1、4.2 对数4.2.2 对数的运算性质第4章 指数与对数 学 习 任 务核 心 素 养1掌握对数的运算性质，并能运用运算性质进行对数的有关运算(重点)2了解换底公式3能用换底公式将一般对数化成自然对数或常用对数(难点)1借助对数的运算性质化简、求值，培养数学运算素养2通过学习换底公式，培养逻辑推理素养.情境导学探新知 NO.1回顾指数性质：(1)arasars(a0，r，sQ)(2)(ar)sars(a0，r，sQ)(3)(ab)rarbr(a0，b0，rQ)那么对数有哪些性质？如 loga(MN)？知识点1 对数的运算性质如果a0，且a1，M0，N0，那么：(1)loga(MN)_；(2)l
2、ogaMN_；(3)logaMn_(nR)logaMlogaNlogaMlogaNnlogaM1.当 M0，N0 时，loga(MN)logaMlogaN，loga(MN)logaMlogaN 是否成立？提示 不一定1.思考辨析(正确的画，错误的画)(1)log2x22log2x.()(2)loga(2)(3)loga(2)loga(3)()(3)logaMlogaNloga(MN)()答案(1)(2)(3)知识点 2 对数的换底公式若 a0 且 a1；c0，c1，N0，则有 logaNlogcNlogca.2.换底公式中底数 c 是特定还是任意数？提示 c 是大于 0 且不等于 1 的任意数
3、2.log29log23_.答案 2合作探究释疑难 NO.2类型1 对数运算性质的应用 类型2 换底公式及其应用 类型3 对数运算在实际问题中的应用 类型 1 对数运算性质的应用【例 1】计算下列各式：(1)log53 625；(2)log2(3242)；(3)log5352log573log57log595.解(1)原式13log562513log55443.(2)原式log232log242549.(3)原式log5(57)2(log57log53)log57(log59log55)log55log572log572log53log572log53log552log552.对数式化简与求值
4、的原则和方法(1)基本原则：对数的化简求值一般是正用或逆用公式，对真数进行处理，选哪种策略化简，取决于问题的实际情况，一般本着便于真数化简的原则进行(2)两种常用的方法：“收”，将同底的两对数的和(差)收成积(商)的对数；“拆”，将积(商)的对数拆成同底的两对数的和(差)跟进训练1计算下列各式的值：(1)12lg324943lg 8lg 245；(2)lg 5223lg 8lg 5lg 20(lg 2)2；(3)lg 2lg 3lg 10lg 1.8.解(1)原式125lg 22lg 7 4332lg 2122lg 7lg 552lg 2lg 72lg 2lg 712lg 512lg 212l
5、g 512lg 2lg 5 12lg 1012.(2)原式2lg 52lg 2lg 52lg 2lg 5 lg 2 22lg 10lg 5lg 2 22(lg 10)2213.(3)原式12lg 2lg 9lg 10lg 1.8lg 18102lg 1.8 lg 1.82lg 1.812.【例 2】化简：(1)log2(2882)；(2)用 lg 2 和 lg 3 表示 lg 24；(3)用 loga x，loga y，loga z 表示 loga(xy2z)解(1)log2(2882)log228(23)2log2(2832)log2 21414.(2)lg 24lg(38)lg 3lg 8
6、lg 33lg 2.(3)loga(xy2z)loga xloga y2loga zloga x2loga y12logaz.1这类问题一般有两种处理方法一种是将式中真数的积、商、方根运用对数的运算法则将它们化为对数的和、差、积、商，然后化简求值；另一种方法是将式中的对数的和、差、积、商运用对数的运算法则将它们化为真数的积、商、幂、方根，然后化简求值要特别注意loga(MN)loga Mloga N，loga(MN)loga Mloga N.2对数的运算性质的推广：logam bnnmloga b(a，b0 且 a，b1，m0)跟进训练2化简：(1)(4582)；(2)log13 27log1
7、3 9；(3)用 lg x，lg y，lg z 表示 lg x2 y3 z.解(1)(4582)(21026)21616216232.(2)log13 27log13 9log13279 log13 31.(3)lg x2 y3 zlg x2lg ylg 3 z2lg x12lg y13lg z.类型 2 换底公式及其应用【例 3】(1)计算(log43log83)log32；(2)已知 log189a,18b5，求 log3645(用 a、b 表示)解(1)原式1log34 1log38 log3212log3213log32 log3212 1356.(2)因为 18b5，所以 blog1
8、85.所以 log3645log1845log1836 log1859log18218 log185log189log182log1818ab1log182ab1log18189ab2log189ab2a.本例(2)条件不变，求 log915(用 a、b 表示)解 因为 18b5，所以 log185b.所以 log915log1815log189 log1835log189log183log185alog189balog18912ba12log189ba12abaa2b2a.1换底公式即将底数不同的对数转化成底数相同的对数，从而进行化简、计算或证明换底公式应用时，一般换成以 10 为底的常用对
9、数，或以 e 为底的自然对数，但也应该结合已知条件来确定2换底公式推导出的两个恒等式(1)logamNnnmloga N；(2)loga blogb a1，要注意熟练应用跟进训练3已知 log37a,2b3，试用 a，b 表示 log1456.解 因为 2b3，所以 blog23，即 log321b，log1456log356log314log3237log3273log32log37log32log37 3ba1ba3ab1ab.类型 3 对数运算在实际问题中的应用【例 4】2020 年我国国民生产总值为 a 亿元，如果年平均增长8%，那么经过多少年，我国国民生产总值是 2020 年的 2
10、倍？(已知 lg 20.301 0，lg 30.477 1，lg 1.080.033 4，精确到 1 年)思路点拨 认真分析题意，找出其中各量之间的关系，列出式子，并利用对数运算求解解 设经过 x 年，我国国民生产总值是 2020 年的 2 倍经过 1 年，总产值为 a(18%)，经过 2 年，总产值为 a(18%)2，经过 x 年，总产值为 a(18%)x.由题意得 a(18%)x2a，即 1.08x2，两边取常用对数，得 lg 1.08xlg 2，则 x lg 2lg 1.080.301 00.033 49(年)所以约经过 9 年，国民生产总值是 2020 年的 2 倍解对数应用题的步骤跟
11、进训练4在不考虑空气阻力的情况下，火箭的最大速度 v(单位：m/s)和燃料的质量 M(单位：kg)，火箭(除燃料外)的质量 m(单位：kg)满足 ev1Mm2 000(e 为自然对数的底数，ln 31.099)当燃料质量 M 为火箭(除燃料外)质量 m 的两倍时，求火箭的最大速度(单位：m/s)解 因为 vln1Mm2 0002 000ln1Mm，所以 v2 000ln 32 0001.0992 198(m/s)故当燃料质量 M 为火箭质量 m 的两倍时，火箭的最大速度为 2 198 m/s.当堂达标夯基础 NO.31 2 3 4 5 CD 由对数的运算性质知 C、D 正确1(多选题)若 a0
12、，a1，x0，y0，则下列式子正确的是()Alogaxlogayloga(xy)Blogaxlogayloga(xy)ClogaxylogaxlogayDloga(xy)logaxlogay1 2 3 4 5 A log123log124log12(34)1.2计算：log123log124 等于()A1 B2C3D41 2 3 4 5 log6 3 原式log6 12log62log6122 log6 3.3化简12log6122log6 2的结果为_1 2 3 4 5 2 2log510log50.25log5100log50.25log5252.4求值 2log510log50.25_.
13、5 1 2 3 4 1 因为 mlog2 10，nlog5 10，所以1m1nlg 2lg 5lg 101.5已知 2m5n10，则1m1n_.回顾本节知识，自我完成以下问题1运算性质中底数 a 能等于零或小于零吗？真数 M、N 呢？提示 由对数的定义知底数 a0，且 a1.故不能小于或等于0.M、N 均为正数2换底公式有哪些作用？提示 利用换底公式可以把不同底数的对数化为同底数的对数，便于化简、求值3运用对数的运算性质应注意哪些问题？提示 在各对数有意义的前提下应用运算性质根据不同的问题选择公式的正用或逆用 避 免 出 现 以 下 公 式 错 误：logaNn (logaN)n，loga(MN)logaMlogaN，logaMlogaNloga(MN)4换底公式反映了数学上的哪种思想？提示 转化与化归点击右图进入 课 后 素 养 落 实 谢谢观看 THANK YOU!
