题考查三角函数的化简和三角函数的性质，本题的思路是整体代入的思想，属于基础题型.10. 甲乙两个质地均匀且完全
8、一样的四面体，每个面都是正三角形，甲四个面上分别标有数字1，2，3，4，乙四个面上分别标有数字5，6，7，8，同时抛掷这两个四面体一次，记事件为“两个四面体朝下一面的数字之和为奇数”，事件为“甲四面体朝下一面的数字为奇数”，事件为“乙四面体朝下一面的数字为偶数”，则下列结论正确的是（ ）A. B. C. D. 【答案】ABD【解析】【分析】根据题意，分别求得可判断A，由独立事件概率乘法公式，可判断BCD.【详解】由已知，由已知有，所以，则A正确；，则B正确；事件、不相互独立，故错误，即C错误，则D正确；综上可知正确的为ABD.故选:ABD【点睛】本题考查了古典概型概率计算公式的应用，概率乘法公
9、式的应用，属于基础题.11. 设为正实数，下列命题正确的有（ ）A. 若，则；B. 若，则；C. 若，则；D. 若，则.【答案】AD【解析】【分析】将，分解变形为，即可证明，即；可通过举反例的方法证明其错误性；若，去掉绝对值，将分解变形为，即可证明，同理当时也可证明，从而命题正确【详解】若，则，即，即，该选项正确；若，可取，则，该选项错误；若，则可取，而，该选项错误；由，若，则，即，即，即若，则，即，即，即该选项正确；故选：AD【点睛】方法点睛：证明不等式常用的方法有：（1）比较法；（2）综合法；（3）分析法；（4）放缩法；（5）数学归纳法；（6）反证法.要根据已知灵活选择.12. 设函数其中
10、表示中的最小者.下列说法正确的有（ ）A. 函数为偶函数B 当时，有C. 当时，D. 当时，【答案】ABC【解析】【分析】画出的图象然后依据图像逐个检验即可【详解】解：画出的图象如图所示： 对A，由图象可知：的图象关于轴对称，故为偶函数，故A正确；对B，当时，；当时，；当时，；当时，此时有，故B成立；对C，从图象上看，当时，有成立，令，则，故，故C正确；对D，取，则，故D不正确故选：ABC【点睛】方法点睛：一般地，若（其中表示中的较小者），则的图象是由这两个函数的图象的较低部分构成的三、填空题:本题共4小题，每小题5分，共20分.13. 的展开式中的常数项为_【答案】【解析】【分析】先求出展开
11、式中的常数项与含的系数,再求展开式中的常数项.【详解】展开式的通项公式为:,令，解得,，令，解得,，展开式中常数项为:.故答案为:.【点睛】本题考查二项展开式常数项的求解，属于基础题.14. 若函数，则_【答案】【解析】分析】先根据时，得当时，进而得函数是以为周期的周期函数，再根据函数周期性求值即可得答案.【详解】解：因为时，所以，故，所以，所以当时，.即当时，函数是以为周期的周期函数.所以.故答案为：.【点睛】本题考查函数的周期性，解题的关键在于根据时，得当时，进而根据周期性得.15. 如图，在中，为上一点，且满足，若，则的值为_【答案】【解析】【分析】由三点共线求出，把也用表示后计算数量积
12、【详解】因为，所以，又，而三点共线，所以，即，所以，又，所以.故答案为：【点睛】关键点点睛：本题考查平面向量和数量积，解题关键是用作为基底表示出，然后进行计算其中用到结论：是直线外一点，则三点共线16. 在三棱锥中，侧棱底面且则该三棱锥的外接球的体积为_【答案】【解析】【分析】根据题意，画出图形，根据余弦定理、正弦定理，结合球的体积公式进行求解即可.【详解】在中，由余弦定理可知：因为，所以是顶角为钝角的等腰三角形，设的外接圆的直径为，由正弦定理可知：，因为侧棱底面，所以三棱锥的外接球的直径为，由勾股定理可知：，所以三棱锥的外接球的半径为：，所以三棱锥的外接球的体积为：故答案为：四、解答题:本题
13、包括6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17. 在，三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并解决该问题.在中，内角的对边分别是，且满足 ，（1）若，求的面积；（2）求的取值范围.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】选，由余弦定理求得；选，利用正弦定理化边为角，再结合诱导公式，两角和的正弦公式变形化简后求得；选利用正弦定理化边为角，再结合诱导公式，两角和的正弦公式变形化简后求得接着都相同方法求解：（1）再由余弦定理求得后可得三角形面积；（2）用正弦定理把表示为的函数，然后由两角和与差的正弦公式化为一个角的一个三角函数形式，再由正弦函数性质得出范围【详解】解：若选，由题
14、意，化简得即，得（1）由余弦定理，得，解得（2）由正弦定理又因为，所以，因为若选，由，得，化简得得，得.以下与选同.若选，由得，即化简得，得.以下与选同.【点睛】本题考查正弦定理、余弦定理、诱导公式、两角和与差的正弦公式，正弦函数的性质等解题中常常利用正弦定理进行边角互换，然后利用三角函数的恒等变换求解三角形中求与边有关的范围问题也常常转化为角，然后利用三角函数（主要是正弦函数）的性质求解18. 已知数列的前项和，满足（1）求数列的通项公式；（2）求数列的前项和【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）根据，由数列通项公式和前n项和的关系求解.（2）由，利用错位相减法求解.【详解】（1）当
15、时，当时，得，是以为首项为公比的等比数列，.（2）得，.【点睛】方法点睛：求数列的前n项和的方法(1)公式法：等差数列的前n项和公式，等比数列的前n项和公式；(2)分组转化法：把数列的每一项分成两项或几项，使其转化为几个等差、等比数列，再求解(3)裂项相消法：把数列的通项拆成两项之差求和，正负相消剩下首尾若干项(4)倒序相加法：把数列分别正着写和倒着写再相加，即等差数列求和公式的推导过程的推广(5)错位相减法：如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列对应项之积构成的，则这个数列的前n项和用错位相减法求解.(6)并项求和法：一个数列的前n项和中，可两两结合求解，则称之为并项求和形如an(
16、1)nf(n)类型，可采用两项合并求解19. 已知在四棱锥中，是的中点，为的中点，是等边三角形，平面平面.（1）求证:平面；（2）求二面角的余弦值.【答案】（1）证明见解析；（2）.【解析】【分析】（1）取的中点为，可证明，然后可证得线面平行；（2）取的中点为，以为空间坐标原点，分别以的方向为轴、轴、轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系.用空间向量法求得二面角的余弦值【详解】（1）证明:取的中点为，连结，因为，四边形与四边形均为菱形，为中点，平面平面平面（2）取的中点为，以为空间坐标原点，分别以的方向为轴、轴、轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系.设则，设平面的-法向量.由则.设平面的
17、一法向量由则.二面角的平面角的余弦值为.【点睛】关键点点睛：本题考查证明线面平行，考查用向量法求二面角求二面角的基本方法是建立空间直角坐标系，用二面角两个面的法向量间的夹角的余弦值求得二面角的余弦值20. 已知函数.（）当时，求曲线在处的切线方程；（）当时，若不等式恒成立，求实数的取值范围.【答案】（I）；（II）.【解析】分析：(1)先求切线斜率和切点的坐标，再求切线的方程.(2)分类讨论求，再解0，求出实数a的取值范围.详解：（）当时，即曲线在处的切线的斜率为，又，所以所求切线方程为.（）当时，若不等式恒成立，易知，若，则恒成立，在上单调递增；又，所以当时，符合题意.若，由，解得，则当时，
18、单调递减；当时，单调递增.所以时，函数取得最小值.则当，即时，则当时，符合题意.当，即时，则当时，单调递增，不符合题意.综上，实数的取值范围是.点睛：（1）本题主要考查导数的几何题意和切线方程的求法，考查利用导数求函数的最小值，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理转化能力.(2)解答第2问由两次分类讨论，第一次是分类的起因是解不等式时，右边要化成，由于对数函数定义域的限制所以要分类讨论，第二次分类的起因是是否在函数的定义域内,大家要理解掌握.21. 年前某市质监部门根据质量管理考核指标对本地的500家食品生产企业进行考核，然后通过随机抽样抽取其中的50家，统计其考核成绩（单位：分），并制
19、成如下频率分布直方图.（1）求这50家食品生产企业考核成绩的平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）及中位数a（精确到0.01）（2）该市质监部门打算举办食品生产企业质量交流会，并从这50家食品生产企业中随机抽取4家考核成绩不低于88分的企业发言，记抽到的企业中考核成绩在的企业数为X，求X的分布列与数学期望（3）若该市食品生产企业的考核成绩X服从正态分布其中近似为50家食品生产企业考核成绩的平均数，近似为样本方差，经计算得，利用该正态分布，估计该市500家食品生产企业质量管理考核成绩高于90.06分的有多少家?（结果保留整数）.附参考数据与公式：则，.【答案】（1），；（2）分布列见解
20、析，；（3）79家【解析】【分析】（1）利用频率分布直方图的性质能求出这50家食品生产企业考核成绩的平均数和中位数；（2）这50家食品生产企业中考核成绩不低于88分的企业有10家，其中考核成绩在内的企业有5家，得出随机变量的可能取值，分别求出相应的概率，得出分布列，求得数学期望；（3）根据题意得，由此能求出估计该市500家食品生产企业质量管理考核成绩高于90.06分的有多少家.【详解】（1）由题意，这50家食品生产企业考核成绩的平均数为：（分）,由频率分布图可知内，所以，解得分.（2）根据题意，这50家食品生产企业中考核成绩不低于88分的企业有:（家），其中考核成绩在内的企业有（家），所以X可
21、能取值有0，1，2，3，4则，所以X的分布列为X01234P所以.（3）由题意得，所以，所以，所以（家），所以500家食品生产企业质量管理考核成绩高于90.06分的有79家.【点睛】本题主要考查了平均数、中位数、离散型随机变量的分布列及数学期望的求解，以及正态分布等知识的综合应用，注重考查了分析问题和解答问题的能力，以及运算、求解能力.22. 已知函数（1）求函数的最大值；（2）令，若既有极大值，又有极小值，求实数的范围；（3）求证:当时，.【答案】（1）1；（2）；（3）证明见解析.【解析】【分析】（1）利用导数求出函数的单调性，求出函数的最值得解；（2）等价于在区间上有两个不相等的实数根，解不等式组即得解；（3）由题可得，再利用放缩法证明不等式.【详解】证明:，在上，函数单调递增，在上，函数单调递减，当时， 既有极大值，又有极小值，等价于在区间上有两个不相等的实数根.即解得，所以实数的范围.由得，当，即，可得，于是，于是 .【点睛】方法点睛：证明不等式常用的方法有：（1）比较法；（2）综合法；（3）分析法；（4）放缩法；（5）数学归纳法；（6）反证法.本题不等式的证明用到了综合法和放缩法.
